সমান্তর ও গুণোত্তর ধারা-বীজগণিত || সংজ্ঞা, সূত্রাবলীসহ এ টু জেড

সমান্তর ও গুণোত্তর ধারা হলো গণিতের দুটি মৌলিক সংজ্ঞা যা ব্যবহার করা হয় সংখ্যাগত প্রবণতা বা ক্রিয়ার বিষয়ে। সমান্তর ধারা হলো সংখ্যাগত প্রবণতার এমন একটি ধারা যেখানে প্রতিটি পদের মান পূর্ববর্তী পদের সাথে একই পার্থক্য বজায় রাখে। আর গুণোত্তর ধারা হলো এমন একটি সংখ্যাগত প্রবণতা যেখানে প্রতিটি পদ আগের পদের সাথে একই অনুপাতে গুন করে। এই ধারাগুলো গণিতে অনেক গুরুত্বপূর্ণ বিশেষ করে চাকরি পরীক্ষার প্রস্তুতির জন্য একটি গুরুত্বপূর্ণ অধ্যায় । আজকের টিউটরিয়ালে আমরা সমান্তর ও গুণোত্তর ধারার সংজ্ঞা , বিভিন্ন পরিভাষা , পদের মান ও সমষ্টি বের করা ইত্যাদি সম্পর্কে এ টু জেড জানব । এগুলোর প্রথমে আমরা ইন ডিটেইলস দেখব । তারপর বিগত সালের প্রশ্ন সমাধান করতে করতে অধ্যায়টি ভালভাবে রপ্ত করার চেষ্টা করব । আশা করছি এই টিউটরিয়ালের মাধ্যমে সমান্তর ও গুণোত্তর ধারা সম্পর্কে আপনার আর কোন সমস্যা থাকবে না । চলুন তাহলে শুরু যাক ।

প্রাথমিক আলোচনা
সমান্তর ধারা
পদক্রমের মান বের করা
পদক্রম বের করা
পদসংখ্যা বের করা
সূত্রের মাধ্যমে সমান্তর ধারার সমষ্টি নির্ণয়
শেষপদ দেয়া না থাকলে সমষ্টি বের করার সহজ কৌশল
সমান্তর ধারার সমষ্টি সংক্রান্ত আরো কিছু গুরুত্বপূর্ণ প্রশ্ন ও সমাধান
বর্গ ও ঘন - সংখ্যার সমষ্টি
গুণোত্তর ধারা
গুণোত্তর ধারার পদের সমষ্টি বের করা

প্রাথমিক আলোচনা

ধারা একটি সিস্টেম যেখানে পরপর কিছু সংখ্যা থাকে যারা পরস্পর সুবিন্যাস্ত এবং নির্দিষ্ট নিয়ম অনুসারে সাজানো। ধারা সাধারণত দুই প্রকার:
(ক) সমান্তর ধারা (The Arithmetic Series)
(খ) গুণোত্তর ধারা (Geometric Series)

ধারার বিভিন্ন পরিভাষা :

প্রথম পদ : যে কোন ধারার শুরু হয় যে পদের দ্বারা তাকে প্রকাশ করা হয় a দ্বারা ।
সাধারণ অন্তর : একপদের সাথে তার পরবর্তী পদের পার্থক্যকে সাধারণ অন্তুর বলা হয়। সাধারণ অন্তর প্রকাশ করা হয় d দ্বারা। d = ২য় পদ - ১ম পদ
শেষপদ: কোন পদের শেষ পদ জানা না থাকলে তা r তম পদ বা n তম পদ হিসেবে ধরা হয়। তাই n হলো শেষপদ ।
পদসংখ্যা: একটি ধারায় মোট কতটি পদ আছে তাদেরকে পদসংখ্যা বলা হয়। মোট পদসংখ্যা অনির্দিষ্ট হলে পদসংখ্যা n ধরা হয় ।

বিভিন্ন ধারার পরিচিতি:

(ক) সাধারন ধারা: একটি নির্দিষ্ট ব্যবধানে বৃদ্ধি প্রাপ্ত বা হ্রাসকৃত পরপর কিছু সংখ্যাকে সাধারণ ধারা বলে।
(খ) সমান্তর ধারা: কোনো ধারার পরপর দুইটি পদের মানের পার্থক্য সমান হলে তাকে সমান্তর ধারা বলে। যেমন: 1+2+3+4+... ..100
(গ) গুণোত্তর ধারা: একটি ধারাকে প্রতিবার নির্দিষ্ট একটি সংখ্যা দিয়ে গুণ অথবা ভাগ করে নতুন রাশি তৈরী করলে তাকে গুণোত্তর ধারা বলা হয়। যেমন: 2+4+8+16+32 ...... +256

সমান্তর ধারা

সমান্তর ধারা: যে ধারায় প্রতিটি পদে একই পরিমাণে বৃদ্ধি বা হ্রাস ঘটে অর্থাৎ ক্রমিক দুইটি পদের অন্তর একই হয়, তাকে সমান্তর ধারা বলে। অর্থাৎ যে ধারার কোন পদকে তার পরবর্তী পদ থেকে বিয়োগ করলে প্রতিক্ষেত্রে বিয়োগফল একই হয় তাকে সমান্তর ধারা বলে। যেমন: 2+4+6+8+10....... +20 এখানে প্রতি পদের বৃদ্ধির হার 2 করে ।

সমান্তর ধারার গুরুত্বপূর্ণ সূত্র ও তার প্রয়োগ:

কোনো সমান্তর ধারার প্রথম পদ ও শেষ পদ দেয়া থাকলে...

