ধারার অজানা পদ নির্ণয়: গাণিতিক কৌশল ও নিয়মাবলি

বিভিন্ন প্রতিযোগিতামূলক পরীক্ষার (যেমন: বিসিএস, ব্যাংক, প্রাথমিক শিক্ষক নিয়োগ ইত্যাদি) গাণিতিক যুক্তি অংশে ধারার অজানা পদ নির্ণয় বা পরবর্তী সংখ্যা বের করার প্রশ্ন অত্যন্ত আবশ্যিক ও গুরুত্বপূর্ণ একটি বিষয়। ধারা মূলত কতগুলো পদের এমন একটি সাজানো বিন্যাস, যা নির্দিষ্ট কোনো গাণিতিক সম্পর্ক বা প্যাটার্ন মেনে চলে। ধারার অজানা পদ বা পরবর্তী পদ দ্রুত ও নির্ভুলভাবে বের করার কৌশল জানা থাকলে পরীক্ষায় অনেক সময় বাঁচানো সম্ভব। নিচে ধাপে ধাপে ধারার অজানা পদ নির্ণয়ের সকল মৌলিক ও উন্নত গাণিতিক কৌশল উদাহরণসহ আলোচনা করা হলো।

• সমান্তর ধারা ও নির্দিষ্ট ব্যবধান বৃদ্ধি/হ্রাস
• গুণোত্তর ধারা
• গুণোত্তর হারে পার্থক্য বৃদ্ধি/হ্রাস
• ফিবোনাচ্চি ও যোগভিত্তিক ধারা
• বর্গ ও ঘন ভিত্তিক ধারা
• বহুপদী বা মিশ্র গাণিতিক অপারেশন
• দ্বৈত বা অল্টারনেট ধারা
• সমানুপাতিক ধারা
• মৌলিক সংখ্যা ও বিশেষ প্যাটার্ন ভিত্তিক ধারা

সমান্তর ধারা ও নির্দিষ্ট ব্যবধান বৃদ্ধি/হ্রাস (Arithmetic Sequence)

এই জাতীয় ধারায় পাশাপাশি দুটি পদের পার্থক্য স্থির থাকে অথবা পার্থক্য নির্দিষ্ট হারে (যেমন ১, ২, ৩...) বাড়ে বা কমে।

• স্থির পার্থক্য: ১, ৩, ৫, ৭, ... ধারাটির ৮ম পদ কত?
  
  • কৌশল/ব্যাখ্যা: এখানে প্রতি পদে পার্থক্য ২ করে বাড়ছে। এটি বিজোড় সংখ্যার ধারা (২n − ১)। ৮ম পদ = ২ × ৮ − ১ = ১৫।
• ক্রমবর্ধমান/ক্রমহ্রাসমান পার্থক্য: ১, ৩, ৬, ১০, ১৫, ২১, ... ধারার ১২তম (দ্বাদশ) পদ কত?
  
  • কৌশল/ব্যাখ্যা: এখানে পার্থক্যগুলো হলো যথাক্রমে ২, ৩, ৪, ৫, ৬। পার্থক্য ১ করে বাড়ছে। একইভাবে:
    • ৭ম পদ = ২১ + ৭ = ২৮
    • ৮ম পদ = ২৮ + ৮ = ৩৬
    • ৯তম পদ = ৩৬ + ৯ = ৪৫
    • ১০ম পদ = ৪৫ + ১০ = ৫৫
    • ১১তম পদ = ৫৫ + ১১ = ৬৬
    • ১২তম পদ = ৬৬ + ১২ = ৭৮

গুণোত্তর ধারা (Geometric Sequence)

যখন পূর্ববর্তী পদকে কোনো নির্দিষ্ট সংখ্যা বা ভগ্নাংশ দিয়ে গুণ বা ভাগ করে পরবর্তী পদ তৈরি করা হয়।

• গুণভিত্তিক: ৩, ৯, ২৭, ... ধারাটির পরবর্তী সংখ্যা কত?
  
  • কৌশল/ব্যাখ্যা: প্রতি পদকে ৩ দিয়ে গুণ করা হচ্ছে। পরবর্তী সংখ্যা = ২৭ × ৩ = ৮১।
• ভাগভিত্তিক: ৮১, ২৭, ..., ৩, ১ – লুপ্ত সংখ্যাটি কত?
  
