জ্যামিতি হল স্পর্শস্থান এবং তার সম্পর্কিত বিষয় সম্পর্কে বিশেষভাবে গবেষণা করা । জ্যামিতির তিনটি মৌলিক উপাদান হল বিন্দু, রেখা এবং কোণ। বিন্দু হল একটি স্থান, যার কোন আকার না থাকলেও স্থানীয় স্থান নির্দেশ করে। রেখা হল দুটি বিন্দুকে সংযোজন করা একটি সরল সেগমেন্ট এবং এটির দৈর্ঘ্য হল বিন্দু দুটির মধ্যবর্তী দূরত্ব। কোণ হল দুটি রেখার মধ্যে উৎপন্ন বাহুর মাধ্যমে উৎপন্ন একটি পরিমাপযুক্ত জোড়া রেখা। জ্যামিতির উপর ভিত্তি করে বিভিন্ন ধরনের আকার ও গণিতগত প্রসঙ্গ নির্ণয় করা হয়। জ্যামিতি ব্যবহার করে বিভিন্ন ফিজিক্স, গণিত এবং প্রকৃতি বিজ্ঞানের প্রযুক্তি তৈরি করা হয়। জ্যামিতি আমাদের জীবনে কতটা গুরুত্বপূর্ণ হবে সেটি আমাদের সবার আগে জানতে হবে।
প্রাথমিক আলোচনা
জ্যামিতি গণিত শাস্ত্রের একটি প্রাচীন শাখা। যদিও ব্যুৎপত্তিগতভাবে "জ্যামিতি" শব্দের অর্থ ভূমির পরিমাপ তথা জ্যামিতি, প্রকৃত পক্ষে স্থান বিষয়ক বিজ্ঞান (Geometry is the science concerned with space) ভূমি পরিমাপের জন্য জ্যামিতির উদ্ভব হলেও বর্তমানে জ্যামিতি কেবল ভূমি পরিমাপের জন্যই ব্যবহৃত হয় না বরং বহু জটিল গাণিতিক সমস্যা সমাধানে জ্যামিতিক জ্ঞান অপরিহার্য। জ্যামিতিক জ্ঞান আমাদের জীবনের সমস্যা সমাধানের ইঙ্গিত দেয়, চিন্তা শক্তির উন্মেষ ও মননশীলতার উৎকর্ষ সাধন করে থাকে। জ্যামিতি বা Geometry শব্দের 'জ্যা' এর অর্থ ভূমি এবং 'মিতি' এর অর্থ পরিমাপ অর্থাৎ 'ভূমির পরিমাপ'। (The word 'geometry' means 'earth measure') আরো বলা যায়, “গণিতশাস্ত্রের যে শাখায় বিন্দু থেকে বৃত্ত পর্যন্ত যাবতীয় ক্ষেত্রের বৈশিষ্ট্য ধর্ম এবং ক্ষেত্রের পরিমাপ সম্বন্ধে আলোচিত হয় তারই নাম জ্যামিতি। খ্রিষ্টপূর্ব ৩০০ সালে ইউক্লিড তার The Elements গ্রন্থে জ্যামিতির মূল তত্বগুলো আলোচনা করেছেন।
বিন্দু (Points)
যার কেবল অবস্থান আছে কিন্তু দৈর্ঘ্য, প্রস্থ, উচ্চতা বা বেধ বলতে কিছুই নেই তাকে বিন্দু বলে। দৈর্ঘ্য, প্রস্থ এবং উচ্চতা কোনো কিছুই নেই বলে বিন্দুর কোনো মাত্রা নেই অর্থাৎ, বিন্দুর মাত্রা শুন্য।
বিন্দুর শুধু অবস্থান আছে কিন্তু কোন মাত্রা নেই ।
দুটি বিন্দুর মধ্য দিয়ে একটি এবং কেবলমাত্র সরলরেখা আঁকা যায়।
দুটি সরলরেখা একটি এবং কেবল একটি বিন্দুতে পরস্পরকে ছেদ করতে পারে।