$সমষ্টি = \frac{পদসংখ্যা (শেষপদ + প্রথম পদ)}{২} এবং পদসংখ্যা = \frac{শেষপদ − প্রথম পদ}{সাধারন অন্তর} + ১$

একটি সমান্তর ধারার প্রথম পদ a এবং সাধারণ অন্তর d হলে r তম পদ = a+(r-1)d

প্রথম পদ a এবং সাধারণ অন্তর d বিশিষ্ট সমান্তর ধারার n সংখ্যক পদের সমষ্টি s = $\frac{n}{2}$ {2a+(n-1)d}

পদক্রমের মান বের করা

যে কোন একটি ধারা দেয়া থাকবে, সেই ধারার যে কোন একটি পদের মান কত তা বের করতে বলা হবে।
ধারার পদক্রমের মান বের করার ক্ষেত্রে সূত্র হলো:
r তম পদ = a + (r-1)d
অর্থাৎ ধারার ৫ম, ৮ম বা ১০ম এভাবে যে কোন পদের মান বের করতে এই সূত্রটি প্রয়োগ করতে হবে । নিচের প্রশ্নগুলো দেখুন ।

প্রশ্ন নম্বর- ১. ১, ৪, ৭ .......ধারার ২৯ তম পদটি কত? [ যুব উন্নয়ন অধিদপ্তর (ক্যাশিয়ার)-২০১৮]

(ক) ৭৯
(খ) ৮২
(গ) ৮৫
(ঘ) ৮৮

উত্তরঃ (গ) ৮৫

সমাধান:
আমরা জানি,
একটি সমান্তর ধারার r তম পদ = a+(r-1)d
এখানে, প্রথম পদ a = ১, সাধারণ অন্তর d = ৪-১ = ৩ এবং r তম পদ = ২৯
সুতরাং, a+(r-1)d
= ১+(২৯-১)×৩
= ১+২৮×৩
= ১+৮৪
= ৮৫

প্রশ্ন নম্বর- ২. একটি সমান্তর অনুক্রমে সাধারণ অন্তর 10 এবং 6-তম পদটি 52 হলে 15-তম পদটি- [ ৩৭-তম বিসিএস প্রিলি ]

(ক) 140
(খ) 142
(গ) 148
(ঘ) 150

উত্তরঃ (খ) 142

সমাধান:
আমরা জানি, r তম পদ = a+(r-1)d প্রশ্নমতে , ৬ষ্ঠ পদ = a+(6-1)d = 52
বা, a+5×10 = 52
বা, a + 50 = 52
বা, a = 52 - 50
বা, a = 2
অর্থাৎ ধারাটির প্রথম পদ a = 2
এখন ১৫ তম পদের মান বের করার জন্য একই সূত্র a+ (r-1)d = 2+ (15-1)10 = 2+14×10 = 142 Ans:

মুখে মুখে সমাধান :
সাধারণ অন্তর ১০ এবং ৬ষ্ঠ পদ ৫২ তাহলে ১৫ তম পদ হবে ৬ষ্ঠ পদের পর আরো (১৫-৬)= ৯টি পদের যোগফল । প্রতিটি পদের মধ্যকার পার্থক্য ১০ হওয়ায় ৯টি পদের পার্থক্য হবে ৯x১০ = ৯০। তাহলে ১৫তম পদটি হবে ৫২+৯০ = ১৪২ ।

পদক্রম বের করা

পদক্রম বের করা অর্থ হলো এর আগের নিয়মটিতে যেখানে ৮ম, ১০ম পদের মান কত তা বের করতে বলা হয়েছে আর এখানে পদটি কত তম পদ তা দেয়া থাকবে না কিন্তু তার মান দেয়া থাকবে । এখন ঐ পদটির পদক্রম কত তা বের করতে হবে। অর্থাৎ আগের নিয়মটির ঠিক উল্টো নিয়ম।
সূত্র : আমরা জানি r তম পদ = a+(r-1)d অর্থাৎ সূত্র একটাই ।
পূর্বের নিয়মটিতে r এর মান কত তা জানা ছিল। ( ৫ম,৮ম,১০ম এভাবে) কিন্তু এবার r এর মান দেয়া থাকবে না । তবে এর মান বসানোর পর উত্তর কত হবে তা দেয়া থাকবে। নিচের প্রশ্নগুলোর সমাধান দেখুন ।

প্রশ্ন নম্বর- ১. 5+8+11 +14+ ........... এ ধারাটির কত তম পদ 320 ? [বাংলাদেশ রেলওয়ে (সহ: ষ্টেশন মাষ্টার)-২০১৮]

(ক) ১০৬ তম পদ
(খ) ১০৮ তম পদ
(গ) ১০৯ তম পদ
(ঘ) ১১০ তম পদ

উত্তরঃ (ক) ১০৬ তম পদ

সমাধান:
আমরা জানি, কোন সমান্তর ধারার r তম পদ = a+(r-1)d
প্রদত্ত সমান্তর ধারাটিতে প্রথম পদ a = 5 এবং সাধারণ অন্তর d = 8-5 = 3
r তম পদ 320 হলে r এর মান কত তা বের করতে হবে,
প্রশ্নমতে,
a+(r-1)d = 320 (সূত্রটি প্রয়োগ করলে যে মান আসবে তা ৩২০ হবে)
বা, 5+(r-1)3 = 320
বা, (r-1)3 = 320-5
বা, (r-1)3 = 315
বা, (r-1) = 315÷3
বা, (r-1) = 105
বা, r = 105+1 = 106
উত্তর: ১০৬ তম পদ ।

মুখে মুখে সমাধান :
প্রথম পদ থেকে শেষ পদের ব্যবধান: ৩২০-৫ = ৩১৫ । এর মাঝে ৩ করে গ্যাপ রাখলে মোট গ্যাপ হবে ৩১৫÷৩ = ১০৫টি। ১০৫ টি গ্যাপ হলে শুরুর পদটি সহ মোট পদ হবে ১০৫+১ = ১০৬ টি।

প্রশ্ন নম্বর- ২. 5+ 8+11+14+....... ধারাটির কোন পদ = 302? [ বাণিজ্য ও সমাজকল্যাণ মন্ত্র: নিয়োগ পরীক্ষা: ০৬ ]

