বহুভুজ কাকে বলে ? সংজ্ঞা ,সূত্রাবলী ও কোণের পরিমাণ নির্ণয়

বহুভুজ হলো একটি জ্যামিতিক আকৃতি । সাধারণত চারের অধিক বাহু দ্বারা সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রকে বহুভুজ হিসেবে চিহ্নিত করা হয় । বহুভুজ বিভিন্ন ধরনের হতে পারে যেমন- পঞ্চভুজ , ষড়ভুজ , সপ্তভুজ ইত্যাদি। বহুভুজ নিয়ে জ্যামিতিক সমস্যাগুলো খুব বেশি জটিল মনে হলে ও আসলে তা কিন্তু একেবারেই সহজ । মাত্র দুই থেকে তিনটা পদ্ধতি আয়ত্ত করতে পারলেই এ অধ্যায়ে যে কোন প্রতিযোগিতামূলক পরীক্ষায় অন্য দশজনের চেয়ে এগিয়ে থাকা সম্ভব। আজকের টিউটরিয়ালে আমরা সেই পদ্ধতিগুলো সহজভাবে উপস্থাপন করার চেষ্টা করেছি । আশা করছি উপকৃত হবেন । চলুন তাহলে শুরু করা যাক ।

• প্রাথমিক আলোচনা
• সুষম বহুভুজের কোণের পরিমাপ নির্ণয়
  • সংশ্লিষ্ট বিগত সালের প্রশ্ন ও সমাধান
• সুষম বহুভুজের বাহুর সংখ্যা নির্ণয়
  • সংশ্লিষ্ট বিগত সালের প্রশ্ন ও সমাধান
• অন্তঃকোণ গুলোর সমষ্টি বের করা
  • সংশ্লিষ্ট বিগত সালের প্রশ্ন ও সমাধান

প্রাথমিক আলোচনা

এই অধ্যয়ের জন্য কয়েকটি সূত্র জানলেই যে কোন অংক খুব দ্রুত করা সম্ভব। কিন্তু অধ্যায়টির সাথে আমরা অনেকেই খুব কম পরিচিত, এবং এখান থেকে খুব কম প্রশ্ন আসায় সেই সামান্য সূত্রগুলোও আমাদের মনে থাকে না। তাই আমরা শুধু একটি সহজ সূত্র দিয়ে এই অধ্যায়ের সকল প্রশ্নের সমাধান করা শিখব। বুঝতে একটু সময় লাগলেও সময় দিয়ে পড়ুন।

বহুভুজ: ত্রিভুজ হচ্ছে সবচেয়ে কমবাহু বিশিষ্ট বহুভুজ, ত্রিভুজ থেকে শুরু করে আরো বেশি সংখ্যক বাহুবিশিষ্ট যে কোন ক্ষেত্রকেই এক নামে বহুভুজ বলা হয়। যেমন: পঞ্চভুজ , ষড়ভুজ ইত্যাদি।

সুষম বহুভুজের কোণের পরিমাপ নির্ণয়

সুষম বহুভুজের কোণের পরিমাপ দুই ভাবে চাওয়া যেতে পারে । যথা: ১ . বহিঃস্থ কোণ নির্ণয় ২. অন্তঃস্থ কোণ নির্ণয়
তাই আমরা দুইভাবেই বিষয়টা রপ্ত করার চেষ্টা করব।
মনে রাখবেন, সুষম বহুভুজের বহিঃস্থ কোণগুলোর সমষ্টি = ৩৬০ ডিগ্রি
একটি বহুভুজের বাহুর সংখ্যা যাহাই হোক না কেন তার বহিঃস্থ একটি কোণের পরিমাণ বের করার জন্য নিম্নোক্ত সূত্রটি প্রয়োগ করতে হবে এবং এই একটি সূত্র দিয়ে বহুভুজের সব প্রশ্ন সমাধান করা সম্ভব। তাই গুরুত্ব দিন।
বহুভুজের বহিঃস্থ একটি কোণের পরিমাণ = ৩৬০ ÷ বাহুর সংখ্যা
১. একটি ষড়ভুজের প্রতিটি বহিঃস্থ কোণের মান কত হবে?
ব্যাখ্যা: এখানে , ষড়ভুজ মানে তার ৬ টি বাহু । তাই ৩৬০ কে ৬ দিয়ে ভাগ করলে বহিঃস্থ কোণের মান বের হবে ।
উত্তর: ষড়ভুজের প্রতিটি বহিঃস্থ কোণের মান = ৩৬০ ÷ ৬ = ৬০ ডিগ্রি

