ত্রিভুজ হলো তিনটি বাহু বা সাইড দ্বারা গঠিত একটি আবদ্ধ চিত্র বা ক্ষেত্র। যা তিনটি বিন্দুতে স্থাপিত হয় । এটি ব্যবহার করা হয় বিভিন্ন ধরনের গণিত ও জ্যামিতিক সমস্যার সমাধানের জন্য। একটি ত্রিভুজের মোট তিনটি কোণ এবং তিনটি বাহু থাকে। যেহেতু তিনটি বিন্দু সমান্তরাল হতে পারে না, সুতরাং ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল হলো বিন্দু দুইটির লম্বদূরত্ব গুণ করে সংখ্যাগুলোর সমান ভাগফল। ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য বা কোণের মান জানতে হলে ত্রিভুজের অংকে প্রয়োজনীয় সূত্রগুলো ব্যবহার করা হয়। ত্রিভুজ বিষয়ক জ্যামিতি অনেক কঠিন হওয়ার কারণে এর সমস্যা সমাধান এবং উপযোগিতা বিষয়ক অনেক গবেষণা চলছে। তবে ত্রিভুজ বিষয়ক জ্ঞান সম্পর্কে স্পষ্ট ধারণা নিতে হলে আজকের এই টিউটরিয়ালটি আপনার মনোযোগ সহকারে পড়া উচিত।
প্রাথমিক আলোচনা
ত্রিভুজ: তিনটি বাহু দ্বারা আবদ্ধ চিত্র বা ক্ষেত্রকে ত্রিভূজ বলে।
চিত্রে ABC একটি ত্রিভুজ। এখানে AB, BC ও AC তিনটি বাহু দ্বারা ABC একটি আবদ্ধ চিত্র হয়েছে যাকে ত্রিভুজ বলা যায় ।
ত্রিভুজ সম্পর্কে বিস্তারিত জানার আগে আমরা ত্রিভুজের সাথে সংশ্লিষ্ট কয়েকটি টার্ম জেনে নেই । যথা:
ভূমি (Base): চিত্রে BC হলো ভূমি।
শীর্ষবিন্দু (Vertex): চিত্রে A হল শীর্ষবিন্দু।
অন্তঃস্থ কোণ: চিত্রে ABC ত্রিভুজ ক্ষেত্রের ভিতরের যে তিনটি কোণ ∠A, ∠B, ∠C উৎপন্ন হয়েছে তা অন্তঃস্থ কোণ ।
বহিঃস্থকোণ: △ABC চিত্রের বাহিরে যে ∠ACD কোণ উৎপন্ন হয়েছে তা বহিঃস্থকোণ।
উচ্চতা: ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু থেকে ভূমির উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্যকে উচ্চতা বলে । চিত্রে AD হল ABC ত্রিভুজের উচ্চতা।
মধ্যমা: ত্রিভুজের শীর্ষ বিন্দু থেকে ভূমির মধ্যবিন্দুর সংযোগ রেখাকে মধ্যমা বলে। চিত্রে AD হল মধ্যমা; কেননা AD, BC বাহুকে ২ ভাগে ভাগ করেছে। এছাড়াও B ও C বিন্দুকে শীর্ষবিন্দু ধরে আরো দুটি মধ্যমা অঙ্কন করা যায় ।
ত্রিভুজ বিষয়ক গুরুত্বপূর্ণ অনুসিদ্ধান্ত
ত্রিভুজের বিভিন্ন বৈশিষ্ট্য ও শর্তের উপর নিম্নলিখিত অনুসদ্ধিান্ত গুলো অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ কেননা এই নিয়মগুলির উপর ভিত্তি করেই বিভিন্ন ধরনের প্রশ্ন তৈরী করা যায় এবং সেভাবেই বিভিন্ন পরীক্ষায় ও আসে। তাই চিত্র দেখে বুঝে বুঝে পড়ুন এবং লিখুন। পাশাপাশি নিয়ম সংশ্লিষ্ট প্রশ্নগুলো সমাধান করুন ।
অনুসিদ্ধান্ত - ০১: ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি ১৮০ ডিগ্রি অর্থাৎ ২ সমকোণ । চিত্রে: ∠A + ∠B + ∠C = ১৮০ ডিগ্রি বা ২ সমকোণ।
এজন্য যে কোন একটি কোণের পরিমাণ দেয়া না থাকলে অপর দুটি কোণের পরিমাণ
যোগ করে 180 ডিগ্রি থেকে তা বিয়োগ করলে তৃতীয় কোণের পরিমাণ বের হবে।