(ক) 98 তম পদ
(খ) 99 তম পদ
(গ) 100 তম পদ
(ঘ) 101 তম পদ

উত্তরঃ (গ) 100 তম পদ

সমাধান:
ধারাটির ১ম পদ, a = 5, সাধারণ অন্তর d = 8 – 5 = 3,
মনে করি, r-তম পদ = 302
:. a + (r - 1)d = 302
বা, 5 + (r-1).3 = 302
বা, 5 + 3r-3 = 302
বা, 3r + 2 = 302
বা, 3r = 302 - 2
বা, 3r = 300
বা, r = 300÷3
বা, r = 100
:: 302 = 100 তম পদ

মুখে মুখে সমাধান :
প্রথমপদ থেকে শেষ পদের ব্যবধান: ৩০২-৫ = ২৯৭ । এর মাঝে ৩ করে গ্যাপ রাখলে মোট গ্যাপ হবে ২৯৭÷৩ = ৯৯টি । ৯৯টি গ্যাপ হলে শুরুর পদটি সহ মোট পদ হবে ৯৯+১ = ১০০টি।

পদসংখ্যা বের করা

পদসংখ্যা বের করার সূত্র = $\frac{শেষ পদ − প্রথম পদ}{সাধারন অন্তর} + ১$

ধরুন: ১০ মিটার পর পর ১টি করে গাছ লাগানো হবে। তাহলে ১০০ মিটার জায়গায় মোট ১০টি গাছ নয় বরং ১০+১ = ১১টি গাছ লাগাতে হবে । ( শুরুর গাছ সহ ধরলে ১টি গাছ অতিরিক্ত হয়। )

উদাহরণ: ১০০ মিটার থেকে শুরু করে ২০০ মিটার পর্যন্ত গাছ লাগাতে হবে, ১০০, ১১০, ১২০ . . . . ২০০ মিটার এভাবে। তাহলে মোট গাছের সংখ্যা কতটি হবে? ১০টি নাকি ১১টি? এখানে, গাছ লাগানো হবে, ১০০ (১০০মিটারে ই ১ম গাছ লাগিয়ে শুরু।) তারপর ১১০, ১২০, ১৩০, ১৪০, ১৫০, ১৬০, ১৭০, ১৮০, ১৯০ ও ২০০ মিটারে। = ১১টি । এই বিষয়টিকেই শর্টকাটে বের করার জন্য সূত্রটি প্রয়োগ করুন :

পদসংখ্যা = $\frac{শেষ পদ − প্রথম পদ}{সাধারন অন্তর} + ১$

[এখানে উপরের রাশিগুলোর মাঝের পার্থক্য বের করতে হবে, ২০০-১০০ =১০০মিটার জায়গাতেই গাছ লাগাতে হবে । এখন সাধারণ অন্তর বা ১টি গাছ থেকে আরেকটি গাছের দূরত্ব ১০ মিটার তাহলে মোট গাছ লাগানো যাবে, = ১০টি? না, বরং উত্তর হবে ১০+ প্রথমে ১টি = ১১টি ।। আর এজন্যই সূত্রটির সাথে সবসময় শেষে ১ যোগ হয় । ]
এভাবে Practically ভাবতে পারলে সূত্রগুলো সবসময় মনে থাকবে।

প্রশ্ন নম্বর- ১. 20, 25, 30 ...140 ধারাটিতে মোট কতগুলো পদ আছে? [জনস্বাস্থ্য প্রকৌশল অধি দপ্তর এস্টিমেটর নিয়োগ পরীক্ষা-২০১৮]

(ক) 25 টি
(খ) 24 টি
(গ) 23 টি
(ঘ) 22 টি

উত্তরঃ (ক) 25 টি

সমাধান:
এখানে, পদসংখ্যা = $\frac{শেষ পদ − প্রথম পদ}{সাধারন অন্তর} + ১$
= $\frac{140 − 20}{5} + 1$
= $\frac{120}{5} + 1$
= 24 + 1
= 25

মুখে মুখে সমাধান:
১৪০ ও ২০ এর মাঝে পার্থক্য ১২০। রাশি গুলোর পার্থক্য ৫ হওয়ায় মোট পদ ১২০÷৫ = ২৪ + শুরুর ১টি = ২৫টি।

সূত্রের মাধ্যমে সমান্তর ধারার সমষ্টি নির্ণয়

সূত্র-১: সমান্তর ধারায় ক্রমিক সংখ্যার যোগফল [ যখন ধারাটি ১ থেকে শুরু হয় এবং ধারার সাধারণ অন্তর ১ হয় । ( সাধারণ অন্তর = ২য় পদ - ১ম পদ ) ]

S = $\frac{n(n+1)}{2}$ এখানে, n = পদসংখ্যা s = যোগফল

প্রশ্ন নম্বর- ১. ১ হতে ১০০ পর্যন্ত সংখ্যাসমুহের যোগফল কত? [ ৮তম এবং ১৬তম বিসিএস]

(ক) ৫০৫০
(খ) ৫৫০০
(গ) ৫০০৫
(ঘ) ৫০৬০

উত্তরঃ (ক) ৫০৫০

সমাধান:
সমাধানঃ
S = $\frac{n(n+1)}{2}$ এখানে, n = পদসংখ্যা, s = যোগফল
= $\frac{১০০(১০০+১)}{২}$
= $\frac{১০০ ×১০১}{২}$
= ৫০ × ১০১
= ৫০৫০

প্রশ্ন নম্বর- ২. ১+২+৩+..............+২৫ এর যোগফল কত? [ বি.আর.সি- এর সিনিয়র অফিসার পরীক্ষা-১৯৯৮]

(ক) ১০০
(খ) ২৫০
(গ) ৩০০
(ঘ) ৩২৫

উত্তরঃ (ঘ) ৩২৫

সমাধান:
সমাধানঃ
S = $\frac{n(n+1)}{2}$ এখানে, n = পদসংখ্যা, s = যোগফল
= $\frac{২৫(২৫+১)}{২}$
= $\frac{২৫ ×২৬}{২}$
= ২৫ × ১৩
= ৩২৫