দুই বিন্দুর মধ্যে সরলরেখার দূরত্বই ক্ষুদ্রতম ।
যেসব বিন্দু একই সরলরেখায় অবস্থান করে, তাদেরকে সমরেখ বিন্দু বলে ।
রেখা (Line)
রেখা : বিন্দুর চলার পথকে রেখা বলে ।
সমরেখ:
যখন দুই-এর অধিক বিন্দু একই সরলরেখার উপর অবস্থিত হয়, তখন ঐ বিন্দুগুলিকে সমরেখ বিন্দু বলা হয়। চিত্রে
A, B, C বিন্দু তিনটি সমরেখ ।
রেখার কোন প্রান্ত বিন্দু নেই ।
রেখাংশের দুটি প্রান্তবিন্দু থাকে ।
রশ্মির একটিমাত্র প্রান্তবিন্দু থাকে।
সরলরেখা (Straight Line): একটি বিন্দু থেকে অন্য একটি বিন্দুতে পৌছাতে যদি কোনো প্রকার দিকের পরিবর্তন না হয় তবে তাকে সরল রেখা বলে ।
দুটি বিন্দু দিয়ে একটি মাত্র সরলরেখা আঁকা যায় ।
একটি সরলরেখার বহিঃস্থ যে কোনো বিন্দু থেকে ঐ সরলরেখা পর্যন্ত যেসব সরলরেখা আঁকা যায়, তাদের মধ্যে লম্বের দৈর্ঘ্যই ক্ষুদ্রতম ।
বক্র রেখা (Zigzag line ): একটি বিন্দু থেকে অন্য একটি বিন্দুতে পৌছাতে যদি দিক পরিবর্তন হয় তবে তাকে বক্র রেখা বলে ।
সমান্তরাল রেখা (Parallel Lines):
দুটি রেখা যদি পরস্পরের মধ্যে সর্বদা সমান দূরত্ব বজায় রেখে চলতে থাকে তবে তাকে সমান্তরাল রেখা বলে ।
কোন সরলরেখার বহিঃস্থ কোন বিন্দু থেকে উক্ত রেখা পর্যন্ত যতগুলো রেখাংশ টানা যায় তন্মধ্যে লম্ব রেখাংশটিই ক্ষুদ্রতম ।
দুইটি সমান্তরাল সরলরেখার কোন সাধারণ বিন্দু নেই ।
দুটি পরস্পরচ্ছেদী সরলরেখার প্রত্যেকটি, কোন তৃতীয় সরলরেখার সমান্তরাল হতে পারে না।
যেসব সরলরেখা একই সরলরেখার সমান্তরাল তারা পরস্পর সমান্তরাল। দুই বা ততোধিক সরলরেখা একটি সরলরেখার উপর লম্ব হলে, তারা পরস্পর সমান্তরাল ।
একটি সরলরেখা সমান্তরাল রেখাদ্বয়ের একটির উপর লম্ব হলে, তা অপরটির উপরও লম্ব।
সংশ্লিষ্ট বিগত সালের প্রশ্নোত্তর
১.কোন দেশে সর্বপ্রথম জ্যামিতি আলোচনা শুরু হয়? [ প্রাক প্রাথমিক সহকারী শিক্ষক-২০১৪ (ডেলটা)]
উত্তরঃ (গ) মিশরে
Explanation: ঐতিহাসিকদের মতে প্রাচীন মিশরের আনুমানিক চার হাজার বছর আগে ভূমি জরিপের কাজে জ্যামিতিক ধ্যান ধারনা ব্যবহার করা হয় । তবে খ্রিস্টপূর্ব ৩০০ অব্দে গ্রীক পণ্ডিত ইউক্লিড সর্বপ্রথম জ্যামিতির মৌলিক ধারণার ভিত্তি রচনা করেন ।
২. রেখার প্রান্ত বিন্দুর সংখ্যা হলো- [ মাদকদ্রব্য নিয়নন্ত্রণ অধিদপ্তরের সহকারি পরিচালক : 03 ]
উত্তরঃ (ঘ) কোন প্রান্ত বিন্দু নেই
