বীজগাণিতিক রাশিমালার ল.সা.গু ও গ.সা.গু

বীজ গণিত হলো সংখ্যাগতিক বিষয়বস্তুগুলোর উপর ভিত্তি করে গণিতের একটি শাখা। এটি মূলত গণিতের সাধারণ নিয়ম এবং সূত্র ব্যবহার করে সমস্যার সমাধান করে। ল.সা.গু এবং গ.সা.গু হলো বীজ গণিতের দুটি গুরুত্বপূর্ণ অংশ। ল.সা.গু হলো সমস্যা সমাধানের একটি পদ্ধতি, যেখানে সমাধান নির্ণয়ের জন্য প্রথমে সংখ্যা বা রাশিগুলোকে একত্রে নেওয়া হয় এবং তাদের সর্বোচ্চ সংখ্যা বা রাশিটিকে লসাগু হিসেবে নেয়া হয়। গ.সা.গু হলো সমাধানের আরেকটি পদ্ধতি, যেখানে সংখ্যা বা রাশিগুলোকে একত্রে নেওয়া হয় এবং তাদের সর্বনিম্ন সংখ্যা বা রাশিটিকে গ.সা.গু. হিসেবে নেয়া হয়।পাটিগণিতের ল.সা.গু ও গ.সা.গু জানা থাকলে এটা ও অত্যন্ত সহজ । কারণ একই নিয়মেই বীজগণিতে ও কাজ করতে হবে। পাটিগণিতে আমরা সংখ্যা নিয়ে কাজ করেছি আর বীজগণিতে আমাদের রাশিমালা নিয়ে কাজ করতে হবে পার্থক্য এইটুকুই ।তবে মনে রাখা জরুরী বীজগণিতের ল.সা.গু ও গ.সা.গু সম্পর্কে জানার আগে উৎপাদকে বিশ্লেষণ জানা থাকতে হবে । কারণ এই অংক শুরুই করব উৎপাদকে বিশ্লেষণের মধ্য দিয়ে ।

বীজগণিতের ল.সা.গু. নির্ণয়ের সহজ কেীশল
- ল.সা.গু . এর উপর বিগত সালের বিভিন্ন প্রশ্ন ও সমাধান
বীজগণিতের গ.সা.গু. নির্ণয়ের সহজ কেীশল
- গ.সা.গু . এর উপর বিগত সালের বিভিন্ন প্রশ্ন ও সমাধান
- বীজগণিতের ল.সা.গু এবং গ.সা.গু এর সারমর্ম

বীজগণিতের ল.সা.গু. নির্ণয়ের সহজ কেীশল

ল.সা.গু. (L. C. M . - Least Common Multiple): দুইবা ততোধিক রাশির মধ্যে সাধারণ গুণিতকের সবচেয়ে ছোট গুণিতকটিকে লঘিষ্ট সাধারণ গুণিতক বা ল.সা.গু বলে। যেমন- $(x^{3}, y^{3}, z^{4})$ , $(x^{4}, y^{2}, z^{2})$ এবং $(x^{3}, y^{4}, z^{3})$ এ রাশি তিনটির ল.সা.গু $(x^{4}, y^{4}, z^{4})$ .

ল.সা.গু. নির্ণয়ের নিয়ম:
পাটিগণিতের নিয়মে রাশিগুলোর মধ্যে যে সংখ্যাগুলো থাকবে তার ল.সা.গু. নির্ণয় করতে হবে।
বীজগণিতীয় রাশিগুলোর সাধারণ উৎপাদকের সর্বোচ্চ শক্তি বা পাওয়ার বের করতে হবে ।
এখন, উভয়ের গুণফলই হবে প্রদত্ত রাশিগুলোর ল.সা.গু ।

ল.সা.গু . এর উপর বিগত সালের বিভিন্ন প্রশ্ন ও সমাধান

প্রশ্ন নম্বর- ১. $(a^{2}, bc)$ , $(a, b^{2}, c)$ এবং $(ab, c^{2})$ এর ল.সা.গু কত? [ উপজেলা পরিসংখ্যান কর্মকর্তা: 10 ]