প্রশ্ন নম্বর- ৩. ১ হতে ৪৯ পর্যন্ত ক্রমিক সংখ্যা গুলোর গড় কত? [ সমাজ কল্যাণ সংগঠক পরীক্ষা-২০০৭ ]

(ক) ২৩
(খ) ২৪
(গ) ২৫
(ঘ) ২৬.৫

উত্তরঃ (গ) ২৫

সমাধান:
সমাধানঃ
সমষ্টি = $\frac{n(n+1)}{2}$
= $\frac{৪৯×৫০}{২}$
= $\frac{২৪৫০}{২}$
= ১২২৫
সংখ্যাগুলোর গড়
= ১২২৫÷৪৯ = ২৫

প্রশ্ন নম্বর- ৪. ০ হতে ৪৯ পর্যন্ত ক্রমিক সংখ্যা গুলোর গড় কত? সাব রেজিস্টার-২০০১১]

(ক) ২৩
(খ) ২৫
(গ) ২৪.৫
(ঘ) ২৬.৫

উত্তরঃ (গ) ২৪.৫

সমাধান:
যদি ও এখানে পদসংখ্যা ৫০ টি । কিন্তু যোগফল বা সমষ্টি নির্ণয়ের ক্ষেত্রে প্রথম সংখ্যা শূন্য কোন ভূমিকা রাখতে পারবে না বিধায় সমষ্টি ৪৯ টি পদ ধরেই সমাধান করতে হবে।কিন্তু গড় নির্ণয়ের জন্য ঠিকই ৫০টি পদ ধরে সমাধান করতে হবে।
সমাধানঃ
S = $\frac{n(n+1)}{2}$ এখানে, n = পদসংখ্যা, s = যোগফল
= $\frac{৪৯(৪৯+১)}{২}$
= $\frac{৪৯ ×৫০}{২}$
= ২৫ × ৪৯
= ১২২৫
সংখ্যাগুলোর গড়
= ১২২৫÷৫০ = ২৪.৫

সূত্র-২: যখন ১ ভিন্ন অন্য সংখ্যা দ্বারা ক্রমিক সংখ্যা শুরু হয় এবং ধারার সাধারণ অন্তর ১ হয় । ( সাধারণ অন্তর = ২য় পদ - ১ম পদ ) ] তখন---

S = $\frac{n}{2}$ (n+1)- $\frac{a}{2}$ (a+1)
এখানে, n = শেষ সংখ্যা ,
S = যোগফল,
a = যে সংখ্যা দ্বারা সিরিজ শুরু হয় তার আগের সংখ্যা।

প্রশ্ন নম্বর- ১. ৫ থেকে ৪৫ পর্যন্ত সংখ্যাসমুহের যোগফল কত? [প্রাথমিক প্রধান শিক্ষক পরীক্ষা-১৯৯৯]

(ক) ১০২৫
(খ) ১০৭৫
(গ) ১০৩৫
(ঘ) ১০৪৫

উত্তরঃ (ক) ১০২৫

সমাধান:
সমাধানঃ
S = $\frac{n}{2}$ (n+1)- $\frac{a}{2}$ (a+1)
= $\frac{৪৫}{২}$ (৪৫+১)- $\frac{৪}{২}$ (৪+১)
= ৪৫×২৩- ২×৫
= ১০৩৫-১০
= ১০২৫

প্রশ্ন নম্বর- ২. ৩ থেকে ৮১ পর্যন্ত সংখ্যার যোগফল কত? সহকারী রিসার্চ অফিসার-১৯৯৮]

(ক) ৩২২৪
(খ) ৩১২০
(গ) ৩০২৪
(ঘ) ৩৩১৮

উত্তরঃ (ঘ) ৩৩১৮

সমাধান:
সমাধানঃ
S = $\frac{n}{2}$ (n+1)- $\frac{a}{2}$ (a+1)
= $\frac{৮১}{২}$ (৮১+১)- $\frac{২}{২}$ (২+১)
= ৪০.৫ × ৮২- ১×৩
= ৩৩২১ - ৩
= ৩৩১৮

সূত্র-৩: সমান্তর ধারায় ক্রমিক বিজোড় সংখ্যার যোগফল

S = ${(M)}^{2}$ [M = মধ্যমা = $\frac{১ম সংখ্যা + শেষ সংখ্যা}{২}$ ]

প্রশ্ন নম্বর- ১. ১+৩+৫+........+১৯ = ? [ সমাজসেবা উপসহকারী পরিচালক পরীক্ষা-২০০৫]

(ক) ৯৮
(খ) ১০১
(গ) ৯৯
(ঘ) ১০০

উত্তরঃ (ঘ) ৭২

সমাধান:
সমাধান: S = ${(M)}^{2}$ = ${((\frac{১+১৯}{২}))}^{২}$ = ${((১০))}^{২}$ = ১০০

প্রশ্ন নম্বর- ২. 1+3+5+.........+(2n-1) ধারাটির যোগফল হবে-- [ প্রাথমিক সহকারী শিক্ষক -২০১০]

(ক) ${((2n-1))}^{2}$
(খ) $\frac{n(n+1)}{2}$
(গ) ${(n)}^{2}$
(ঘ) ${({\frac{n(n+1)}{2}})}^{2}$

উত্তরঃ (গ) ${(n)}^{2}$

উত্তরঃ গ
সমাধানঃ
S = ${(M)}^{2}$ = ${((, \frac{1+2n-1}{2}, ))}^{2}$ = ${(n)}^{2}$

সূত্র-৪: সমান্তর ধারায় ক্রমিক জোড় সংখ্যার যোগফল

S = M(M-1) [M = মধ্যমা = $\frac{১ম সংখ্যা + শেষ সংখ্যা}{২}$ ]