অনুসিদ্ধান্ত - ০২: ত্রিভুজের যেকোন দুই বাহুর সমষ্টি,তার তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর, অর্থাৎ ত্রিভুজের যে কোন দুটি বাহু যোগ করলে তা তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বড় হতে হবে। যদি বৃহত্তর না হয় তাহলে তা ত্রিভুজ হবে না। যেমন:
উপরের চিত্রে AB = ৩ সে.মি., BC = ৪ সে. মি. এবং AC = ৫ সে. মি. তাহলে, ৩+ ৪ > ৫ বা, ৭ > ৫ অর্থাৎ AB + BC > AC অন্য পাশ থেকে অন্য যে কোন দুটি বাহু নিলেও তাদের যোগফল ৩য় বাহু থেকে বড় হবে ।
অনুসিদ্ধান্ত – ০৩: ত্রিভুজের যেকোন দুই বাহুর অন্তর, তৃতীয় বাহু অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর, অর্থাৎ ত্রিভুজের দুটি বাহু বিয়োগ করলে যেন তা তৃতীয় বাহু থেকে ছোট হয়।
উপরের চিত্রে AB = ৩ সে. মি., BC = ৪ সে. মি. এবং AC = ৫ সে. মি.
তাহলে, ৫- ৩< ৪ এবং ২ < ৪ সুতরাং বলা যায়, AC - AB < BC
বোঝার জন্য: একটি ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ৫, ৮ এবং ১২ এখানে যে কোন দুটি বাহু বিয়োগ করলে তা তৃতীয় বাহু অপেক্ষা ছোট হবে। কিন্তু যদি বলা হয় তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ৩,৫,১২ তখন তা ত্রিভুজ হবে না, কারণ এখানে ১২- ৫ = ৭ হয় যা তৃতীয় বাহু ৩ থেকে বড়।
অনুসিদ্ধান্ত-০৪: ত্রিভুজের কোনো শীর্ষ বিন্দু থেকে তার বিপরীত বাহুর মধ্যবিন্দুর সংযোজক সরলরেখাকে মধ্যমা বলে।
Confusion Clear: শীর্ষ বিন্দু অর্থ শুধু উপরের বিন্দু নয়, এবং ত্রিভুজের যেকোনো একটি বাহুকে ভূমি কল্পনা করলে ভূমির বিপরীত বিন্দুকে শীর্ষ বিন্দু বলে ।
মধ্যমা সংক্রান্ত গুরুত্বপূর্ণ তথ্য:
(i) ১টি ত্রিভুজের ৩টি মধ্যমা থাকে ।
(ii) যেকোন মধ্যমা ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলকে সমান দুই ভাগে ভাগ করে।
(iii) ত্রিভুজের মধ্যমাগুলোর সমষ্টি ত্রিভুজের পরিসীমা অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর।
অনুসিদ্ধান্ত -০৫ : কোন ত্রিভুজের বৃহত্তর বাহুর বিপরীত কোণ বৃহত্তম আবার বৃহত্তম কোণের বিপরীত বাহু বৃহত্তর ।
অনুসিদ্ধান্ত -০৬ : কোন ত্রিভুজের সমান সমান বাহুর বিপরীত কোণগুলোও পরস্পর সমান আবার সমান সমান কোণের বিপরীত বাহুগুলোও সমান হবে ।
অনুসিদ্ধান্ত-০৭: ত্রিভুজের একটি বাহু বর্ধিত করলে যে বহিঃস্থ কোণ উৎপন্ন হয় তা বিপরীত অন্তঃস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টির সমান।
অনুসিদ্ধান্ত-০৮ : ত্রিভুজের বহিঃস্থ কোণগুলোর যোগফল ৪ সমকোণ বা ৩৬০ ডিগ্রি। সুতরাং ত্রিভুজের যে কোন দুটি বহিঃস্থ
কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ অপেক্ষা বৃহত্তর হবে। মনে রাখুন: যে কোন বহুভুজের ক্ষেত্রে ( চতুর্ভুজ, পঞ্চভুজ,ষড়ভুজ-ইত্যাদির ক্ষেত্রেও) বহিঃস্থ কোণগুলোর সমষ্টি ৩৬০ ডিগ্রি হয়।