(ক) $(a^{2}, b^{2}, c^{2})$
(খ) $(a^{3}, b^{2}, c)$
(গ) $(a^{2}, b, c^{2})$
(ঘ) $(ab, c^{2})$

উত্তরঃ (ক) $(a^{2}, b^{2}, c^{2})$

সমাধান:
প্রদত্ত রাশি ৩ টির ল.সা.গু হবে- প্রতিটি রাশির মধ্যে সর্বোচ্চ পাওয়ার বিশিষ্ট সংখ্যা গুলোর গুণফল ।
নির্ণেয় ল.সা.গু = $(a^{2}, b^{2}, c^{2})$

প্রশ্ন নম্বর- ২. (a+b) এবং ${(a)}^{2}$ (a-b) . -এর ল.সা.গু কত? [ পাব:সার্ভিস কমিশনে সহ:পরি: 94 ]

(ক) $(a^{2} (a^{2} - b^{2}))$
(খ) $(a^{3} (a^{2} - b^{2}))$
(গ) $(a^{4} (a^{2} - b^{2}))$
(ঘ) $(a^{2} (a^{3} - b^{2}))$

উত্তরঃ (ক) $(a^{2} (a^{2} - b^{2}))$

সমাধান:
প্রদত্ত রাশি 2 টির ল.সা.গু হবে- প্রতিটি রাশির মধ্যে সর্বোচ্চ পাওয়ার বিশিষ্ট সংখ্যা গুলোর গুণফল ।
নির্ণেয় ল.সা.গু = $(a^{2} (a^{2} - b^{2}))$

প্রশ্ন নম্বর- ৩. $({2x}^{2} + x)$ এবং $({4x}^{2} - 1)$ এর ল.সা.গু কত? [ থানা শিক্ষা অফিসার-99 ]

(ক) x(2x+2) (2x-1)
(খ) x(x+1) (2x-1)
(গ) x(2x+1) (2x-2)
(ঘ) x ( 2x + 1) (2x-1)

উত্তরঃ (ঘ) x ( 2x + 1) (2x-1)

সমাধান:
প্রথম রাশি,
$({2x}^{2} + x)$
= x(2x + 1)
দ্বিতীয় রাশি,
$({4x}^{2} - 1)$
= $({(2x)}^{2} - 1^{2})$
= (2x + 1) (2x - 1)
ল.সা.গু = x(2x + 1) (2x - 1)

প্রশ্ন নম্বর- ৪. $(x^{3} y - {xy}^{3})$ এবং $(x^{2} - y^{2})$ -এর ল.সা.গু কত? [ তথ্য মন্ত্র: অধীন সহ:পরি:-03 ]

(ক) x(x+y) (x-y)
(খ) xy(x - y) (y - x)
(গ) y (y - x) (x+y)
(ঘ) xy(x - y) (x+y)

উত্তরঃ (ঘ) xy(x - y) (x+y)

সমাধান:
প্রথম রাশি,
$(x^{3} y - {xy}^{3})$
= $(xy (x^{2} - y^{2}))$
= xy(x + y) (x - y)
দ্বিতীয় রাশি,
= $(x^{2} - y^{2})$
= (x+y) (x-y)
ল.সা.গু. = xy(x - y) (x + y)

প্রশ্ন নম্বর- ৫. $(x^{3} + x^{2} y)$ , $(x^{2} y + x y^{2})$ এর ল. সা. গু. কোনটি? [32তম বিসিএস (বিশেষ)]

(ক) xy(x+y)
(খ) ${(x)}^{2}$ (x+y)
(গ) ${(x)}^{2}$ y(x+y)
(ঘ) y(x+y)

উত্তরঃ (গ) ${(x)}^{2}$ y(x+y)

সমাধান:
প্রথম রাশি,
$(x^{3} + x^{2} y)$
= $(x^{2}, ( x + y ))$
দ্বিতীয় রাশি ,
$(x^{2} y + x y^{2})$
= xy(x + y )
ল.সা.গু. = $(x^{2}, y, ( x + y ))$