প্রশ্ন নম্বর- ১. ২+৪+৬+১০+...............+৫০ = ? জরিপ অধিদপ্তরের সহকারী সুপারিনটেনডেন্ট পরীক্ষা-২০০৯]

(ক) ৬৫০
(খ) ৫২০
(গ) ৪৫০
(ঘ) ৫২২

উত্তরঃ (ক) ৬৫০

সমাধান:
S = M(M-1
= ২৬(২৬-১)
= ২৬×২৫
= ৬৫০

প্রশ্ন নম্বর- ২. ২ হতে ৪০ পর্যন্ত জোড় সংখ্যাগুলোর যোগফল কত? হিসাব সহকারী (মেঘনা)-২০১৩]

(ক) ৪২০
(খ) ৫২০
(গ) ৪৫০
(ঘ) ৫২২

উত্তরঃ (ক) ৪২০

সমাধান:
S = M(M-1)
= ২১(২১-১)
= ২১×২০
= ৪২০

সূত্র-৫: সমান্তর ধারায় ক্রমিক সংখ্যার যোগফল [ যখন ধারাটি ১ কিংবা ১ এর অধিক যে কোন সংখ্যা থেকে শুরু হয় এবং ধারার সাধারণ অন্তর ২ এর বেশি হয় । ( সাধারণ অন্তর = ২য় পদ - ১ম পদ ) ]
তখন প্রথমে পদসংখ্যা বের করতে হবে এবং তারপর সমষ্টি নির্ণয়ের সূত্র প্রয়োগ করতে হবে ।

পদসংখ্যা = $\frac{শেষ পদ − প্রথম পদ}{সাধারন অন্তর} + ১$

এবং সমষ্টি = $\frac{পদসংখ্যা ( শেষ পদ + প্রথম পদ )}{২}$

প্রশ্ন নম্বর- ১. ১+৫+৯+ ------ +৮১ =? [ ৩৬তম বিসিএস]

(ক) ৯৬১
(খ) ৮৬১
(গ) ৭৬১
(ঘ) ৬৬১

উত্তরঃ (খ) ৮৬১

সমাধান:
এখানে প্রথম পদ a = ১ , সাধারণ অন্তর d = ৫-১ = ৪ এবং শেষ পদ = ৮১
সুতরাং পদসংখ্যা = $\frac{শেষ পদ − প্রথম পদ}{সাধারন অন্তর} + ১$
= $\frac{৮১ - ১}{৪} + ১$
= $\frac{৮০}{৪} + ১$
= ২০ + ১
= ২১

সমষ্টি = $\frac{পদসংখ্যা ( শেষ পদ + প্রথম পদ )}{২}$
= $\frac{২১ ( ৮১ + ১ )}{২}$
= $\frac{২১×৮২}{২}$
= ২১ × ৪১
= ৮৬১

প্রশ্ন নম্বর- ২. ১ + ৪ + ৭ + ১০ + --------- + ৭৩ সমান্তর ধারাটির যোগফল কত হবে? [একটি বাড়ী একটি খামার -(জেলা সমন্বয়কারী)-১৭]

(ক) ৯২৫
(খ) ১১২৫
(গ) ১০২৫
(ঘ) ১২২৫

উত্তরঃ (ক) ৯২৫

সমাধান:
এখানে প্রথম পদ a = ১ , সাধারণ অন্তর d = ৪ - ১ = ৩ এবং শেষ পদ = ৭৩
সুতরাং পদসংখ্যা = $\frac{শেষ পদ − প্রথম পদ}{সাধারন অন্তর} + ১$
= $\frac{৭৩ - ১}{৩} + ১$
= $\frac{৭২}{৩} + ১$
= ২৪ + ১
= ২৫

সমষ্টি = $\frac{পদসংখ্যা ( শেষ পদ + প্রথম পদ )}{২}$
= $\frac{২৫ ( ৭৩ + ১ )}{২}$
= $\frac{২৫ × ৭৪}{২}$
= ২৫ × ৩৭
= ৯২৫

শেষপদ দেয়া না থাকলে সমষ্টি বের করার সহজ কৌশল

প্রশ্নের মধ্যে শেষ পদের উল্লেখ না থেকে যদি পদের সংখ্যা কতটি তার উল্লেখ থাকে । তাহলে আগের সূত্রগুলো ব্যবহার করা যাবে না।

সূত্র-৬: শেষ পদ না থাকলে সমষ্টি বের করার সূত্র S = $\frac{n}{2} {2a + (n - 1) d}$

p> প্রশ্ন নম্বর- ১. 7 + 12 +17 + ......... ধারাটির 30টি পদের সমষ্টি কত?

(ক) 2500
(খ) 2445
(গ) 2385
(ঘ) 2600

উত্তরঃ (গ) 2385

সমাধান:
ধারাটির প্রথম পদ a = 7, সাধারণ অন্তর d = 12 - 7 = 5 এবং পদ সংখ্যা n = 30
30টি পদের সমষ্টি = $\frac{30}{2} {2×7 + (30 - 1) 5}$
= 15 ( 14 + 29×5 )
= 15 ( 14 + 145 )
= 15 × 159
= 2385

প্রশ্ন নম্বর- ২. 11 + 18 + 25 + 32 + ....... ধারাটির 29 তম পদের সমষ্টি কত? [ প্রাথমিক বিদ্যালয় সহকারী শিক্ষক - ২০১২ ]

(ক) 2131
(খ) 3131
(গ) 3161
(ঘ) 3260

উত্তরঃ (গ) 3161

সমাধান:
ধারাটির প্রথম পদ a = 11, সাধারণ অন্তর d = 18 - 11 = 7 এবং পদ সংখ্যা n = 29
ধারাটির 29 তম পদের সমষ্টি = $\frac{29}{2} {2×11 + (29 - 1) × 7}$
= $\frac{29}{2} (22 + 28 × 7)$
= $\frac{29}{2} (22 + 196)$
= $\frac{29}{2} \times 218$
= 29 × 109
= 3161