২. একটি অষ্টভুজের প্রতিটি বহিঃস্থ কোণের মান কত হবে?
ব্যাখ্যা: এখানে , অষ্টভুজ মানে তার ৮ টি বাহু । তাই ৩৬০ কে ৮ দিয়ে ভাগ করলে বহিঃস্থ কোণের মান বের হবে ।
উত্তর: অষ্টভুজের প্রতিটি বহিঃস্থ কোণের মান = ৩৬০ ÷ ৮ = ৪৫ ডিগ্রি

৩. একটি নয়ভুজের প্রতিটি অন্তঃস্থ কোণের মান কত?
ব্যাখ্যা: একই সূত্র প্রয়োগ করতে হবে । নয়ভুজ মানে তার ৯ টি বাহু । তাই ৩৬০ কে ৯ দিয়ে ভাগ করলে বহিঃস্থ কোণের মান বের হবে । বহিঃস্থ কোণ = ৩৬০ ÷ ৯ = ৪০ ডিগ্রি । কিন্তু এটা তো হল বহিঃস্থ কোণ ।তাহলে অন্তঃস্থ কোণ কত হবে? অন্তঃস্থ কোণ বের করতে হলে এই বহিঃস্থ কোণকে ১৮০ ডিগ্রি থেকে বিয়োগ করতে হবে।
সুতরাং নয়ভুজের প্রতিটি অন্তঃস্থ কোণের মান = ১৮০ − ৪০ = ১৪০ ডিগ্রি ।
এভাবেই আমরা সুষম বহুভুজের কোণের পরিমাপ নির্ণয় করব । এবার কিছু বিগত সালের প্রশ্ন অনুশীলন করি ।

সংশ্লিষ্ট বিগত সালের প্রশ্ন ও সমাধান

প্রশ্ন নম্বর- ১. একটি সুষম পঞ্চভুজের একটি অন্তঃকোণের পরিমাণ হবে- [প্রাথমিক সহকারী শিক্ষক-২০১২(করতোয়া)]

• (ক) ৯০ ডিগ্রি
• (খ) ১১০ ডিগ্রি
• (গ) ১২০ ডিগ্রি
• (ঘ) ১০৮ ডিগ্রি

উত্তরঃ (ঘ) ১০৮ ডিগ্রি

সমাধান:
প্রথমে বহিঃস্থ কোণ বের করতে হবে । তারপর অন্তঃস্থ কোণ ।
বহিঃস্থ কোণ = ৩৬০ ÷ ৫ = ৭২ ডিগ্রি
সুতরাং অন্তঃস্থ কোণ = ১৮০ − ৭২ = ১০৮ ডিগ্রি

প্রশ্ন নম্বর- ২. আট বাহুবিশিষ্ট সুষম বহুভুজের একটি বহিঃস্থ কোণের পরিমাণ হবে--- [রেজি. বেসরকারি প্রাথমিক সহকারী শিক্ষক-২০১১(শাপলা)]

• (ক) ৪৫ ডিগ্রি
• (খ) ৬০ ডিগ্রি
• (গ) ৮০ ডিগ্রি
• (ঘ) ১০০ ডিগ্রি

উত্তরঃ (ক) ৪৫ ডিগ্রি

সমাধান:
বহিঃস্থ কোণ = ৩৬০ ÷ ৮ = ৪৫ ডিগ্রি

প্রশ্ন নম্বর- ৩. একটি সুষম ষড়ভুজের একটি অন্তঃকোণের পরিমাণ হবে-- [ প্রাথমিক সহকারী শিক্ষক-২০১২(কর্ণফুলী)]