প্রশ্ন নম্বর- ৬. 3 ${(x)}^{2}$ +9, ${(x)}^{4}$ -9 এবং ${(x)}^{4}$ + 6 ${(x)}^{2}$ + 9 -এর ল.সা.গু নির্ণয় করুন । [ স্বরাষ্ট্র মন্ত্র: পুলিশ সহ::02 ]

(ক) ( ${(x)}^{2}$ +3) (x²-3) ( ${(x)}^{2}$ +3)
(খ) 3( ${(x)}^{2}$ +3) (x-3) ( ${(x)}^{2}$ +3)
(গ) 3( ${(x)}^{2}$ +3) ( ${(x)}^{2}$ -3) ( ${(x)}^{2}$ +4)
(ঘ) 3 ${((x^{2} + 3))}^{2}$ ( ${(x)}^{2}$ -3)

উত্তরঃ (ঘ) 3 ${((x^{2} + 3))}^{2}$ ( ${(x)}^{2}$ -3)

সমাধান:
প্রথম রাশি = 3 ${(x)}^{2}$ +9
= 3 ( ${(x)}^{2}$ +3 )
দ্বিতীয় রাশি = ${(x)}^{4}$ -9
= ${((x^{2}))}^{2} - 3^{2}$
= ( ${(x)}^{2}$ +3) ( ${(x)}^{2}$ -3)
তৃতীয় রাশি = $(x^{4} + {6x}^{2} + 9)$
= ${((x^{2}))}^{2} + 2 . x^{2} . 3 + 3^{2}$
= ${((x^{2} + 3))}^{2}$
= ( ${(x)}^{2}$ +3) ( ${(x)}^{2}$ +3)
ল.সা.গু = 3 ${((x^{2} + 3))}^{2}$ ( ${(x)}^{2}$ -3)

প্রশ্ন নম্বর- ৭. ${(x)}^{3}$ - 1, ${(x)}^{3}$ + 1, ${(x)}^{4}$ + ${(x)}^{2}$ + 1 এর ল. সা. গু. কত? [প্রাথ: শিক্ষক -১৫]

(ক) ${(x)}^{5} - 1$
(খ) ${(x)}^{4} - 1$
(গ) ${(x)}^{9} - 1$
(ঘ) ${(x)}^{6} - 1$

উত্তরঃ (ঘ) ${(x)}^{6} - 1$

সমাধান:
১ম রাশি, ${(x)}^{3}$ – 1 = (x – 1) ( ${(x)}^{2}$ + x + 1)
২য় রাশি, ${(x)}^{3}$ + 1 = (x + 1) ( ${(x)}^{2}$ - x + 1)
৩য় রাশি = $(x^{4} + x^{2} + 1)$
= ${((x^{2}))}^{2} + {2x}^{2} + 1 - x^{2}$
= ${((x^{2} + 1))}^{2} - x^{2}$
= ( ${(x)}^{2}$ + x + 1) ( ${(x)}^{2}$ - x + 1)
ল. সা. গু . = (x + 1) ( ${(x)}^{2}$ - x + 1) (x - 1) ( ${(x)}^{2}$ + x + 1)
= ( ${(x)}^{3}$ + 1 ) ( ${(x)}^{3}$ - 1 )
= ${((x^{3}))}^{2} - 1^{2}$
= ${(x)}^{6} - 1$

প্রশ্ন নম্বর- ৮. ল. সা. গু. নির্ণয় করুন- ${(a)}^{3}$ - 1, ${(a)}^{3}$ + 1, ${(a)}^{4}$ + ${(a)}^{2}$ + 1 [৮ম বেসরকারী শিক্ষক নিবন্ধন ও প্রত্যয়ন পরীক্ষা 2012]

