অনুপাত ও সমানুপাত- পাটিগণিত

বিসিএস, শিক্ষক নিবন্ধন কিংবা ব্যাংকসহ যেকোনো প্রতিযোগিতামূলক পরীক্ষায় গণিতের ‘অনুপাত ও সমানুপাত’ (Ratio & Proportion) অধ্যায়টি থেকে প্রশ্ন আসবেই! দৈনন্দিন জীবনের হিসাব-নিকাশ ছাড়াও যেকোনো চাকরির পরীক্ষায় ১-২ নম্বর নিশ্চিত করতে এই অধ্যায়ের গুরুত্ব অপরিসীম। তাই মূল কনসেপ্ট পরিষ্কার করা, দ্রুত অংক করার শর্টকাট কৌশল এবং বিগত সালের প্রশ্ন সমাধানের পাশাপাশি এই আর্টিকেলে যুক্ত করা হয়েছে ‘লাইভ এক্সাম মোড’ (Live Exam Mode)। এখন আপনি শুধু নিয়ম শিখবেনই না, বরং নিজে নিজে কুইজ টেস্ট দিয়ে তাৎক্ষণিক নিজের প্রস্তুতিও যাচাই করতে পারবেন!

• প্রাথমিক আলোচনা
• কিছু সহজ কৌশল
• সমানুপাত বের করা
• ভগ্নাংশের অনুপাত

প্রাথমিক আলোচনা

Ratio বা অনুপাত কী?

অনুপাত হচ্ছে এক বা একাধিক রাশির তুলনা যাকে ( : ) চিহ্ন দিয়ে প্রকাশ করা হয় যা একটি ভগ্নাংশকে নির্দেশ করে। যেমন- ৩:৭ = ৩ ৭ ।

অনুপাত সম্পর্কিত কিছু তথ্য:

অনুপাত হচ্ছে একটি ভগ্নাংশ যাতে প্রথম রাশি লব এবং দ্বিতীয় রাশি হর ।
অনুপাতকে সবসময় ক্ষুদ্রতম আকারে প্রকাশ করতে হয় । অর্থাৎ ৮:৬ না লিখে লিখতে হয় ৪:৩ ।
অনুপাতের তুলনায় যে রাশি প্রথমে তার মান ও প্রথমেই বসাতে হয় ।
অনুপাতে প্রকাশ করার জন্য কমপক্ষে দুটি রাশির মানের প্রয়োজন ।
অনুপাতের নির্দিষ্ট কোন একক নেই। অর্থাৎ ৫:৭ = ৫ কেজি ও ৭কেজি বলা যাবে না।বরং যার অনুপাত প্রকাশ করবে তখন সেই এককই ব্যবহৃত হবে।

বিভিন্ন প্রকার অনুপাতঃ

বহুরাশিক অনুপাত: মনে করি, একটি বাক্সের দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা যথাক্রমে ৮ সে.মি., ৫ সে.মি. ও ৬ সে.মি.
দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতার অনুপাত = ৮ : ৫ : ৬
সংক্ষেপে, দৈর্ঘ্য : প্রস্থ : উচ্চতা = ৮ : ৫ : ৬
এখানে তিনটি রাশির অনুপাত উপস্থাপন করা হয়েছে। এরূপ তিন বা ততোধিক রাশির অনুপাতকে বহুরাশিক অনুপাত বলে।

ধারাবাহিক অনুপাত : মনে করি, পুত্র ও পিতার বয়সের অনুপাত = ১৫ : ৪১ (পূর্ব রাশি: উত্তর রাশি) এবং পিতা ও দাদার বয়সের অনুপাত = ৪১: ৬৫ ।
দুইটি অনুপাতকে একত্র করে পাই, পুত্রের বয়স : পিতার বয়স : দাদার বয়স = ১৫ : ৪১ : ৬৫ । এ ধরনের অনুপাতকে ধারাবাহিক অনুপাত বলে।
এখানে লক্ষণীয় যে, প্রথম অনুপাতের উত্তর রাশি ও দ্বিতীয় অনুপাতের পূর্ব রাশি সমান। প্রথম অনুপাতের উত্তর রাশি ও দ্বিতীয় অনুপাতের পূর্ব রাশি সমান না হলে তাদেরকে সমান করে ধারাবাহিক অনুপাত বের করতে হয়।