সমান্তর ধারার সমষ্টি সংক্রান্ত আরো কিছু গুরুত্বপূর্ণ প্রশ্ন ও সমাধান

প্রশ্ন নম্বর- ১. একটি সমান্তর অনুক্রমে ৫ম পদটি 18 এবং প্রথম ৫টি পদের যোগফল 75 হলে প্রথম পদটি কত? [৩৮তম বিসিএস প্রিলি ]

(ক) ২
(খ) ১০
(গ) ৪
(ঘ) ১২

উত্তরঃ (ঘ) ১২

সমাধান:
এখানে ১ম পদ = a. সাধারণ অন্তর = d
সমান্তর ধারার ৫ম পদ = a + (5 - 1)d = a + 4d
প্রশ্নমতে, a + 4d = 18-----(i)
প্রথম ৫টি পদের সমষ্টি = $\frac{5}{2} {2a + (5 - 1)d}$
= $\frac{5}{2} {a + a + (5 - 1)d}$
= $\frac{5}{2} {a + (a + 4d)}$
= $\frac{5}{2} (a + 18)$
শর্তমতে, $\frac{5}{2} (a + 18)$ = 75
বা, ‍ a + 18 = 30
সুতরাং a = 30 - 18 = 12

কয়েক সেকেন্ডে সমাধান করার জন্য:
৫টি সংখ্যার যোগফল ৭৫ হলে তাদের গড় = ৭৫÷৫ = ১৫
সমান্তর ধারায় সিরিজটি হবে ১২, ১৩.৫, ১৫, ১৬.৫ এবং ১৮।
গড় কে মাঝখানে রেখে শেষের ১৮ এর সাথে পার্থক্য ৩ কে ২ দিয়ে ভাগ করলে ১.৫ হয়। তাই সবগুলো রাশির পার্থক্য ১.৫

প্রশ্ন নম্বর- ২. একটি সমান্তর ধারার ৪র্থ এবং ১২তম পদের যোগফল ২০। ঐ ধারাটির প্রথম ১৫টি পদের যোগফল কত? [ BD House Building FC (SO)-2017]

(ক) 300
(খ) 120
(গ) 150
(ঘ) 130

উত্তরঃ (গ) 150

সমাধান:
এখানে ৪র্থ পদ = a+(4-1)d = a+3d
এখানে ১২ তম পদ = a+(12-1)d = a+11d
৪র্থ ও ১২ তম পদের যোগফল = = a+3d+a+11d = 2a+14d = 20 [২০ প্রশ্নে দেয়া আছে]
সুতরাং প্রথম ১৫টি পদের যোগফল = $\frac{15}{2} {2a + (15 - 1)d}$
= $\frac{15}{2} {2a + 14d}$
= $\frac{15}{2} \times 20$
= 150

প্রশ্ন নম্বর- ৩. একটি সমান্তর ধারার প্রথম পদ 1, শেষ পদ 99 এবং সমষ্টি 2500 হলে ধারাটির সাধারণ অন্তর হবে- [ সংসদ সচিবালয়-05 ]

(ক) - 2
(খ) 2
(গ) 20
(ঘ) 21

উত্তরঃ (খ) 2

সমাধান:
প্রথমে প্রশ্নে প্রদত্ত ক্লু বা সংখ্যা গুলো নিয়ে ভাবুন। এখানে সাধারণ অন্তর d এর মান বের করতে হবে। তাই প্রথমে সমষ্টির সুত্র প্রয়োগ করে পদসংখ্যা বের করার পর যে সুত্রে d এর মান বের হবে সেই সূত্র প্রয়োগ করতে হবে। যেমন:
সমষ্টি = $\frac{(1 + 99) × পদসংখ্যা}{2}$
বা, 2500 = 50 × পদসংখ্যা
সুতরাং পদসংখ্যা = 50
আবার পদসংখ্যা = $\frac{(99 - 1)}{d} + 1$ (এই সূত্রে সাধারণ অন্তর d এর মান বের হবে)
বা, 50 = $\frac{98}{d} + 1$
সুতরাং d = 2

বর্গ ও ঘন - সংখ্যার সমষ্টি

টিপস: এ নিয়মের অংকগুলোতে শুধুমাত্র সূত্র মনে রেখে সূত্র প্রয়োগ করতে পারলেই উত্তর বের হয়ে যাবে। তবে বর্তমানে পরীক্ষায় ক্যালকুলেটরের ব্যবহার না থাকায় এ ধরনের প্রশ্ন খুব বেশি আসে না। আসলেও সহজ সংখ্যার গুলোই আসে। তাই সূত্রগুলোকে গুরুত্ব দিন।

সূত্র-৭: সমান্তর ধারায় বর্গ যোগ পদ্বতির ক্ষেত্রে-

[ $১^{২} + ২^{২} + ৩^{২} + .... + n^{2}$ ]
ধারার সমষ্টি S = $\frac{১}{৬}$ n(n+১)(২n+১) এখানে , n = শেষসংখ্যা

প্রশ্ন নম্বর- ১. $১^{২} + ২^{২} + ৩^{২} + .... + {৫০}^{২}$ = কত? প্রাথমিক সহকারী শিক্ষক -২০১০]

(ক) ৩৫৭২৫
(খ) ৪২৯২৫
(গ) ৪৫৫০০
(ঘ) ৪৭২২৫

উত্তরঃ (খ) ৪২৯২৫

সমাধান:
সমাধানঃ
ধারাটির যোগফল S = $\frac{১}{৬}$ n(n+১)(২n+১) এখানে , n = ৫০ ।
= $\frac{১}{৬}$ ৫০(৫০+১)(২×৫০+১)
= $\frac{১}{৬}$ ×৫০×৫১×১০১
= ৪২৯২৫

প্রশ্ন নম্বর- ২. $1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + .... + {(40)}^{2}$ = কত? [ ২৭ তম বিসিএস ]

