চতুর্ভুজ হল একটি জ্যামিতিক আকৃতি, যা চারটি বাহু দ্বারা সংযোজিত হয়ে তৈরি হয়। এটি প্রায় সমদ্বিখণ্ডীয় হতে পারে বা অসমদ্বিখণ্ডীয় হতে পারে। একটি চতুর্ভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য ও কোণের মাধ্যমে এর বিস্তৃতি নির্ণয় করা যায়। চতুর্ভুজ হল একটি সরলরেখার পরিকল্পিত আকৃতি, যার সব কোণ মিলে ৩৬০ ডিগ্রি। চতুর্ভুজ গণিতে একটি গুরুত্বপূর্ণ আকৃতি হিসাবে বিবেচিত হয়। এটি ক্ষেত্রফল হিসাবে ব্যবহৃত হয় এবং এর পরিমাপ করার জন্য ব্যবহৃত হয়। চতুর্ভুজ বিভিন্ন ধরনের হতে পারে যেমন- আয়ত, বর্গ , রম্বস , সামন্তরিক , ট্র্যাপিজিয়াম ।চতুর্ভুজ সম্পর্কে যদি স্পষ্ট ও স্বচ্ছ ধারণা নিতে চান তাহলে আজকের টিউটরিয়ালটি আপনার জন্যই ।
প্রাথমিক আলোচনা
চারটি বাহু দ্বারা সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রকে চতুর্ভুজ বলে। সাধারণত আয়তক্ষেত্র, বর্গক্ষেত্র, সামন্তরিক, রম্বস এগুলো সবই এক এক প্রকার চতুর্ভুজ। এই অধ্যায়ের সাথে সম্পর্কিত বিভিন্ন নিয়মাবলী ও সূত্র এবং বিগত সালে বিভিন্ন প্রতিযোগিতামূলক পরীক্ষায় আসা প্রশ্নগুলো নিয়ে নিচে ধারাবাহিকভাবে আলোচনা করা হল ।
চতুর্ভুজ কাকে বলে?
চারটি সরলরেখা দ্বারা সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রকে চতুর্ভুজ বলে।
চতুর্ভুজের চার কোণের সমষ্টি চার সমকোণ । (৩৬০°)
সংশ্লিষ্ট সূত্রঃ
চতুর্ভুজের ক্ষেত্রফল = (দৈর্ঘ্য × প্রস্থ) বর্গ একক
চতুর্ভুজের পরিসীমা = ২(দৈঘ্য+প্রস্থ)
সুতরাং চতুর্ভুজের পরিসীমা 2(a+b) অর্থাৎ দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের যোগফলকে দ্বিগুন করলে পরিসীমা বের হবে।
আয়তক্ষেত্র (rectangle) :
যে চতুর্ভূজের বিপরীত বাহুগুলো পরস্পর সমান ও সমান্তরাল এবং কোণগুলো সমকোণ তাকে আয়তক্ষেত্র বলে।
উপরের চিত্রটিতে ABCD চতুর্ভূজের দৈর্ঘ্য AD = BC এবং প্রস্থ AB = CD এবং প্রতিটি কোণ এক সমকোণ ।
সুতরাং চতুর্ভুজটি একটি আয়তক্ষেত্র।
আয়তক্ষেত্রের বৈশিষ্ট্যঃ
আয়তক্ষেত্রের বিপরীত বাহুদ্বয় পরস্পর সমান ।
আয়তক্ষেত্রের প্রত্যেকটি কোণ সমকোণ ।
আয়তক্ষেত্রের কর্ণদ্বয় পরস্পর সমান ।
আয়তক্ষেত্রের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখন্ডিত করে।
আয়তক্ষেত্রের একটি কর্ণ আয়তক্ষেত্রটিকে দুটি সর্বসম ত্রিভুজে বিভক্ত করে।
আয়তক্ষেত্র সংক্রান্ত বিভিন্ন সূত্র:
আয়তক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল : (দৈর্ঘ্য × প্রস্থ) বর্গ একক
আয়তক্ষেত্রটির পরিসীমা : 2(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) একক
আয়ক্ষেত্রের কর্ণঃ √ একক।
বর্গক্ষেত্রঃ
যে চতুর্ভুজের চারটি বাহুই পরস্পর সমান ও সমান্তরাল এবং কোণগুলো সমকোণ তাকে বর্গক্ষেত্র বলে ।
বর্গক্ষেত্রের বৈশিষ্ট্যঃ
আয়তক্ষেত্রের দুটি সন্নিহিত (লাগালাগি) বাহু সমান হলে তাকে বর্গ বলে ।
বর্গক্ষেত্রের সকল বাহু সমান দৈর্ঘ্যের হয়।
বর্গক্ষেত্রের প্রত্যেকটি কোণ সমকোণ( ৯০ডিগ্রি)
বর্গক্ষেত্রের কর্ণদ্বয় পরস্পর সমান।
বর্গক্ষেত্রের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখন্ডিত করে ।
বর্গ সংক্রান্ত সূত্রাবলী:
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল : ( বাহু × বাহু) বর্গ একক অর্থাৎ
বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা : ( ৪ × একটি বাহুর দৈর্ঘ্য) একক অর্থাৎ 4a
বর্গক্ষেত্রের কর্ণ √2a (এখানে a হলো এক বাহুর দৈর্ঘ্য)
কর্ণ সম্পর্কিত :
একটি বর্গক্ষেত্র অথবা আয়তক্ষেত্রের এক কোণ থেকে অপর কোণ পর্যন্ত দূরত্বকে কর্ণ বলে।
বর্গক্ষেত্রের কর্ণটি বর্গক্ষেত্রটিকে দুটি সর্বসম সমকোণী ত্রিভুজে বিভক্ত করে।
বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য = √2a
যে কোনো চতুর্ভুজের বিপরীত কৌণিক শীর্ষের সংযোজক সরলরেখাকে কর্ণ বলে।
যে কোনো চতুর্ভুজের কর্ণদ্বয়ের সমষ্টি তার পরিসীমা অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর।
রম্বস (Rhombus) :
যে চতুর্ভুজের চারটি বাহুই পরস্পর সমান ও সমান্তরাল কিন্তু কোণগুলো সমকোণ নয় তাকে রম্বস বলে।
রম্বস সম্পর্কিত সূত্রাবলী:
রম্বসের ক্ষেত্রফল = × (কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্যের গুণফল) বর্গ একক
রম্বসের পরিসীমা: = ৪ × একটি বাহুর দৈর্ঘ্য (একক)
রম্বসের বৈশিষ্ট্য সমূহ:
সামন্তরিকের দুটি সন্নিহিত বাহু সমান হলে তাকে রম্বস বলে ।
রম্বসের সকল বাহু সমান হয়।
রম্বসের বিপরীত কোণগুলো পরস্পর সমান ।
রম্বসের একটি কোণও সমকোণ নয় ।
রম্বসের কর্ণদ্বয় অসমান ।
রম্বসের সন্নিহিত কোণদ্বয়ের সমষ্টি ২ সমকোণ ।
রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখন্ডিত করে।
সামন্তরিক (Parallelogram):
যে চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুগুলো পরস্পর সমান ও সমান্তরাল কিন্তু কোণগুলো সমকোণ নয় তাকে সামন্তরিক বলে।
সামন্তরিকের বৈশিষ্ট্য:
সামন্তরিকের বিপরীত বাহুদ্বয় পরস্পর সমান ।
সামন্তরিকের বিপরীত কোণগুলো পরস্পর সমান ।
সামন্তরিকের যে কোন দুইটি সন্নিহিত কোণ পরস্পরের সম্পূরক ।
সামন্তরিকের কর্ণদ্বয় অসমান ।
সামন্তরিকের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখন্ডিত করে।
সামন্তরিকের প্রত্যেক কর্ণ সামন্তরিককে দুটি সর্বসম ত্রিভুজে বিভক্ত করে ।
সামন্তরিকের সূত্র:
সামন্তরিকের ক্ষেত্রফল = ( ভূমি × উচ্চতা) বর্গ একক
সামন্তরিকের পরিসীমা = ২(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) একক
ট্রাপিজিয়াম (Trapezium):
যে চতুর্ভুজের দুইটি বাহু পরস্পর সমান্তরাল কিন্তু অসমান এবং অন্য বাহুদ্বয় অসমান্তরাল তাকে ট্রাপিজিয়াম বলে ৷
ট্রাপিজিয়ামের বৈশিষ্ট্য:
যে চতুর্ভুজের কেবলমাত্র দুইটি বাহু সমান্তরাল, তাকে ট্রাপিজিয়াম বলে ।
ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের একটিকে ভূমি এবং অসমান্তরাল বাহুদ্বয়কে তির্যক বাহু বলা হয় ।
ট্রাপিজিয়ামের তির্যক বাহুদ্বয় সমান হলে একে সমদ্বিবাহু ট্রাপিজিয়াম বলা হয় ৷
ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুদ্বয় কখনও সমান হতে পারে না।
ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুদ্বয় সমান হলে তা একটি আয়তক্ষেত্র বা বর্গক্ষেত্রে পরিণত হবে।
ট্রাপিজিয়ামের সূত্র:
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = × উচ্চতা × সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের সমষ্টি অর্থাৎ × h × (a + b)