দুইটি অনুপাতকে ধারাবাহিক অনুপাতে রূপান্তরের জন্য প্রথম অনুপাতের উত্তর রাশি দ্বারা দ্বিতীয় অনুপাতের উভয় রাশিকে গুণ করতে হবে এবং দ্বিতীয় অনুপাতের পূর্ব রাশি দ্বারা প্রথম অনুপাতের উভয় রাশিকে গুণ করতে হবে।

উদাহরণস্বরুপ : মনে করি, পুত্র ও পিতার বয়সের অনুপাত = ৩ : ৭ এবং পিতা ও দাদার বয়সের অনুপাত = ৫: ৮ ।
এখন দুইটি অনুপাতকে ধারাবাহিক অনুপাতে রূপান্তরের জন্য প্রথম অনুপাতের উত্তর রাশি ( ৭ ) দ্বারা দ্বিতীয় অনুপাতের উভয় রাশিকে গুণ করতে হবে ।এদের গুণফল হয় = ৫×৭ : ৮×৭ = ৩৫ : ৫৬ । আবার দ্বিতীয় অনুপাতের পূর্ব রাশি ( ৫ ) দ্বারা প্রথম অনুপাতের উভয় রাশিকে গুণ করতে হবে। এদের গুণফল হয় = ৩×৫ : ৭×৫ = ১৫ : ৩৫ । এক্ষেত্রে দেখা যাচ্ছে পিতার বয়সের অনুপাত উভয়ক্ষেত্রেই ৩৫ । তাই দুইটি অনুপাতকে একত্র করে পাই, পুত্রের বয়স : পিতার বয়স : দাদার বয়স = ১৫ : ৩৫ : ৫৬ । এটিই ধারাবাহিক অনুপাত।

ব্যস্ত বা বিপরীত অনুপাত: কোন অনুপাতের পূর্ব ও উত্তরঃ রাশিকে যথাক্রমে উত্তর ও পূর্ব রাশি ধরে যে অনুপাত হয়, তাকে প্রথম অনুপাতের ব্যস্ত অনুপাত বলা হয়। যেমন ৩:৪ এর ব্যস্ত বা বিপরীত অনুপাত ৪:৩।

দ্বিগুণানুপাতঃ কোন অনুপাতের পূর্ব ও উত্তর ও রাশির বর্গের অনুপাতকে তার দ্বিগুণানুপাত বলা হয়। যথা- ৩:২ এর দ্বিগুণানুপাত ৩ ২: ২ ২ = ৯:৪ ।

দ্বিবিভাজিত অনুপাত : কোন সরল অনুপাতের পূর্ব রাশির বর্গমূলকে পূর্ব রাশি এবং উত্তর রাশির বর্গমূলকে উত্তর রাশি ধরে প্রাপ্ত অনুপাতকে প্রদত্ত অনুপাতের দ্বিভাজিত অনুপাত বলা হয়। যেমন , ১৬:৯ এর দ্বিভাজিত অনুপাত √১৬:√৯ = ৪:৩।

মিশ্র অনুপাত : একের অধিক সরল অনুপাতের পূর্ব রাশিগুলোর গুণফলকে পূর্ব রাশি ও উত্তর রাশিগুলোর গুণফলকে উত্তর রাশি ধরে যে অনুপাত তৈরী করা হয় , তাকে মিশ্র অনুপাত বলা হয় । যেমন- ৩:৪ , ৫:৬ ও ২:৫ তিনটি সরল অনুপাত । তাদের পূর্ব রাশিগুলোর গুণফল = (৩×৫×২) = ৩০ এবং উত্তর রাশিগুলোর গুণফল = (৪×৬×৫) = ১২০ । সুতরাং প্রদত্ত অনুপাত তিনটির মিশ্র অনুপাত ৩০:১২০ বা ১:৪ ।

কিছু সহজ কৌশল

উদাহরণ:-১. ৪ : ৭ ও ১০ : ১১ অনুপাত দুইটির মধ্যে কোনটি বৃহত্তম?