(ক) 22130
(খ) 22140
(গ) 22150
(ঘ) 22160

উত্তরঃ (খ) 22140

সমাধান:
সমাধানঃ
ধারাটির যোগফল S = $\frac{1}{6}$ n(n+1)(2n+1) এখানে , n = 40 ।
= $\frac{1}{6}$ 40(40 + 1 )(2 × 40 + 1)
= $\frac{1}{6}$ ×40×41×81
= 22140

সূত্র-৮: সমান্তর ধারায় ঘন যোগ পদ্বতির ক্ষেত্রে-

[ $১^{৩} + ২^{৩} + ৩^{৩} + .... + n^{3}$ ]
ধারার সমষ্টি S = ${({\frac{n(n+1)}{2}})}^{2}$ এখানে , n = শেষসংখ্যা

প্রশ্ন নম্বর- ১. ${(১)}^{৩}$ + ${(২)}^{৩}$ + ${(৩)}^{৩}$ +..........+ ${(১০)}^{৩}$ = কত? [থানা সহকারী শিক্ষা অফিসার নিয়োগ পরীক্ষা-২০১০]

(ক) ৩০২৫
(খ) ২৫৩০
(গ) ২৫৪০
(ঘ) ২৫৪৫

উত্তরঃ (ক) ৩০২৫

সমাধান:
সমাধানঃ
ধারাটির যোগফল
= ${({\frac{n(n+1)}{2}})}^{2}$ এখানে , n = 10
= ${({\frac{10(10+1)}{2}})}^{2}$
= ${({\frac{10 × 11}{2}})}^{2}$
= ${((55))}^{2}$
= 3025

প্রশ্ন নম্বর- ২. ${(১)}^{৩}$ + ${(২)}^{৩}$ + ${(৩)}^{৩}$ +..........+ ${(২০)}^{৩}$ = কত? দুর্নীতি দমন পরিদর্শক পরীক্ষা-২০০৪,মাদক অধিদপ্তর- ২০১২]

(ক) ৪৪০০০
(খ) ৪৪১০০
(গ) ৪৪২০০
(ঘ) উপরের কোনটিই সত্য নয়

উত্তরঃ (খ) ৪৪১০০

সমাধান:
সমাধানঃ
ধারাটির যোগফল
= ${({\frac{n(n+1)}{2}})}^{2}$ এখানে , n = ২০
= ${({\frac{২০(২০ + ১)}{২}})}^{২}$
= ${({\frac{২০ × ২১}{২}})}^{২}$
= ${((২১০))}^{২}$
= ৪৪১০০

গুণোত্তর ধারা

গুণোত্তর ধারা: যে ধারার কোনো পদের সাথে তার পরবর্তী পদের অনুপাত সব সময় সমান হয়, সে ধারাকে গুনোত্তর ধারা বলে। যেমন: 3+6+12+24+....... প্রতি পদের সাথে 2 গুণ করে পরবর্তী পদ বের করা হয়েছে। যতগুণ করে বাড়ে বা কমে তাকে সাধারণ অনুপাত বলা হয় এবং সাধারণ অনুপাতকে q দ্বারা প্রকাশ করা হয়। $q = \frac{দ্বিতীয় পদ}{প্ৰথম পদ}$

গুণোত্তর ধারার সূত্র দুটি যথা:

১. r ৩ম পদ = ${aq}^{r - 1}$

২. n সংখ্যক পদের সমষ্টি S = $a \times \frac{(q^{n}, - 1)}{q - 1}$ [ যখন q এর মান 1 থেকে বড় হয় তখন এই সূত্র ]

আবার যখন q এর মান 1 থেকে ছোট হয় তখন নিচের সূত্র ব্যবহার করতে হবে।

S = $a \times \frac{(1 - q^{n})}{q - 1}$

গুণোত্তর ধারার পদের মান বা কত তম পদ তা বের করতে বলা হলে

গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ a এবং সাধারণ অনুপাত q হলে ধারাটির r তম পদ = ${aq}^{r - 1}$ (অর্থাৎ একটি ধারার মাঝখানের যে কোন একটি পদের মান কত অথবা যে পদের মান মান দেয়া আছে পদটি কত নম্বর পদ বের করতে বলা হলে এই সূত্রটি প্রয়োগ করতে হয়। যেমন:

প্রশ্ন নম্বর- ১. 2+4+8+16+ ...... ধারাটির ৭ম পদ কত? [ সাব রেজিস্টার: ০১ ]

(ক) 128
(খ) 120
(গ) 125
(ঘ) 124

উত্তরঃ (ক) 128

সমাধান:
(সুত্রানুযায়ী ):
ধারাটির ৭ম পদ
= ${aq}^{r - 1}$ ( যেখানে প্রথম পদ a = 2, সাধারণ অনুপাত q = 4÷2 = 2 এবং পদের সংখ্যা r = 7)
= ${2×2}^{7 - 1}$
= ${2×2}^{6}$
= 2 × 64
= 128

যেহেতু পার্থক্য দ্বিগুণ হারে বাড়ছে তাই সিরিজটি বুঝে বুঝে লিখলেই প্রমাণ পাওয়া যায় 2+4+8+16+32 + 64 + 128 ( ৭ম পদ 128 )
আবার এই একই প্রশ্নটি যদি এভাবে ঘুরিয়ে আসে । যেমন:

প্রশ্ন নম্বর- ২. 2+4+8+16+32 ......... ধারাটির কততম পদের মান 1024? ...

(ক) ৮ম
(খ) ৯ম
(গ) ১০ম
(ঘ) ১১শ

উত্তরঃ (গ) ১০ম

সমাধান:
তখনও কিন্তু একই সুত্র এখানে r তম পদটি কত তা জানা থাকলে ও r এর মান কত তা অজানা, তাই এর মান বের করার জন্য লিখতে হবে।
${aq}^{r - 1}$ = 128 (কারণ এই সুত্রটি প্রয়োগ করলে যে মানটি আসবে তা হবে 128)
বা, ${2×2}^{r - 1}$ = 1024
বা, $2^{r - 1}$ = 1024
বা, $2^{r - 1} = 2^{9}$
বা, r - 1 = 9
বা, r = 10
সুতরাং ধারাটির ১০ম পদের মান 1024 .