অনুসিদ্ধান্ত- ০৯: ত্রিভুজের যেকোন দুইবাহুর মধ্যবিন্দুর সংযোজক সরলরেখা তৃতীয় বাহুর সমান্তরাল ও অর্ধেক।
ত্রিভুজের সর্বসমতা
দুটি ত্রিভুজ সর্বসম হওয়া অর্থ হল ত্রিভুজ দুটির আকার, আকৃতি ও ক্ষেত্রফল সমান হওয়া । তাই দুটি ভিন্ন ভিন্ন ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল সমান হলেও তাদের আকৃতি সমান না হলে ত্রিভুজ দুটি যেমন সর্বসম হবে না।
তেমনি, দুটি ত্রিভুজ যদি দেখতে একই রকম মনে হয় কিন্তু তাদের ক্ষেত্রফল সমান নয় তাহলেও ত্রিভুজ দুটি সর্বসম হবে না।
সর্বসম: আকার, আকৃতি ও ক্ষেত্রফল সমান হতে হবে।
দুটি ত্রিভুজের সর্বসমতার শর্ত: নিম্নোক্ত শর্তগুলো পূরণ হলে দুটি ত্রিভুজ সর্বসম হয়।
ক. দুই বাহু ও অন্তর্ভুক্ত কোণ সমান
খ. তিনবাহু সমান
গ. দুই কোণ ও এক বাহু সমান
ঘ. সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ ও এক বাহু সমান
সর্বসমতা নির্দেশক চিহ্ন ≅
দুটি ত্রিভুজ কখন সর্বসম হয় না ?
ক. যখন তাদের ক্ষেত্রফল সমান হয় কিন্তু আকৃতি সমান হয় না। চিত্র দেখে বুঝুন -
খ. আবার দুটি ত্রিভুজের আকৃতি দেখতে একই রকম হয় কিন্তু ক্ষেত্রফল সমান হয় না ৷ চিত্র দেখে বুঝুন -
গ. আবার একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণ অপর একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের সমান হওয়া সত্ত্বেও ত্রিভুজ দুটি সর্বসম না ও হতে পারে। যেমন: চিত্রটি দেখুন: -
এই দুটি ত্রিভুজ সর্বসম নয় ।কারণ কোণগুলো সমান হলে ও বাহুগুলো কিন্তু সমান নয় । এরুপ সমান কোণ বিশিষ্ট দুটি ত্রিভুজকে সদৃশ্যকোণী ত্রিভুজ বলা হয়।
ত্রিভুজের কেন্দ্র
অন্ত:কেন্দ্র (In-centre):
ত্রিভূজের কোণের সমদ্বিখন্ডিত বাহুত্রয় যে বিন্দুতে মিলিত হয় তাকে অন্তঃকেন্দ্র বলে ।
চিত্রঃ- অন্ত:কেন্দ্র
△ABC- এ ∠A, ∠B ও ∠C কোণের সমদ্বিখন্ডক বাহুত্রয়ের মিলিত বিন্দু O। আর
O হল ত্রিভূজটির অন্তঃকেন্দ্র।
পরিকেন্দ্র (Circumcentre) :
ত্রিভূজের বাহু বা পরিসীমার উপর অঙ্কিত লম্বত্রয় ত্রিভূজের অভ্যন্তরে যে বিন্দুতে মিলিত হয় তাকে পরিকেন্দ্র বলে ।
চিত্রঃ- পরিকেন্দ্র
△ABC- এ AB, BC ও AC বাহুত্রয়ের উপর লম্ব ত্রয় যথাক্রমে OP, OQ,OR ।
অতএব O হল পরিকেন্দ্র।
ভরকেন্দ্র (Centroid): ত্রিভূজের শীর্ষবিন্দু হতে বিপরীত বাহুর মধ্যবিন্দুর সংযোগ সরলরেখাত্রয় যে বিন্দুতে মিলিত হয় তাকে ভরকেন্দ্র বলে।
চিত্রঃ- ভরকেন্দ্র
ব্যাখ্যা: চিত্রে △ABC-এ A,B ও C শীর্ষবিন্দু এবং তাদের বিপরীত বাহুত্রয় হল BC,AC,AB। এখন শীর্ষ বিন্দু থেকে বাহুত্রয়ের মধ্যবিন্দুর সংযোগ সরলরেখাত্রয় হল- AQ,BR,CP । রেখাত্রয় মিলিত হয়েছে O বিন্দুতে । অতএব O হল ত্রিভূজের ভরকেন্দ্র।
ত্রিভুজের প্রকারভেদ
ত্রিভুজকে প্রধানত ২টি বৈশিষ্ট্যের ভিত্তিতে ভাগ করা যায়। যথা:
১. কোণ ভেদে
২. বাহুভেদে
১. কোণভেদে ত্রিভুজ ৩ প্রকার । যথা:
(i) সমকোণী ত্রিভুজ