সমাধান: ৪:৭ = ৪ ৭ এবং ১০:১১ = ১১ ১০ [অনুপাত কে ভগ্নাংশ আকারে প্রকাশ করা যায়]
এখানে হরদ্বয় ৭ ও ১১ এর ল.সা.গু. = ৭৭ [দুটি ভগ্নাংশের হর দুটি কে সমান করলে তুলনা করতে সহজ হবে।]
এখন, ৪:৭ = ৪ ৭ = ৪×১১ ৭×১১ = ৪৪ ৭৭ [ এখানে ভগ্নাংশের হর দিয়ে ল.সা.গু কে ভাগ করে প্রাপ্ত ভাগফল দিয়ে লব ও হর উভয়কে গুণ করা হয়েছে ]
এবং ১০:১১ = ১০ ১১ = ১০×৭ ১১×৭ = ৭০ ৭৭ ; এখানে ৪৪ ৭৭ > ৭০ ৭৭
সুতরাং ১০:১১ অনুপাতটি বৃহত্তম।
[একই নিয়মে ৩,৪টি অনুপাতের মধ্য থেকে ছোট বড় টি বের করা যায় ভগ্নাংশের তুলনা করার মত করে হিসেব করে। এজন্য “বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম ভগ্নাংশ নির্ণয় “ পোস্টটি পড়ুন এখানে ক্লিক করে ।]

উদাহরণ:-২. সাজু ও রাজুর বয়সের অনুপাত ৩:২; সাজুর বয়স ১৫ বছর হলে, রাজুর বয়স কত?

সমাধান:
এখানে লক্ষ্য করুন, অনুপাতের প্রথমে সাজুর নাম তাই অনুপাতটির প্রথমটি সাজুর বয়স। তাই এখানে অনুপাতের ৩ অংশের মান = ১৫ হলে ১ অংশের মান হবে ১৫ ÷৩ = ৫ । এখন যেহেতু রাজুর বয়স বের করতে বলেছে তাই এই ১ অংশের মান দিয়ে রাজুর অংশকে গুণ করতে হবে। আর এই অংকটিতে রাজুর অংশ হল ২। তাই রাজুর বয়স হবে ৫×২ = ১০ বছর।

আবার একটু ভিন্ন ভাবে আসতে পারে, যেমন-
উদাহরণ:-৩.সাজু ও রাজুর বয়সের অনুপাত ৪:৫; রাজুর বয়স ২০ হলে সাজুর বয়স কত?

সমাধান:
এখানে অনুপাতের ৪ অংশ = ২০ না, বরং ৫ অংশ = ২০ কেননা ২০ হলো রাজুর বয়স এবং রাজুর বয়সের আনুপাতিক মান হলো ৫ । অনেকেই ভুল করতে পারে, এক্ষেত্রে আগে ১ অংশের মান আনলে মুখে মুখে করা যাবে। যেমন: ৫ অংশ = ২০ তাই ১ অংশ ২০÷৫ = ৪, এখন ৪ অংশ = ৪×৪=১৬ বছর। সুতরাং সাজুর বয়স ১৬ বছর। (কেননা সাজুর বয়স মোট অনুপাতের ৪ অংশ),
আবার যদি তাদের দু জনের মোট বয়স কত? চাইতো তাহলে, ৪+৫= ৯ অংশের মান বের করতে হবে, ৯ অংশ = ৪×৯=৩৬ বছর। অনেকে ২জনের আলাদা আলাদা বয়স বের করে যোগ করবেন, তাতেও হবে কিন্তু ২ সেকেন্ড সময় বেশি লাগবে। তাই যেভাবে করলে দু সেকেন্ড সময় কম লাগবে সেভাবে শেখার চেষ্টা করুন।

উল্টোভাবে আসলে, যেমন:
উদাহরণ:-৪. পিতা ও পুত্রের বয়সের অনুপাত ৪:১, তাদের মোট বয়স ৫০ বছর হলে কার বয়স কত?