• (ক) ৯০ ডিগ্রি
• (খ) ১০৫ ডিগ্রি
• (গ) ১২০ ডিগ্রি
• (ঘ) ১৪৫ ডিগ্রি

উত্তরঃ (গ) ১২০ ডিগ্রি

সমাধান:
প্রথমে বহিঃস্থ কোণ বের করতে হবে । তারপর অন্তঃকোণ ।
বহিঃস্থ কোণ = ৩৬০ ÷ ৬ = ৬০ ডিগ্রি
সুতরাং অন্তঃকোণ = ১৮০ − ৬০ = ১২০ ডিগ্রি

প্রশ্ন নম্বর- ৪. একটি সুষম বহুভুজের বাহুর সংখ্যা ১২ হলে প্রত্যেকটি বহিঃস্থ কোণের পরিমাণ কত? [ ২৮ তম বিসিএস]

• (ক) ১৫ ডিগ্রি
• (খ) ২০ ডিগ্রি
• (গ) ২৫ ডিগ্রি
• (ঘ) ৩০ ডিগ্রি

উত্তরঃ (ঘ) ৩০ ডিগ্রি

সমাধান:
বহিঃস্থ কোণ = ৩৬০ ÷ ১২ = ৩০ ডিগ্রি

প্রশ্ন নম্বর- ৫. সুষম ষড়ভুজের একটি বাহুকে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণের পরিমাণ কত ডিগ্রি? [ ১০ম বেসরকারি প্রভাষক নিবন্ধন ও প্রত্যয়ন পরীক্ষা-২০১৪]

• (ক) ৭৫ ডিগ্রি
• (খ) ৬০ ডিগ্রি
• (গ) ৯০ ডিগ্রি
• (ঘ) ১৮০ ডিগ্রি

উত্তরঃ (খ) ৬০ ডিগ্রি

সমাধান:
বহিঃস্থ কোণ = ৩৬০ ÷ ৬ = ৬০ ডিগ্রি

প্রশ্ন নম্বর- ৬. একটি সুষম বহুভুজের বাহুর সংখ্যা ৮ হলে প্রত্যেকটি অন্তঃস্থ কোণের পরিমাণ কত? [উপজেলা পল্লী উন্নয়ন কর্মকর্তা-২০১০]

• (ক) ৩০ ডিগ্রি
• (খ) ৬০ ডিগ্রি
• (গ) ৯০ ডিগ্রি
• (ঘ) ১৩৫ ডিগ্রি

উত্তরঃ (ঘ) ১৩৫ ডিগ্রি

সমাধান:
প্রথমে বহিঃস্থ কোণ বের করতে হবে । তারপর অন্তঃস্থ কোণ ।
বহিঃস্থ কোণ = ৩৬০ ÷ ৮ = ৪৫ ডিগ্রি
সুতরাং অন্তঃস্থ কোণ = ১৮০ − ৪৫ = ১৩৫ ডিগ্রি

সুষম বহুভুজের বাহুর সংখ্যা নির্ণয়

বাহুর সংখ্যা নির্ণয়ের জন্য সুষম বহুভুজের অন্তঃস্থ অথবা বহিঃ স্থ কোণ দেয়া থাকবে । যদি বহিঃস্থ কোণ দেয়া থাকে তাহলে নিচের সূত্র প্রয়োগ করতে হবে ।

সুষম বহুভুজের বাহুর সংখ্যা = ৩৬০ ÷ বহিঃস্থ কোণের পরিমাণ

উদাহরণ-১ : একটি বহুভুজের প্রতিটি বহিঃস্থ কোণের পরিমাণ ৬০ ডিগ্রি হলে, বহুভুজটির বাহুর সংখ্যা কত?
ব্যাখ্যা: এখানে, দেয়া আছে বহুভুজটির বহিঃস্থ কোণের পরিমাণ ৬০ ডিগ্রি । তাই সরাসরি , বহুভুজটির বাহুর সংখ্যা = ৩৬০ ÷ ৬০ = ৬ টি