  • কৌশল/ব্যাখ্যা: পূর্ববর্তী সংখ্যাকে ৩ দিয়ে ভাগ করা হচ্ছে। লুপ্ত সংখ্যা = ২৭ ÷ ৩ = ৯।
• দশমিক ধারা: ০.২, ০.০৪, ০.০০৮, ০.০০১৬, ... এর পরবর্তী পদ কত?
  
  • কৌশল/ব্যাখ্যা: প্রতি পদে ০.২ দ্বারা গুণ হচ্ছে। পরবর্তী সংখ্যা = ০.০০১৬ × ০.২ = ০.০০০৩২।

গুণোত্তর হারে পার্থক্য বৃদ্ধি/হ্রাস (Exponential Difference)

এই ধারায় সংখ্যাগুলোর পার্থক্য গুণোত্তর বা নির্দিষ্ট হারে বৃদ্ধি বা হ্রাস পায়।

• পার্থক্য দ্বিগুণ বৃদ্ধি: ৮, ১১, ১৭, ২৯, ৫৩, ... পরবর্তী সংখ্যাটি কত?
  
  • কৌশল/ব্যাখ্যা: পদের পার্থক্যগুলো হলো ৩, ৬, ১২, ২৪ (পার্থক্য দ্বিগুণ হচ্ছে)। পরবর্তী পার্থক্য হবে ২৪ × ২ = ৪৮। অতএব, পরবর্তী পদ = ৫৩ + ৪৮ = ১০১।
• পার্থক্য তিনগুণ বৃদ্ধি: ১, ৪, ১৩, ৪০, ... পরবর্তী পদ কত?
  
  • কৌশল/ব্যাখ্যা: পার্থক্যগুলো যথাক্রমে ৩, ৯, ২৭ (তিনগুণ হচ্ছে)। পরবর্তী পার্থক্য ২৭ × ৩ = ৮১। অতএব, পদটি = ৪০ + ৮১ = ১২১।

ফিবোনাচ্চি ও যোগভিত্তিক ধারা (Fibonacci Series)

পূর্ববর্তী দুটি পদের যোগফল দিয়ে পরবর্তী পদ তৈরি করার কৌশল।

• ফিবোনাচ্চি অনুক্রম: ১, ১, ২, ৩, ৫, ৮, ... এই ধারায় ৮ম পদ কত?
  
  • কৌশল/ব্যাখ্যা: ১ম+২য় = ৩য় পদ (১ + ১ = ২), ২য়+৩য় = ৪র্থ পদ (১ + ২ = ৩)। এভাবে, ৭ম পদ = ৫ + ৮ = ১৩ এবং ৮ম পদ = ৮ + ১৩ = ২১।
• অন্যান্য যোগভিত্তিক ধারা: ১, ৩, ৪, ৭, ১১, ১৮, ... পরবর্তী পদ কত?
  
  • কৌশল/ব্যাখ্যা: পূর্ববর্তী দুটি পদের যোগফল = পরবর্তী পদ। পরবর্তী সংখ্যাটি = ১১ + ১৮ = ২৯।

বর্গ ও ঘন ভিত্তিক ধারা (Square & Cube Series)

ধারার পদগুলো সরাসরি পূর্ণবর্গ, ঘন অথবা বর্গ/ঘনের অনুক্রম মেনে চলে।

• জোড়/বিজোড় সংখ্যার বর্গ: ৯, ৩৬, ৮১, ১৪৪, ... পরবর্তী পদ কত?
  
  • কৌশল/ব্যাখ্যা: পদগুলো হলো ৩, ৬, ৯, ১২ এর বর্গ। পরবর্তী পদ হবে ১৫ এর বর্গ = ১৫^২ = ২২৫।
• বিজোড় বর্গ: ১, ৯, ২৫, ৪৯, ৮১, ...
  
  • কৌশল/ব্যাখ্যা: ১, ৩, ৫, ৭, ৯ এর বর্গ। পরবর্তী পদ ১১^২ = ১২১।
• ক্রমহ্রাসমান বর্গ: ১৪৪, ৮১, ৩৬, ...
  
  • কৌশল/ব্যাখ্যা: পদগুলো ১২, ৯, ৬ এর বর্গ (৩ করে কমছে)। পরবর্তী পদ হবে ৩^২ = ৯।

বহুপদী বা মিশ্র গাণিতিক অপারেশন (Composite Operational Series)

গুণের সাথে যোগ বা বিয়োগ বা একাধিক গাণিতিক প্রক্রিয়া একসাথে প্রয়োগ করে অজানা পদ নির্ণয় করা হয়।

• উদাহরণ ১: ৫, ১৪, ৪০, ১১৭, ... পরবর্তী পদ কত?
  