দেখেই বোঝা যাচ্ছে, পিতার ৪ অংশ + পুত্রের ১ অংশ =মোট ৫ অংশ, আবার মোট বয়স ৫০ বছর, তাই ৫ অংশের মান = ৫০ বছর। তাহলে ১ অংশের মান = ৫০÷৫ = ১০বছর,
এখন, পিতার বয়স = ৪ অংশ ×১০ = ৪০ বছর এবং পুত্রের বয়স = ১ অংশ×১০ = ১০ বছর ।
এখানে মনে রাখবেন অনুপাতের মধ্যকার সংখ্যাগুলো অনুযায়ী অংশ ধরা হয় এবং যত অংশের মান দেয়া থাকে সেই অংশ কে ভাগ করে প্রথমে এক অংশের মান বের করার পর যার অংশ বের করতে বলে তার অংশ বের করতে হয়। যেমন:

উদাহরণ:-৫. ক, খ ও গ এর আয়ের অনুপাত ২ :৩ :৫ টাকা। ক এর আয় ১০০ টাকা হলে গ এর আয় কত টাকা, এবং তিন জনের মোট আয় কত?

সমাধান:
এরকম অংকের ক্ষেত্রে সবার আগে অংকটি করা শুরু করবেন অংকে প্রদত্ত সংখ্যাটি থেকে, অর্থাৎ অংকটিতে যে ১০০ দেয়া আছে তা কী? এটা হলো ক এর মোট আয়। আবার অনুপাতে ক এর মোট অংশ ২ তাহলে বোঝাই যাচ্ছে এই ১০০ হচ্ছে ২ অংশের মান। এখানে ২ অংশের মান ১০০ টাকা তাই ১ অংশের মান হচ্ছে ১০০÷২ = ৫০টাকা। তাহলে গ এর আর অনুপাতে দেয়া আছে ৫ অংশ, তাই ৫ অংশের মান হবে ৫০x৫ = ২৫০ টাকা। আবার তাদের মোট আয় হবে ২+৩+৫ = ১০ অংশ অর্থাৎ ১০×৫০ = ৫০০ টাকা ।

Very Very Important : এখান থেকে ভালোভাবে শিখে নিন এই ১ অংশ বিষয়টি কি? কিভাবে এই ১ অংশের মান বের করে তা দিয়ে অনুপাতের বিভিন্ন অংক খুব দ্রুত করা যায়। তাহলে অধিকাংশ অংকই মুখে মুখে করতে পারবেন।

উদাহরণ:-৬. করিম ও রহিমের বেতনের অনুপাত ৭:৫। করিমের বেতন রহিমের বেতন অপেক্ষা ৪০০ টাকা বেশী হলে করিমের কাছে মোট কত টাকা আছে?

প্রথমে অনুপাতের বিয়োগফল অর্থাৎ ৭-৫=২ এখন, এই ২ ভাগ = ৪০০ টাকা । তাই ১ ভাগ = ২০০ টাকা, আর ১ ভাগের মান বের হলে কার মান কত তা সহজেই মুখে মুখে বের করা যায়। এখানে করিমের অংশ = ৭ । তাই করিমের কাছে টাকা আছে = ৭×২০০ = ১৪০০ টাকা।

উদাহরণ:-৭. দুইটি রাশির অনুপাত ৬:১১ । উত্তর রাশি ৯৯ হলে, পূর্ব রাশি কত?