(ii) সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজ
(iii) স্থূলকোণী ত্রিভুজ
২. বাহুভেদে ত্রিভুজ ৩ প্রকার। যথা:
(i) সমবাহু ত্রিভুজ
(ii) সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ
(iii) বিষমবাহু ত্রিভুজ
সমকোণী ত্রিভুজ (Right angled triangle):
[সমকোণী ত্রিভুজের উপর সবথেকে বেশি প্রশ্ন হয়ে থাকে ।]
যে ত্রিভুজের একটি কোণ সমকোণ তাকে সমকোণী ত্রিভুজ বলে। যেমন-
চিত্রে ∠B = ৯০ ডিগ্রি বা ১ সমকোণ
সমকোণী ত্রিভুজের বৈশিষ্ট্যঃ
সমকোণী ত্রিভুজের একটি কোণ অবশ্যই এক সমকোণ বা ৯০ ডিগ্রি হতে হবে।
সমকোণের বিপরীত বাহুকে অতিভুজ বলা হয়।
সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ ই বৃহত্তম বাহু ।
সমকোণ ব্যতীত অন্য দুটি কোণ সূক্ষ্মকোণ এবং এরা পরস্পরের পূরক (কারণ যোগফল ৯০°)
সমকোণ সংলগ্ন বাহুদ্বয়ের যে কোন একটিকে লম্ব এবং অপরটিকে ভূমি ধরা যায়। (অর্থাৎ লম্ব ও ভূমি নির্দিষ্ট নয়।)
সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ সংলগ্ন বাহুদ্বয়ের উপর অংকিত বর্গক্ষেত্রদ্বয়ের ক্ষেত্রফলের সমষ্টি অপর বাহুর উপর অংকিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের সমান। এটা পীথাগোরাসের উপপাদ্য নামে পরিচিত যাকে লেখা যায়,
• বাহুর মাধ্যমে চেনার উপায়:
ক্ষুদ্রতম দুই বাহুর বর্গের সমষ্টি উহার বৃহত্তর বাহুর বর্গের সমান হলে তা সমকোণী ত্রিভুজ হয়।
সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = × ভূমি × উচ্চতা
[ এই সূত্রটি শুধু সমকোণী ত্রিভুজে কাজে লাগবে বিষয়টা এমন নয় বরং যেখানে ভূমি ও উচ্চতার মান দেয়া থাকবে সেখানেই এই সূত্রটি প্রয়োগ করে সমাধান করা যাবে। ]
পীথাগোরাসের উপপাদ্য:
সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের উপর অংকিত বর্গক্ষেত্র , ঐ ত্রিভুজের অপর দুই বাহুর উপর অংকিত বর্গক্ষেত্রের সমষ্টির সমান।
ব্যাখ্যা: এখানে ABC ত্রিভুজের প্রতিটি বাহুর উপর একটি করে বর্গক্ষেত্র তৈরী করা হয়েছে । যার মধ্যে অতিভুজ AC বাহুর অংকিত বর্গক্ষেত্রটি AB এবং AC বাহুদ্বয়ের উপর অংকিত বর্গক্ষেত্রদ্বয়ের সমষ্টির সমান । এই কথাটিই পীথাগোরাসের সূত্রানুসারে এভাবে লিখতে হয়,
চিত্রানুসারে AC = 5 , AB = 3 এবং BC = 4
সূত্রে মানগুলো বসিয়ে পাই ,
বা, 25 = 9 + 16
বা, 25 = 25
এখন, অতিভুজ AC = 5 এর পরিবর্তে ৬ ধরলে মানগুলো পূর্ণ সংখ্যায় মিলবে না , তাই কখনো লম্ব ও ভূমি ৩ ও ৪ মিটার হলে অতিভুজ অবশ্যই ৫ মিটার হবে ।
এই সূত্রটি দিয়ে পরবর্তীতে প্রচুর প্রশ্ন সমাধান করা যাবে । তাই গুরুত্ব দিয়ে বুঝুন ।
সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজ (Acute Angled Triangle):
যে ত্রিভুজের তিনটি কোণ সূক্ষ্মকোণ (৯০ ডিগ্রি এর থেকে কম) তাকে সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজ বলে। যেমন-