আবার যদি বহিঃস্থ কোণ না দেয়া থাকে অর্থাৎ অন্তঃস্থ কোণ দেয়া থাকে তখন ১৮০ ডিগ্রি থেকে অন্তঃস্থ কোণ বাদ দিয়ে আগে বহিঃস্থ কোণ বের করে নিতে হবে । তারপর বহিঃস্থ কোণ দিয়ে ৩৬০ ডিগ্রিকে ভাগ করলেই বাহুর সংখ্যা পাওয়া যাবে ।যেমন-

উদাহরণ-২: একটি বহুভুজের প্রতিটি অস্তকোণের পরিমাপ ১৪৪ ডিগ্রি হলে বহুভুজের মোট বাহুর সংখ্যা কত?
ব্যাখ্যা: যেহেতু অন্ত:কোণ দেওয়া আছে , তাই আগেই বহিঃস্থ কোণ বের করতে হবে । বহিঃস্থ কোণ = ১৮০ − ১৪৪ = ৩৬ ডিগ্রি ।
সুতরাং বহুভুজটির বাহুর সংখ্যা = ৩৬০ ÷ ৩৬ = ১০ টি

সংশ্লিষ্ট বিগত সালের প্রশ্ন ও সমাধান

প্রশ্ন নম্বর- ১. একটি সুষম বহুভুজের একটি অন্তঃকোণের পরিমাণ ১৪০ ডিগ্রি হলে বহুভুজটির বাহুর সংখ্যা হবে-- [রেজি. বেসরকারি প্রাথমিক সহকারী শিক্ষক-২০১১(শিউলী)]

• (ক) ৬
• (খ) ৮
• (গ) ৯
• (ঘ) ১০

উত্তরঃ (গ) ৯

সমাধান:
আগে বহিঃস্থ কোণ বের করতে হবে । তারপর বাহুর সংখ্যা ।
বহিঃস্থ কোণ = ১৮০ − ১৪০ = ৪০ ডিগ্রি
সুতরাং বহুভুজটির বাহুর সংখ্যা = ৩৬০ ÷ ৪০ = ৯ টি

প্রশ্ন নম্বর- ২. একটি সুষম বহুভুজের প্রত্যেকটি বহিঃস্থ কোণের পরিমাণ ২০ ডিগ্রি হলে বহুভুজটির বাহুর সংখ্যা কত? [ প্রাথমিক বিদ্যালয় সহকারী শিক্ষক ২০০১]

• (ক) ৯
• (খ) ১৮
• (গ) ২৭
• (ঘ) ৩৬

উত্তরঃ (খ) ১৮

সমাধান:
বহুভুজটির বাহুর সংখ্যা = ৩৬০ ÷ ২০ = ১৮ টি

অন্তঃকোণ গুলোর সমষ্টি বের করা

কোণের মোট পরিমাপ বা সমষ্টি বের করতে বলা হলে :
একটি পঞ্চভুজের অন্ত:কোণগুলোর সমষ্টি কত, অথবা শুধু একটি পঞ্চভুজের সমষ্টি কত , অথবা একটি সুষম পঞ্চভুজের প্রতিটি অন্তঃকোণ ১০৮ হলে, সমষ্টি কত ? যেভাবেই প্রশ্ন আসুক অন্তঃকোণগুলোর সমষ্টি বের করতে হয়। এক্ষেত্রে প্রতিটি অন্তঃকোণের মানকে বাহুর সংখ্যা দিয়ে গুণ করলে কোণের সমষ্টি বের হয়। যেমন: , ঐ পঞ্চভুজটির অন্তঃকোণ সমূহের যোগফল হবে ১০৮ × ৫ = ৫৪০ ডিগ্রি । ৫৪০ ÷ ৯০ = ৬ সমকোণ । যদি অন্ত:কোণের পরিমাণ দেয়া না থাকে তাহলে নিচের সূত্র প্রয়োগ করতে পারেন । অথবা নিচের চার্টটি মুখস্থ রাখতে পারেন তাহলে আর কিছুই করতে হবে না।