সমাধান:
এ ধরণের অংক মুখে মুখে-ই করা সম্ভব এবং খাতা কলম ছাড়াই করতে হবে। লক্ষ্য করুন অনুপাত বাদে যে ৯৯ সংখ্যাটি দেয়া আছে তা হল অনুপাতের ১১ অংশের মান, তাহলে সংখ্যাটি ৯ গুণ বেড়ে গেছে। সুতরাং অপর রাশিটিও সমান অনুপাতে ৯ গুণ বেড়ে হয়ে যাবে ৫৪ ৷

উদাহরণ:-৮. দুইটি বইয়ের মূল্যের অনুপাত ৫ : ৭ । দ্বিতীয়টির মূল্য ৮৪ টাকা হলে, প্রথমটির মূল্য কত?

সমাধান:
২য় বইটির মূল্য = ৭ অংশ = ৮৪ হলে ,১ অংশ = ৮৪÷৭ = ১২ । তাহলে প্রথম বইটির মূল্য হবে = ৫ অংশ = ৫×১২ = ৬০ টাকা ।

উদাহরণ:-৯. ৫৬ কে ৮:৭ অনুপাতে হ্রাস করলে নতুন সংখ্যা হবে?

সমাধান:
হ্রাস পাওয়া অর্থ কমে যাওয়া এখানে ৮ অনুপাত থেকে ৭ অনুপাতে আনলে কমবে। ৫৬ সংখ্যাটি ৮ অংশের মান। তাই হ্রাস কৃত সংখ্যাটি হবে ৭×৭ = ৪৯।

উদাহরণ:-১০. সুমনের বেতন রহিমের বেতনের ২১০% । লিটনের বেতন লিজার বেতনের ৭০%। লিজার বেতন রহিমের বেতনের দ্বিগুণ সুমন এবং লিটনের বেতনের অনুপাত কত?

সমাধান:
ধরি, রহিমের বেতন = ১০০ সুতরাং সুমনের বেতন = ২১০
লিজার বেতন ১০০×২ = ২০০
লিটনের বেতন = ২০০ এর ৭০% = ১৪০
সুতরাং সুমন এবং লিটনের বেতনের অনুপাত = ২১০:১৪০ = ৩:২ উত্তর:

সমানুপাত বের করা

দুইটি অনুপাত পরস্পর সমান হলে তাকে সমানুপাত (Proportioin) বলে। চারটি রাশির মধ্যে যদি প্রথম ও দ্বিতীয় রাশির অনুপাত, তৃতীয় ও চতুর্থ রাশির অনুপাতের সমান হয়, তবে ঐ রাশি চারটিকে সমানুপাতী (Proportioinal) বলে। যথা— (১) ৪ : ৬, ১০:১৫ এরা সমানুপাতী। কারণ, ৪:৬ = ৪ ৬ = ২ ৩ এবং ১০ : ১৫ = ১০ ১৫ = ২ ৩ ।
উভয় অনুপাতের মান ২ ৩ বলে এরা সমানুপাতী।
(২) ২ টাকা, ৫ টাকা, ১২ গজ, ৩০ গজ—এই চারটি রাশি সমানুপাতী।
কারণ, ২ টাকা ÷ ৫ টাকা = ২ ৫ এবং ১২ গজ ÷ ৩০ গজ = ১২ ৩০ = ২ ৫
এখানে প্রথম রাশি দুইটির অনুপাত, তৃতীয় ও চতুর্থ রাশি দুইটির অনুপাতের সমান হওয়ায়, ঐ রাশির চারটি সমানুপাতী।
লেখার নিয়ম (Process of writing):
৪ : ৬ = ১০ : ১৫ “=” এই সমান চিহ্নটির পরিবর্তে “::” এই চিহ্নটি ব্যবহার করা হয়। যথা, ৪ : ৬ :: ১০ : ১৫ ।
টিপস: চারটি রাশি সমানুপাতী হলে প্রান্তীয় (প্রথমটি ও চতুর্থটি) রাশি দুইটির মানের গুণফল মধ্যরাশি দুইটির মানের গুণফলের সমান হবে। অর্থাৎ প্রথম ও শেষ রাশিটির গুণফল মধ্যের দুটি রাশির গুণফলের সমান হবে।