প্রশ্ন নম্বর- ৩. একটি গুণোত্তর অনুক্রমের দ্বিতীয় পদটি - 48 এবং পঞ্চম পদটি $\frac{3}{4}$ হলে, সাধারণ অনুপাত কত? [ 35তম বিসিএস ]

(ক) $\frac{1}{2}$
(খ) $- \frac{1}{2}$
(গ) $\frac{1}{4}$
(ঘ) $- \frac{1}{4}$

উত্তরঃ $- \frac{1}{4}$

সমাধান:
গুণোত্তর অনুক্রমের প্রথম পদ a এবং সাধারণ অনুপাত q হলে অনুক্রমটির n তম পদ = ${aq}^{n - 1}$ । দ্বিতীয় পদ, ${aq}^{2 - 1}$ = aq = - 48 এবং পঞ্চম পদ, ${aq}^{5 - 1}$ = ${aq}^{4} = \frac{3}{4}$ (বের করতে হবে সাধারণ অনুপাত q এর মান কত ? )
প্রথম শর্তমতে, aq = - 48 ------- (1)
২য় শর্তমতে, ${aq}^{4} = \frac{3}{4}$ ------- (2)
এখন 2 নং কে 1 নং দ্বারা ভাগ করে পাই,
$\frac{{aq}^{4}}{aq} = \frac{4}{- 48}$
বা, $q^{3} = - \frac{1}{64}$
বা, $q^{3} = (- \frac{1}{4^{3}})$
বা, $q = - \frac{1}{4}$
সুতরাং সাধারণ অনুপাত q এর মান = $- \frac{1}{4}$

প্রশ্ন নম্বর- ৪. $\frac{1}{\sqrt{2}}, 1, \sqrt{2}$ ধারাটির কোন পদ 8√2 হবে ? [ বেসরকারি বিমান ও পর্যটন মন্ত্রণালয়ের প্রশাসনিক কর্মকর্তা ০৫) + (৩৯ তম বিসিএস- (বিশেষ) ]

(ক) ৯ তম পদ
(খ) ১০ তম পদ
(গ) ১১ তম পদ
(ঘ) ১২ তম পদ

উত্তরঃ (ক) ৯ তম পদ

সমাধান:
ধারাটি একটি গুণোত্তর ধারা। এখানে, প্রথম পদ a = √2 এবং সাধারণ অনুপাত, q = 1 ÷ $\frac{1}{\sqrt{2}}$ বা, q = $\sqrt{2}$
n তম পদ = ${aq}^{n - 1}$
শর্তমতে, ${aq}^{n - 1} = 8√2$
বা, $\frac{1}{\sqrt{2}} \times {(√2)}^{n - 1} = 2^{3} \sqrt{2}$
বা, ${(√2)}^{- 1} \times {(√2)}^{n - 1} = {(√2)}^{6} \sqrt{2}$
বা, ${(√2)}^{n - 2} = {(√2)}^{7}$
বা, n - 2 = 7 (দুপাশের ভিত্তি √2 মিলে যাওয়ায় √2 তুলে দেয়া হয়েছে)
বা, n = 9
সুতরাং ধারাটির ৯তম পদ 8√2 হবে ।

গুণোত্তর ধারার পদের সমষ্টি বের করা

গুণোত্তর ধারার সূত্র দুটি যথা:

১. n ৩ম পদ = ${aq}^{n - 1}$

২. n সংখ্যক পদের সমষ্টি S = $a \times \frac{(q^{n}, - 1)}{q - 1}$ [ যখন q এর মান 1 থেকে বড় হয় তখন এই সূত্র ]

আবার যখন q এর মান 1 থেকে ছোট হয় তখন নিচের সূত্র ব্যবহার করতে হবে।

S = $a \times \frac{(1 - q^{n})}{1 - q}$

প্রশ্ন নম্বর- ১. 2 + 6 + 18 + ধারাটির ৮টি পদের সমষ্টি কত?

(ক) 6565
(খ) 6560
(গ) 6569
(ঘ) 5560

উত্তরঃ (খ) 6560

সমাধান:
এখানে গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ a = 2 এবং সাধারণ অনুপাত q = 6÷2 = 3 [ যা 1 থেকে বড় ]
৮ টি পদের সমষ্টি
= ${aq}^{n - 1}$
= $2 \times \frac{(3^{8}, - 1)}{3 - 1}$
= $2 \times \frac{6561 - 1}{2}$
= 6560

প্রশ্ন নম্বর- ২. ২-৪+৮-১৬+......... ধারাটির প্রথম ৭ টি পদের সমষ্টি কত ? [ কারিগরি শিক্ষা অধিদপ্তর-০৫) + ( পল্লী সঞ্চয় ব্যাংক- (ক্যাশ)-২০১৮]

(ক) ৩৬
(খ) ৮৬
(গ) ৫২
(ঘ) ৫৬

উত্তরঃ (খ) ৮৬

সমাধান:
গুণোত্তর ধারাটির প্রথম পদ a = ২, সাধারণ অনুপাত, q = ( - ৪ )÷২ = - ২ [ যা ১ থেকে ছোট ] এবং মোট পদ n = ৭
প্রথম ৭ টি পদের সমষ্টি = $a \times \frac{(1 - q^{n})}{1 - q}$
= $২ \times \frac{(১ - {( - ২ )}^{৭})}{১ - ( - ২ )}$
= $২ \times \frac{(১ - ( - ১২৮ ))}{৩}$
= $২ \times \frac{(১ + ১২৮)}{৩}$
= $২ \times \frac{১২৯}{৩}$
= ২ × ৪৩
= ৮৬