(ক) ${(a)}^{3} - 1$
(খ) ${(a)}^{2} - 1$
(গ) a - 1
(ঘ) ${(a)}^{6} - 1$

উত্তরঃ (ঘ) ${(a)}^{6} - 1$

সমাধান:
১ম রাশি, ${(a)}^{3}$ – 1 = (a – 1) ( ${(a)}^{2}$ + a + 1)
২য় রাশি, ${(a)}^{3}$ + 1 = (a + 1) ( ${(a)}^{2}$ - a + 1)
৩য় রাশি = $(a^{4} + a^{2} + 1)$
= ${((a^{2}))}^{2} + {2a}^{2} + 1 - a^{2}$
= ${((a^{2} + 1))}^{2} - a^{2}$
= ( ${(a)}^{2}$ + a + 1) ( ${(a)}^{2}$ - a + 1)
ল. সা. গু . = (a + 1) ( ${(a)}^{2}$ - a + 1) (a - 1) ( ${(a)}^{2}$ + a + 1)
= ( ${(a)}^{3}$ + 1 ) ( ${(a)}^{3}$ - 1 )
= ${((a^{3}))}^{2} - 1^{2}$
= ${(a)}^{6} - 1$

প্রশ্ন নম্বর- ৯. $(a^{2} b (a^{3} - b^{3}))$ , $(a^{2} b^{2} (a^{4} + a^{2} b^{2} + b^{4}))$ এবং ( $(a^{3} + b^{3})$ ) এর ল.সা.গু. নির্ণয় করুনঃ

(ক) $(a^{3} b (a^{6} - b^{6}))$
(খ) $(a^{3} b^{3} (a^{6} - b^{6}))$
(গ) $(a^{2} b^{2} (a^{6} - b^{6}))$
(ঘ) $ab (a^{5} - b^{5})$

উত্তরঃ (গ) $(a^{2} b^{2} (a^{6} - b^{6}))$

সমাধান:
১ম রাশি = $(a^{2} b (a^{3} - b^{3}))$
= $(a^{2} b (a - b) (a^{2} + ab + b^{2}))$
২য় রাশি = $(a^{2} b^{2} (a^{4} + a^{2} b^{2} + b^{4}))$
= $(a^{2} b^{2} {{((a^{2}))}^{2} + 2 . a^{2} . b^{2} + {((b^{2}))}^{2} - a^{2} b^{2}})$
= $a^{2} b^{2} {({(a^{2} + b^{2}))}^{2} - a^{2} b^{2}}$
= $(a^{2} b^{2} (a^{2} + ab + b^{2}) (a^{2} - ab + b^{2}))$
৩য় রাশি = $(a^{3} + b^{3})$
= $((a + b) (a^{2} - ab + b^{2}))$
নির্ণেয় ল.সা.গু. = $(a^{2} b^{2} ( ‍a - b ) (a^{2} + ab + b^{2}) ( ‍a + b ) (a^{2} - ab + b^{2}))$
= $(a^{2} b^{2} (a^{3} - b^{3}) (a^{3} + b^{3}))$
= $(a^{2} b^{2} (a^{6} - b^{6}))$

প্রশ্ন নম্বর- ১০. $({4x}^{2}, y^{2}, z)$ এবং $6x {(y)}^{2}$ এর ল. সা. গু. কত? [ ডাক ও টেলিযোগাযোগ মন্ত্রণালয়ের টেলিফোন পরিচালক 2004]

(ক) ${(12x)}^{2}$ yz
(খ) ${(12xy)}^{2} z$
(গ) $({10x}^{2}, y^{2}, z)$
(ঘ) $({12x}^{2}, y^{2}, z)$

উত্তরঃ (ঘ) $({12x}^{2}, y^{2}, z)$

সমাধান:
এখানে 4 ও 6 এর ল.সা.গু. = 12
নির্ণেয় ল.সা.গু. = $({12x}^{2}, y^{2}, z)$

বীজগণিতের গ.সা.গু. নির্ণয়ের সহজ কেীশল

গ.সা.গু. (H.C.F. - Highest Common Factor): দুই বা ততোধিক রাশির অন্তর্গত সর্বোচ্চ সংখ্যক সাধারণ মৌলিক গুণনীয়কের ধারাবাহিক গুণফলকে ঐ রাশিগুলোর গরিষ্ঠ সাধারণ গুণনীয়ক বা গ.সা.গু বলা হয়। যেমন- $(x^{2}, y^{3}, z^{4})$ , $(x^{4}, y^{2}, z^{2})$ এবং $(x^{3}, y^{4}, z^{3})$ এ রাশি তিনটির গ.সা.গু. $(x^{2}, y^{2}, z^{2})$ অর্থাৎ গ.সা.গু এর ক্ষেত্রে সর্বনিম্ন ঘাত বা পাওয়ার আর ল.সা.গু. এর ক্ষেত্রে সর্বোচ্চ ঘাত বা পাওয়ার নিতে হয়।