৩. দুটি লাইন একে অন্যের থেকে ২মিটার দূরে সমান্তরাল ভাবে চলে যাচ্ছে, তারা একে অন্যের সাথে মিলিত হবে কত মিটার দূরে? [ রাষ্ট্রয়াত্ব ব্যাংক সিনিয়র অফিসার:০০ ]
উত্তরঃ (ঘ) কখনোই নয়
Explanation: দুটি সমান্তরাল রেখা কখনোই মিলিত হয় না। মিলিত হলে তাদেরকে সমান্তরাল রেখাই বলা হবে না।
৪. দুটি সমান্তরাল রেখা কয়টি বিন্দুতে ছেদ করে? [৩৬তম বিসিএস]
উত্তরঃ সঠিক উত্তর নেই।
Explanation: দুটি সমান্তরাল রেখা কখানোই ছেদ করতে পারে না। সমান্তরাল রেখা হলো পরস্পর সমান দূরত্ব রেখে চলমান দুটি রেখা, কিন্তু যদি কখনো ছেদ করানো হয় তখন সেগুলো আর সমান্তরালই থাকবে না ।
৫. দুটি সরলরেখা পরস্পর ছেদ করলে কয়টি কোণ তৈরি হয়? [জাতীয় নিরাপত্তা গোয়েন্দা সংস্থা এর ফিল্ড অফিসার-০৪.১১.২০১৯]
উত্তরঃ (ঘ) ৪টি
৬. একটি সরলরেখার উপর লম্ব অঙ্কন করলে কয়টি সমকোণ পাওয়া যায়? [ প্রাথমিক সহকারী শিক্ষক-২০১৯ (৪র্থ ধাপ)]
উত্তরঃ (গ) ২টি
৭. AB রেখাংশের উপর P একটি বিন্দু হলে কোন সম্পর্ক সবসময় প্রযোজ্য? [সহকারী আবহাওয়াবিদ-১৯৯৫]
উত্তরঃ (খ) AB > AP
৮. AB ও CD সরলরেখাদ্বয় O বিন্দুতে ছেদ করলে, নিম্নের কোন গাণিতিক বাক্যটি সঠিক? [ আরসি এর সিনিয়র অফিসার-১৯৯৮]
উত্তরঃ (ক) ∠AOD = ∠BOC
কোণ (Angle):
কোণ (Angle): দুটি সরলরেখা তির্যকভাবে (আড়াআড়িভাবে) পরস্পরের সাথে মিলিত হলে মিলিত বিন্দুতে কোণ উৎপন্ন হয়। নিচের চিত্র দেখুন ।
সমকোণ (Right Angle): যে কোণের পরিমাণ 90 ডিগ্রী তাকে সমকোণ বলে । নিচের চিত্র দেখুন ।
মনে রাখুন: কোণটি দেখতে যে রকমই হোক না কেন তার পরিমাপ 90 ডিগ্রী হলেই তাকে সমকোণ বলা হবে।
স্থূলকোণ (Obtuse Angle ) : যে কোণের পরিমাণ ৯০ ডিগ্রী অপেক্ষা বেশী এবং ১৮০ ডিগ্রি অপেক্ষা কম তাকে স্থূলকোণ বলে । নিচের চিত্র দেখুন ।
সূক্ষ্মকোণ (Acute Angle ) : যে কোণের পরিমাণ 90 ডিগ্রী অপেক্ষা কম তাকে সূক্ষ্মকোণ বলে । নিচের চিত্র দেখুন ।
সরলকোণ (Straight Angle ) : যে কোণের পরিমাণ ১৮০ ডিগ্ৰী তাকে সরলকোণ বলে । নিচের চিত্র দেখুন ।
<_____________________>
চিত্র : সরলকোণ
প্রবৃদ্ধ কোণ (Reflex Angle ) : যে কোণের পরিমাণ দুই সমকোণ ( 180 ডিগ্রি ) অপেক্ষা বেশী কিন্তু চার সমকোণ ( 360 ডিগ্রি ) অপেক্ষা কম তাকে প্রবৃদ্ধ কোণ বলে। নিচের চিত্র দেখুন ।