উদাহরণ:-১. ৩, ৯ এবং ৪ এর চতুর্থ সমানুপাতিক কত ?
সমানুপাতের অংকগুলো মুখে মুখে করার জন্য এভাবে ভাবুন >> প্রশ্নে অংকটি দেখেই ৩,৯,৪ এর মধ্যে মাঝখানের দুটির গুণফল ৩৬ তাহলে প্রথম ও শেষ রাশিটির গুণফল ও ৩৬ হবে। এখানে প্রথম রাশি দেয়া আছে ৩, তাহলে শেষ রাশিটি হবে। ৩৬÷৩= ১২।

উদাহরণ:-২. ৯ ও ১৬-এর মধ্য সমানুপাতী কত?
[Hints: মধ্যসমানুপাত একই, শুধু মাঝের রাশি দুটি একই সংখ্যা হবে, তাই ৯×১৬ =১৪৪ এর বর্গমূল ১২ হবে উত্তর।]

উদাহরণ:-৩. টিপুর বোনের বয়স টিপুর বয়সের এবং তার বাবার বয়সের মধ্য সমানুপাতী। টিপুর বয়স ১২ বছর,তার বাবার বয়স ৪৮বছর হলে, তার বোনের বয়স কত?
[Hints: ১২×৪৮ = ৫৭৬ এর বর্গমূল = ২৪]

ভগ্নাংশের অনুপাত

টিপস: এ জাতীয় অংক করতে শুধু অনুপাতটিকে ভগ্নাংশ আকারে অথবা ভগ্নাংশটিকে অনুপাত আকারে সাজিয়ে লিখলেই হয়ে যাবে। লক্ষ্য রাখবেন প্রথম অংশটি বা বামপক্ষ ভগ্নাংশের উপরে এবং অন্যটি নিচে লিখতে হয়। যেমন: a:b = b:c হলে a b = b c এরকম দুটি অনুপাত সমান সমান হলে প্রথম রাশি ×শেষ রাশি = মাঝের দ্বিতীয় রাশি × তৃতীয় রাশি ।

উদাহরণ:-১. 261 টি আম তিন ভাইয়ের মধ্যে 1 3 : 1 5 : 1 9 অনুপাতে ভাগ করে দিলে প্রথম ভাই কতটি আম পাবে?

সমাধান:
যে কোন অনুপাতের অংকে ভগ্নাংশ আসলে প্রথমে ঐ ভগ্নাংশগুলোকে তাদের হরের ল.সা.গু দিয়ে গুণ করে পূর্ণ সংখ্যায় পরিণত করতে হয়। 1 3 : 1 5 : 1 9 এই হরগুলোর ল.সা.গু. = 45 ,
সুতরাং পূর্ণ সংখ্যায় অনুপাত হবে 1 3 × 45 : 1 5 × 45: 1 9 × 45 = 15:9:5
এখন অনুপাতের যোগফল 15+9+5 = 29
সুতরাং প্রথম ভাই পাবে 261 এর 15 29 = 135 টি।

উদাহরণ:-২. তিনজন জেলে 690 টি মাছ ধরেছে। তাদের অংশের অনুপাত 2 3 , 4 5 এবং 5 6 হলে , কে কয়টি মাছ পেল?

সমাধান:
যে কোন অনুপাতের অংকে ভগ্নাংশ আসলে প্রথমে ঐ ভগ্নাংশগুলোকে তাদের হরের ল.সা.গু দিয়ে গুণ করে পূর্ণ সংখ্যায় পরিণত করতে হয়। 2 3 : 4 5 : 5 6 এই হরগুলোর ল.সা.গু. = 30 ,
সুতরাং পূর্ণ সংখ্যায় অনুপাত হবে 2 3 × 30 : 4 5 × 30: 5 6 × 30 = 20:24:25
এখন অনুপাতের যোগফল 20+24+25 = 69
সুতরাং প্রথম জেলে পাবে 690 এর 20 69 = 200 টি।
দ্বিতীয় জেলে পাবে 690 এর 24 69 = 240 টি।
তৃতীয় জেলে পাবে 690 এর 25 69 = 250 টি।