চিত্রে △ABC একটি সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজ।
সূক্ষকোণী ত্রিভূজের বৈশিষ্ট্য:
সূক্ষকোণী ত্রিভূজের তিনটি কোণই সূক্ষকোণ অর্থাৎ ৯০ ডিগ্রি এর থেকে কম ।
সমবাহু ত্রিভূজ একটি সূক্ষকোণী ত্রিভূজ যার প্রতিটি কোণ ৬০ ডিগ্রি ।
সূক্ষকোণী ত্রিভূজের যে কোন দুই বাহুর বর্গের সমষ্টি অপর বাহুর বর্গের চেয়ে বৃহত্তর ।
স্থূলকোণী ত্রিভুজ (Obtuse Angled Triangle) :
যে ত্রিভুজের একটি কোণ স্থূলকোণ তাকে স্থূলকোণী ত্রিভুজ বলে। যেমন-
চিত্রে △ABC একটি স্থূলকোণী ত্রিভুজ কারণ ∠B স্থূলকোণ ।
স্থূলকোণী ত্রিভূজের বৈশিষ্ট্য:
স্থূলকোণী ত্রিভূজের একটি কোণ স্থূলকোণ এবং অন্য দুটি কোণ সূক্ষ্মকোণ ।
বৃহত্তম বাহুর বর্গ অপর দুই বাহুর বর্গের সমষ্টির চেয়ে বৃহত্তর ।
সমবাহু ত্রিভুজ (Equilateral Triangle):
যে ত্রিভুজের তিনটি বাহুই পরস্পর সমান তাঁকে সমবাহু ত্রিভুজ বলে। যেমন-
যেমন △ABC একটি সমবাহু ত্রিভুজ যার প্রতিটি বাহু পরস্পর সমান এবং প্রত্যেকটি কোণ ৬০ ডিগ্রি ।
সমবাহু ত্রিভুজের বৈশিষ্ট্য:
তিনটি বাহু সমান ।
কোণ তিনটি ও সমান।
প্রত্যেক কোণের পরিমান ৬০ ডিগ্রি । যেহেতু তিন বাহু সমান তাই কোণগুলোও সমান হবে। আবার তিনটি কোণের সমষ্টি ১৮০ ডিগ্রি, তাই একটি কোণ হবে ১৮০÷৩ = ৬০ ডিগ্রি
শুধু পরিসীমা দেয়া থাকলে একমাত্র সমবাহু ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব ।
সমবাহু ত্রিভুজকে সূক্ষকোণী ত্রিভুজ ও বলা যায় কারণ সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি কোণই সূক্ষকোণ ।
সমবাহু ত্রিভুজের সুত্র:
△সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা: এক বাহু a হলে, পরিসীমা = 3a ( ত্রিভুজের 3 বাহুর যোগফল) ।
△সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (সমবাহু ত্রিভুজের এক বাহুর দৈর্ঘ্য a হলে)
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ (Isosceles Triangle):
যে ত্রিভুজের দু’টি বাহু সমান তাকে সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ বলে । যেমন-
চিত্রে △ABC একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ । যার AB বাহু = AC বাহু ।
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের বৈশিষ্ট্য:
দুটি বাহু পরস্পর সমান। চিত্রে AB = AC .
সমান সমান বাহুর বিপরীত কোণদ্বয় ও সমান ।
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = ( যেখানে b = ভূমি এবং a = সমান সমান বাহুদ্বয়ের
দৈর্ঘ্য )
বিষমবাহু ত্রিভুজ (Scalene Triangle):
যে ত্রিভুজের তিনটি বাহুই অসমান তাকে বিষমবাহু বা অসমবাহু ত্রিভুজ বলে । যেমন-
চিত্র: বিষমবাহু ত্রিভুজ
বিষমবাহু ত্রিভুজের বৈশিষ্ট্য:
প্রতিটি বাহু অসমান
মধ্যমাগুলো অসমান
বিষমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল =
এখানে 2S ( পরিসীমা ) = a + b + c
সুতরাং S ( অর্ধ পরিসীমা ) =