বিপ্রতীপ কোণ (Vertically Opposite Angle) : দুইটি সরলরেখা পরস্পরকে ছেদ করলে ছেদবিন্দুতে যে চারটি কোণ উৎপন্ন হয় তাদের একটিকে অপরটির বিপ্রতীপ কোণ বলে।
পুরক কোণ (Complementary Angle) : দুইটি কোণের সমষ্টি এক সমকোণ বা ৯০ ডিগ্রি হলে একটিকে অপরটির পূরক কোণ বলে।
সম্পুরক কোণ (Complementary Angle) : দুইটি কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ বা ১৮০ ডিগ্রি হলে একটিকে অপরটির সম্পুরক কোণ বলে।
সন্নিহিত কোণ (Adjacent Angle): দুইটি কোণের শীর্ষবিন্দু একই হলে সাধারণ বাহুর উভয় পাশের কোণদ্বয়কে সন্নিহিত কোণ বলে । অর্থাৎ পাশাপাশি লাগানো দুটি কোণকে সন্নিহিত কোণ বলে ।
অন্তর্ভুক্ত কোণ: দুটি বাহুর মিলিত হওয়ার স্থানকে ঐ বাহুদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ বলা হয়।
একান্তর' কোণ (Alternative Angle): দুটি সমান্তরাল সরলরেখাকে অপর একটি রেখা তির্যকভাবে (আড়াআড়ি) ছেদ করলে ছেদক রেখার বিপরীত পার্শ্বে সমান্তরাল রেখা যে কোণ উৎপন্ন করে তাকে একান্তর কোণ বলে ।
একান্তর কোণদ্বয় পরস্পর সমান হয়।
অনুরূপ কোণ (Corresponding Angle) : দুটি সমান্তরাল সরলরেখাকে অপর একটি সরলরেখা তির্যকভাবে ছেদ করলে ছেদক রেখার একই দিকে সমান্তরাল রেখাদ্বয়ের অনুরূপ পার্শ্বে যে কোণ উৎপন্ন হয়, তাকে অনুরূপ কোণ বলে ।
অনুরুপ কোণ দেখতে একই রকম এবং অনুরুপ কোণগুলো পরস্পর সমান ।
অন্তঃস্থ কোণ (Interior Angles): যে কোন ত্রিভুজ, চতুর্ভুজ অথবা বহুভুজের অভ্যন্তরে বা ভেতরে যে কোণ উৎপন্ন হয় তাকে অন্তঃস্থ কোণ বলে ।
বহিঃস্থ কোণ (Exterior Angles) : কোন ত্রিভুজ, চতুর্ভুজ অথবা বহুভুজের যে কোণ এক বাহু বর্ধিত করলে বাহিরে যে কোণ উৎপন্ন হয় তাকে বহিঃস্থ কোণ বলে ।
সংশ্লিষ্ট বিগত সালের প্রশ্নোত্তর
৯. 180 ডিগ্রি থেকে বড় কিন্তু 360 ডিগ্রি থেকে ছোট কোণকে কি কোণ বলে? [ RAKUB (Supervisor)-2017]
উত্তরঃ (ঘ) প্রবৃদ্ধ কোণ
Explanation:
180 ডিগ্রি এর থেকে বড় কিন্তু 360 ডিগ্রি এর থেকে ছোট কোণকে প্রবৃদ্ধ কোণ বলে ।
১০. দুই সমকোণ অপেক্ষা বড় ও চার সমকোণ অপেক্ষা ছোট কোণকে বলে-- [ দুর্নীতি দমন ব্যুরো-০৪ ]
উত্তরঃ (ঘ) প্রবৃদ্ধ কোণ
১১. ২৫৩ ডিগ্রী কোণকে কি কোণ বলে? [ অর্থ মন্ত্রণালয়-০৯ ]
উত্তরঃ (ঘ) প্রবৃদ্ধ কোণ
১২. 180° < A < 360° হলে ∠A কোন প্রকারের কোণ? [ Sonali Bank S. off. - 2014]