বহুভুজের নাম	অন্ত:কোণের মোট পরিমাপ	সমকোণ
পঞ্চভুজ	৫৪০ ডিগ্রি	৫৪০ ÷ ৯০ = ৬ সমকোণ
ষড়ভুজ	৭২০ ডিগ্রি	৭২০ ÷ ৯০ = ৮ সমকোণ
অষ্টভুজ	১০৮০ ডিগ্রি	১০৮০ ÷ ৯০ = ১২ সমকোণ
দশভুজ	১৪৪০ ডিগ্রি	১৪৪০ ÷ ৯০ = ১৬ সমকোণ
লক্ষ্য করুন , বাহুর পরিমাণ একটি বাড়লে কোণের পরিমাণ ২ সমকোণ করে বাড়ছে। সহজে মনে রাখার জন্য এ পদ্ধতিটি ভালভাবে খেয়াল করুন ।

সূত্র:-০১: অন্তঃস্থ কোণগুলোর সমষ্টি = (2n-4) সমকোণ , যেখানে n হচ্ছে সুষম বহুভূজের মোট বাহুর সংখ্যা। ( যদি কত সমকোণ তা জানতে চায় তাহলে সরাসরি এই সূত্র) যেমন:

১. একটি পঞ্চভুজের সমষ্টি কত? (৩৪তম বিসিএস)
সমাধান: সূত্র অনুযায়ী (2×5−4) সমকোণ = ১০−৪ = ৬ সমকোণ।

আবার সমকোণ বের করতে না বলে কোণের মোট পরিমাপ বের করতে বললে,
সুত্র: ০২: কোণগুলোর সমষ্টি = [90×(2n−4)] ডিগ্রি , যেখানে n হচ্ছে সুষম বহুভূজের মোট বাহুর সংখ্যা। (যদি কোণের পরিমাপ দেয়া থাকে তাহলে এই সূত্র।) যেমন:

২. একটি পঞ্চভুজের অভ্যন্তরীণ ( অন্তঃস্থ) পাঁচটি কোণের সমষ্টি কত? [পররাষ্ট্র মন্ত্রণালয়ের কর্মকর্তা ২০০৪ ]
সমাধান: [90 × (2n−4)] ডিগ্রি
= [ 90 × (2 × 5 − 4 ) ]
= [ 90 × (10 − 4 ) ]
= 90 × 6
= 540 ডিগ্রি

সংশ্লিষ্ট বিগত সালের প্রশ্ন ও সমাধান

প্রশ্ন নম্বর- ১. একটি সুষম ষড়ভুজের অন্তঃকোণগুলির সমষ্টি কত ডিগ্রী? [বাংলাদেশ রোড ট্রান্সপোর্ট অথরিটির সহকারী পরিচালক-২০০৫]

• (ক) ৩৬০
• (খ) ৫৪০
• (গ) ৬৩০
• (ঘ) ৭২০

উত্তরঃ (ঘ) ৭২০

সমাধান:
[90×(2n-4)] ডিগ্রি
= [ 90 × (2 × 6 − 4 ) ]
= [ 90 × (12 − 4 ) ]
= 90 × 8
= 720 ডিগ্রি

প্রশ্ন নম্বর- ২. অষ্টভুজের অন্তঃস্থ কোণসমূহের সমষ্টি কত? [ মাধ্যমিক বিদ্যালয় সহকারী শিক্ষক-২০০০]