  • কৌশল/ব্যাখ্যা:
    (৫ × ৩) − ১ = ১৪
    (১৪ × ৩) − ২ = ৪০
    (৪০ × ৩) − ৩ = ১১৭
    পরবর্তী পদ = (১১৭ × ৩) − ৪ = ৩৫১ − ৪ = ৩৪৭।
• উদাহরণ ২: ৬, ১৭, ৪৯, ১৪৪, ...
  
  • কৌশল/ব্যাখ্যা:
    (৬ × ৩) − ১ = ১৭
    (১৭ × ৩) − ২ = ৪৯
    (৪৯ × ৩) − ৩ = ১৪৪
    পরবর্তী পদ = (১৪৪ × ৩) − ৪ = ৪৩২ − ৪ = ৪২৮।

দ্বৈত বা অল্টারনেট ধারা (Interleaved/Alternate Series)

একটি ধারার ভেতর দুটি আলাদা ধারা পর পর সাজানো থাকে (বিজোড় ও জোড় স্থান অনুযায়ী)।

• উদাহরণ: ৪, ১১, ৮, ১৯, ১২, ... পরবর্তী সংখ্যাটি কত?
  
  • কৌশল/ব্যাখ্যা:
    ১ম ধারা (১ম, ৩য়, ৫ম পদ): ৪, ৮, ১২ (৪ করে বাড়ছে)।
    ২য় ধারা (২য়, ৪র্থ, ৬ষ্ঠ পদ): ১১, ১৯, ... (৮ করে বাড়ছে)।
    অতএব, ৬ষ্ঠ বা পরবর্তী পদটি হবে ১৯ + ৮ = ২৭।

সমানুপাতিক ধারা (Proportional Series)

অনুপাত ও সমানুপাতের নীতি ব্যবহার করে লুপ্ত পদ নির্ণয় করা যায়।

• উদাহরণ: ১২ : ১৬ :: ? : ২০ (লুপ্ত পদ নির্ণয়)
  
  • কৌশল/ব্যাখ্যা: লুপ্ত পদ = k হলে,
    $$\frac{\mathrm{১২}}{\mathrm{১৬}}=\frac{k}{\mathrm{২০}}\Rightarrow \frac{\mathrm{৩}}{\mathrm{৪}}=\frac{k}{\mathrm{২০}}\Rightarrow \mathrm{৪}k=\mathrm{৬০}\Rightarrow k=\mathrm{১৫}$$

মৌলিক সংখ্যা ও বিশেষ প্যাটার্ন ভিত্তিক ধারা

• মৌলিক সংখ্যার ক্রম: ২, ৩, ৫, ৭, ১১, ১৩, ১৭, ... ধারাটির পরবর্তী পদ হবে ১৯ (যেহেতু পদগুলো মৌলিক সংখ্যা)।
• অঙ্কের যোগফল বা স্থানান্তরের ধারা: অনেক সময় সংখ্যার মধ্যকার অঙ্কগুলোর (Digits) সমষ্টি বা প্যাটার্ন পরিবর্তন করে ধারা সাজানো হয়।

---

ধারার অজানা পদ নির্ণয়ের ক্ষেত্রে কোনো একটি নির্দিষ্ট সূত্রে সব অংক সমাধান করা যায় না। প্রশ্ন সমাধান করার সময় প্রথমেই লক্ষ্য করতে হবে পদগুলোর বৃদ্ধির গতি কেমন—ধীরগতিতে বাড়লে সমান্তর, দ্রুত বাড়লে গুণোত্তর/বর্গ এবং এলোমেলোভাবে কমলে বা বাড়লে দ্বৈত বা ফিবোনাচ্চি নিয়ম প্রয়োগ করতে হবে। নিয়মিত বিভিন্ন প্রতিযোগিতামূলক পরীক্ষার প্রশ্ন ও প্যাটার্ন অনুশীলনের মাধ্যমে ধারার যেকোনো অজানা পদ খুব সহজেই নির্ণয় করা সম্ভব।

---

এক্সাম সেটআপ

কতটি প্রশ্নে পরীক্ষা দিবেন? ২০টি প্রশ্ন ৩০টি প্রশ্ন ৪০টি প্রশ্ন ৬০টি প্রশ্ন সবগুলো প্রশ্ন

নেগেটিভ মার্কিং ০.২৫ ০.৫০ নেই

আপনার পরীক্ষার ফলাফল

০