উত্তরঃ (ঘ) প্রবৃদ্ধ কোণ
Explanation:
180° < A < 360° অর্থ হচ্ছে A কোণের মান 180° থেকে বড় কিন্তু 360° থেকে ছোট । এরূপ কোণকে প্রবৃদ্ধ কোণ বলা হয়।
১৩. AB ও CD সরলরেখা O বিন্দুতে ছেদ করলে নিম্নের কোন গাণিতিক বাক্যটি সঠিক? [ ১৭তম বিসিএস ]
উত্তরঃ (ক) ∠AOD = ∠BOC
১৪. একটি কোণ তার পূরক কোণ অপেক্ষা ২৪ ডিগ্রি বেশি হলে কোণটির মান কত হবে? [IBBL- (ATO)-2017]
উত্তরঃ (ক) ৫৭ ডিগ্রি
Explanation:
ধরি, কোণটি = ক
.: তার পূরক কোণ = ক- ২৪ (কোনটি বড় হলে তার পূরক কোণটি ছোট হবে)
প্রশ্নমতে,
ক+ ক-২৪ = ৯০ (দুটি কোন পূরক হলে সমষ্টি ৯০ডিগ্রি )
বা, ২ক = ১১৪
সুতরাং ক = ৫৭
উত্তর: কোণটি ৫৭ ডিগ্রি।
১৫. একটি কোণের মান তার পূরক কোণের মানের অর্ধেকের সমান। কোণটির মান কত? [ ৩৮তম বিসিএস প্রিলি: ]
উত্তরঃ (গ) ৩০ ডিগ্রি
Explanation:
ধরি, কোণটি = x এবং তার পূরক কোণটি হবে = 2x
শর্তমতে,x+2x = 90 ডিগ্রি [ দুইটি কোণের সমষ্টি 90 ডিগ্রি হলে একটি আরেকটির পূরক কোণ হবে ]
বা, 3x = 90 ডিগ্রি
.:. x = 30 ডিগ্রি
সুতরাং কোণটির পরিমাণ হবে = 30 ডিগ্রি
১৬. দুটি পূরক কোণের সমষ্টি কত? [ শ্রম ও কর্মসংস্থান মন্ত্রণালয়-০৬ ]
উত্তরঃ (ক) ৯০ ডিগ্রী
১৭. ৩০ ডিগ্রী এর পূরক কোণ কত? [ স্বাস্থ্য অধিদপ্তর-০৪ ]
উত্তরঃ (গ) ৬০ ডিগ্রী
১৮. দুইটি সরলরেখা পরস্পরকে ছেদ করলে সন্নিহিত কোণগুলির যোগফল- [ যোগাযোগ মন্ত্রণালয়-०৬ ]
উত্তরঃ (খ) ১৮০ ডিগ্রী
১৯. দুইটি সম্পূরক কোণের সমষ্টি কত? [ শ্রম ও কর্মসংস্থান মন্ত্রণালয়-০৬ ]
উত্তরঃ (খ) ১৮০ ডিগ্রী
২০. ৭০ ডিগ্রী কোণের সম্পূরক কোণ কোনটি? [ শ্রম ও কর্মসংস্থান মন্ত্রণালয়- ০৫ ]
উত্তরঃ (খ) ১১০ ডিগ্রী
২১. একটি সরলরেখার সাথে অপর একটি রেখাংশ মিলিত হলে যে দুটি সন্নিহিত কোণ উৎপন্ন হয়, তাদের সমষ্টি হবে- - [ জাতীয় রাজস্ব বোর্ড-১০ ]
উত্তরঃ (ঘ) ১৮০ ডিগ্রী
২২. সন্নিহিত সরলকোণের একটি কোণ ৯৫ ডিগ্রী হলে অপরটি কত? [ থানা শিক্ষা অফিসার-১০ ]
উত্তরঃ (ঘ) ৮৫ ডিগ্রী
২৩. দু'টি কোণের একই শীর্ষবিন্দু থাকলে এবং ঐ কোণ দু'টি যদি সাধারণ বাহুর বিপরীত দিকে অবস্থান করে, তবে ঐ কোণ দু'টিকে বলা হবে- [ NBR-2015 ]
উত্তরঃ (গ) সন্নিহিত কোণ