গ.সা.গু নির্ণয়ের নিয়ম :
পাটিগণিতের নিয়মে রাশিগুলোর মধ্যে যে সংখ্যাগুলো থাকবে তার গ.সা.গু নির্ণয় করতে হবে ।
বীজগণিতীয় রাশিগুলোর মৌলিক উৎপাদক বের করতে হবে।
প্রদত্ত রাশিগুলোর সর্বোচ্চ সংখ্যক বীজগণিতীয় সাধারণ মৌলিক উৎপাদকগুলোর এবং সাংখ্য-সহগের গ.সা.গু এর ধারাবাহিক গুণফল হচ্ছে নির্ণেয় গ.সা.গু ।

গ.সা.গু . এর উপর বিগত সালের বিভিন্ন প্রশ্ন ও সমাধান

প্রশ্ন নম্বর- ১১. $({4x}^{2} - 16)$ এবং $({6x}^{2} + 24x + 24)$ এর গ.সা.গু.----- [ 31তম বিসিএস ]

(ক) 4(x+2)
(খ) 2(x+3)
(গ) 2(x+2)
(ঘ) 2 (x+5)

উত্তরঃ (গ) 2(x+2)

সমাধান:
প্রথম রাশি, $({4x}^{2} - 16)$
= $(4 (x^{2} - 4))$
= $(4 (x^{2} - 2^{2}))$
= 4 (x + 2) (x - 2)
দ্বিতীয় রাশি, $({6x}^{2} + 24x + 24)$
= 2( ${(3x)}^{2}$ + 12x + 12)
⇒ 2( ${(3x)}^{2}$ + 6x + 6x + 12)
⇒ 2{3x (x + 2) + 6 (x + 2)}
= 2 (x + 2) (3x + 6)

নির্ণেয় গসাগু, = 2(x + 2)

প্রশ্ন নম্বর- ১২. ${(x)}^{2}$ -11x+30 এবং ${(x)}^{3}$ - ${(4x)}^{2}$ -2x-15 এর গ. সা. গু কত? [25তম বিসিএস]

(ক) x-4
(খ) x-2
(গ) 2x-5
(ঘ) x-5

উত্তরঃ (ঘ) x-5

সমাধান:
১ম রাশি = ${(x)}^{2}$ - 11x + 30
= ${(x)}^{2}$ - 5x - 6x + 30
= x(x-5) -6(x-5)
= (x-5) (x-6)
দ্বিতীয় রাশি = ${(x)}^{3}$ - ${(4x)}^{2}$ -2x-15
= $(x^{3} - {5x}^{2} + x^{2})$ -5x+3x-15
= ${(x)}^{2}$ (x-5)+x (x-5)+3(x-5)
= ( ${(x)}^{2}$ +x+3) (x-5)
.:. নির্ণেয় গ.সা.গু = x - 5
সকল রাশির মধ্যে রয়েছে এমন উৎপাদকগুলোই হচ্ছে নির্ণেয় গ.সা.গু.

প্রশ্ন নম্বর- ১৩. $(a^{2} - 3a)$ , $(a^{2} - 9)$ , ${(a)}^{2}$ - 4a + 3 এর গ.সা.গু. হবে- [শ্রম মন্ত্রণালয়ের সহকারী পরিচালক 2005]

(ক) (a-3)
(খ) (a-2)
(গ) (a+2)
(ঘ) (a+3)

উত্তরঃ (ক) (a-3)

সমাধান:
১ম রাশি = $(a^{2} - 3a)$
= a( a - 3 )
২য় রাশি = $(a^{2} - 9)$
= $(a^{2} - 3^{2})$
= ( a + 3 ) ( a - 3 )
৩য় রাশি = ${(a)}^{2} - 4a + 3$
= ${(a)}^{2} - 3a - ‍a + 3$
= a ( a - 3) - 1 ( a - 3 )
= ( a - 3 ) ( a - 1 )
নির্ণেয় গ.সা.গু. = ( a - 3 )
সকল রাশির মধ্যে রয়েছে এমন উৎপাদকগুলোই হচ্ছে নির্ণেয় গ.সা.গু.