• (ক) ১৬ সমকোণ
• (খ) ১২ সমকোণ
• (গ) ৮ সমকোণ
• (ঘ) ৬ সমকোণ

উত্তরঃ (খ) ১২ সমকোণ

সমাধান:
সূত্র অনুযায়ী (2×8−4) সমকোণ = ১৬−৪ = ১২ সমকোণ।

প্রশ্ন নম্বর- ৩. সুষম বহুভুজের বাহুর সংখ্যা n হলে কোণগুলোর সমষ্টি কত? [ মাধ্যমিক বিদ্যালয় সহকারী শিক্ষক-২০০১]

• (ক) n সমকোণ
• (খ) 2n সমকোণ
• (গ) (2n−4) সমকোণ
• (ঘ) (2n−2) সমকোণ

উত্তরঃ (গ) (2n−4) সমকোণ

প্রশ্ন নম্বর- ৪. একটি পঞ্চভুজের অভ্যন্তরীণ পাঁচটি কোণের সমষ্টি হবে-- [ সেকেন্ডারি এডুকেশন সেক্টর ইনভেস্টমেন্ট প্রোগ্রাম-২০১৫]

• (ক) ৩৬০ ডিগ্রি
• (খ) ৫৪০ ডিগ্রি
• (গ) ৪৫০ ডিগ্রি
• (ঘ) ২৭০ ডিগ্রি

উত্তরঃ (খ) ৫৪০ ডিগ্রি

সমাধান:
[90×(2n-4)] ডিগ্রি
= [ 90 × (2 × 5 − 4 ) ]
= [ 90 × (10 − 4 ) ]
= 90 × 6
= 540 ডিগ্রি

প্রশ্ন নম্বর- ৫. একটি বহুভুজের বাহুর সংখ্যা ৬ হলে, বহুভুজের অন্তঃকোণগুলোর সমষ্টি কত হবে? [ প্রাথমিক প্রধান শিক্ষক-২০১২(ডালিয়া)]

• (ক) চার সমকোণ
• (খ) ছয় সমকোণ
• (গ) সাত সমকোণ
• (ঘ) আট সমকোণ

উত্তরঃ (ঘ) আট সমকোণ

সমাধান:
সূত্র অনুযায়ী (2×6−4) সমকোণ = ১২−৪ = ৮ সমকোণ।

প্রশ্ন নম্বর- ৬. একটি ষড়ভুজের ছয়টি কোণের সমষ্টি কত? [ থানা একাডেমিক সুপারভাইজার-২০১৫]

• (ক) পাঁচ সমকোণ
• (খ) ছয় সমকোণ
• (গ) আট সমকোণ
• (ঘ) তিন সমকোণ

উত্তরঃ (গ) আট সমকোণ

সমাধান:
সূত্র অনুযায়ী (2×6−4) সমকোণ = ১২−৪ = ৮ সমকোণ।

প্রশ্ন নম্বর- ৭. কোনো সুষম দশভুজের প্রতিটি কোণ হবে- [ আইন,বিচার ও সংসদ বিষয়ক মন্ত্রণালয়ের সাব রেজিস্টার-২০০১]

• (ক) সূক্ষ্মকোণ
• (খ) প্রবৃদ্ধকোণ
• (গ) স্থুলকোণ
• (ঘ) সমকোণ

উত্তরঃ (গ) স্থুলকোণ

সমাধান:
দশভুজের অন্তঃস্থ কোণগুলোর সমষ্টি
= [90×(2n−4)] ডিগ্রি
= [ 90 ×(2×10 − 4 ) ]
= [ 90 ×(20 − 4 ) ]
= 90×16
= 1440 ডিগ্রি

সুতরাং সুষম দশভুজের প্রতিটি কোণ
= 1440 ÷ 10
= 144 ডিগ্রি ।
যা 90 ডিগ্রি অপেক্ষা বেশি কিন্তু 180 ডিগ্রি অপেক্ষা কম এবং স্থুলকোণ।
সুতরাং কোনো সুষম দশভুজের প্রতিটি কোণ স্থুলকোণ হবে।