Confusion Clear : দুটি কোণের পরিমাপ ৯০ ডিগ্রি বা ১৮০ ডিগ্রি দেয়া থাকলে তা পূরক অথবা সম্পূরক হয় এবং সকল পূরক এবং সম্পূরক কোণই সন্নিহিত কোণ। কেননা তারা পাশাপাশি অবস্থান করে। কিন্তু সকল সন্নিহিত কোণই পূরক বা সম্পূরক কোণ না ও হতে পারে। কেননা পাশাপাশি দুটি কোণের পরিমান ৩০ ডিগ্রি + ৩০ ডিগ্রি = ৬০ ডিগ্রি হলে কোন দুটি পূরক বা সম্পূরক কোনটিই নয়। কিন্তু যেহেতু তারা পাশাপাশি অবস্থান করে তাই তাদেরকে সন্নিহিত কোণ বলা যায় ।
২৪. দুইটি সন্নিহিত কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ হলে একটিকে অপরটির কী বলে? [ ২৬ তম বিসিএস/প্রাক প্রাথমিক সহকারী শিক্ষক(গামা)-২০১৪]
উত্তরঃ (খ) সম্পূরক কোণ
২৫. একটি সরলরেখার উপর অঙ্কিত বর্গ ঐ সরলরেখার অর্ধেকের উপর অঙ্কিত বর্গের কতগুণ? [ প্রাক প্রাথমিক সহকারী শিক্ষক-২০১৩(মিসিসিপি)]
উত্তরঃ (ক) চারগুণ
২৬. একটি সরলরেখার উপর অঙ্কিত বর্গ ঐ সরলরেখার এক চতুর্থাংশের উপর অঙ্কিত বর্গের কতগুণ? [ প্রাক প্রাথমিক সহকারী শিক্ষক-২০১৩(রাইন/দাজলা)]
উত্তরঃ (ঘ) ১৬
২৭. কোন ক্ষেত্রের সীমানা নির্ধারক বক্ররেখার মোট দৈর্ঘ্যকে কি বলে? [ ১০তম বিসিএস]
উত্তরঃ (খ) পরিসীমা
২৮. অতিভুজের বিপরীতে থাকে--- [প্রাক প্রাথমিক সহকারী শিক্ষক-২০১৫]
উত্তরঃ (ঘ) সমকোণ
২৯. দুইটি সন্নিহিত কোণের সমষ্টি ১ সমকোণ হলে একটিকে অপরটির কি বলে? [২৮তম বিসিএস]
উত্তরঃ (ক) পুরক কোণ
৩০. ∠A এবং ∠B পরস্পর সম্পূরক কোণ। ∠A = ১১৫ ডিগ্রি হলে ∠B = কত? [ প্রাক প্রাথমিক সহকারী শিক্ষক-২০১৩(রাইন)]
উত্তরঃ (ক) ৬৫ ডিগ্রি
৩১. দুটি কোণ পরস্পর সমান এবং এদের একটির বাহু অপরটির এক বাহুর সমান্তরাল। কোণ দুটির অপর বাহুদ্বয়ের মধ্যে সম্পর্ক কিরূপ? [ শ্রম অধিদপ্তরের সহকারী পরিচালক-২০০১]
উত্তরঃ (খ) এরা পরস্পর সমান্তরাল
৩২. কোন তিনটি মাত্রায় জ্যামিতিক ঘনবস্তু তৈরি হয়? [ হিসাব রক্ষন কর্মকর্তা-২০০৩]
উত্তরঃ (ঘ) দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা
৩৩. দু'টি কোণের একটি সাধারণ বাহু থাকলে এবং কোণ দু'টি সাধারণ বাহুর বিপরীত দিকে অবস্থিত হলে কোণ দু'টিকে বলে--- [যুব উন্নয়ন অধিদপ্তরের সহকারী পরিচালক-১৯৯৪]
উত্তরঃ (ঘ) সন্নিহিত কোণ
৩৪. একটি সরল রেখার উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ঐ সরল রেখার তিন ভাগের একভাগের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের কতগুণ? ....
উত্তরঃ (গ) ৯ গুণ