প্রশ্ন নম্বর- ১৪. a(a + b), ab(a + b), এবং a ${((a+b))}^{2}$ এর গ. সা. গু কত? [বিআরটিএ (মোটরযান পরিদর্শক)-২০১৭]

(ক) a(a + b)
(খ) ab(a + b)
(গ) a+b
(ঘ) a ${((a+b))}^{2}$

উত্তরঃ (ক) a(a + b)

সমাধান:
১ম রাশি = a(a+b)
২য় রাশি = ab(a+b)
৩য় রাশি = a ${((a+b))}^{2}$
= a(a + b) (a + b)
.:. নির্ণেয় গ.সা.গু. = a(a + b)

প্রশ্ন নম্বর- ১৫. দুটি সংখ্যার ল.সা.গু ${(a)}^{2}$ b(a + b) এবং গ.সা.গু a(a + b) । একটি সংখ্যা ${(a)}^{3}$ + ${(a)}^{2}$ b হলে, অপর সংখ্যাটি কত? [ সহ:থানা পরি: পরি: অফি: ৯৮ ]

(ক) ${(a)}^{2} b + {ab}^{2}$
(খ) $ab + {ab}^{2}$
(গ) ${(a)}^{2} b + ab$
(ঘ) ${(a)}^{2} b + b^{2}$

উত্তরঃ ${(a)}^{2} b + {ab}^{2}$

সমাধান:
অপর সংখ্যা = $\frac{গ.সা.গু × ল.সা.গু}{একটি সংখ্যা}$
= $\frac{a2b(a + b) × a(a + b)}{a2(a + b)}$
= ab(a + b)
= ${(a)}^{2} b + {ab}^{2}$

প্রশ্ন নম্বর- ১৬. $(x^{2} - y^{2})$ , ${((x+y))}^{2}$ , $(x^{3} + y^{3})$ এর গ.সা.গু কত? [ ১১ তম শিক্ষক নিবন্ধন পরীক্ষা -২০১৪]

(ক) x - y
(খ) x + y
(গ) $((x^{2} - y^{2}) (x^{3} + y^{3}))$
(ঘ) $((x-y) {(x+y)}^{2} (x^{2} - xy + y^{2}))$

উত্তরঃ (খ) x + y

সমাধান:
১ম রাশি = $(x^{2} - y^{2})$
= ( x + y ) ( x - y )
২য় রাশি = ${((x+y))}^{2}$
= ( x + y ) ( x + y )
৩য় রাশি = $(x^{3} + y^{3})$
= $((x + y) (x^{2} - xy + y^{2}))$
নির্ণেয় গ.সা.গু. = x + y

বীজগণিতের ল.সা.গু এবং গ.সা.গু এর সারমর্ম:

১. উৎপাদকের অংকের মতই প্রশ্নে প্রদত্ত রাশিগুলোকে ভাঙ্গতে হবে ।
২. ল.সা.গু এর উত্তরটি বড় এবং গ.সা.গু এর উত্তরটি ছোট হবে।
৩. ল.সা.গু এর ক্ষেত্রে কমন আনকমন সবগুলো রাশি একবার করে নিতে হবে, কোনটা দুবার নেয়া যাবে না ।
৪. গ.সা.গু এর ক্ষেত্রে শুধু মিল রাশিগুলো নিতে হবে, এবং মিল না থাকলে উত্তর ১ হবে।
৫. রাশি গুলোর সাথে সাধারণ সংখ্যা আসলে তাদের ল.সা.গু গ.সা.গু ভিন্নভাবে করে উত্তরে যোগ করে দিতে হবে।