উৎপাদকে বিশ্লেষণ-বীজগণিত || এ টু জেড

বলা হয়ে থাকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ হল বীজগণিতের গুরু । এর পিছনের কারণ হিসেবে বলা যায় বীজগণিতের অন্যান্য অংকগুলোর সমাধান করতে উৎপাদকে বিশ্লেষণ এর প্রয়োজন হয় । কাজেই এই উৎপাদকে বিশ্লেষণ ভালভাবে জানা থাকলে অন্যান্য অংকগুলো বুঝতে সহজ হয় । এ জন্যই আমরা সর্বোচ্চ গুরুত্ব দিয়ে এ অধ্যায়টিকে সাজানোর চেষ্টা করেছি । এ অধ্যায়টির এ টু জেড অত্যন্ত সহজ ও সুচারুরুপে তুলে ধরার প্রয়াস নিয়ে আপনাদের সামনে এই টিউটরিয়াল নিয়ে হাজির হয়েছি । কাজেই আপনিও যদি একটু মনোযোগের সহিত এ অধ্যায়টির প্রথম থেকে শেষ পর্যন্ত ভালভাবে পড়তে পারেন । আশা করা যায় উৎপাদকে বিশ্লেষণ নিয়ে আপনার আর কোন সমস্যা থাকবে না । যে কোন উৎপাদকে বিশ্লেষণ আপনার সামনে হাজির হলে নিমিষেই তুড়ি মেরে সমাধান করে দিতে পারবেন । চলুন তাহলে শুরু যাক । প্রথমেই জেনে নেয়া যাক উৎপাদক কী অথবা কাকে বলে ?

উৎপাদক কী? / উৎপাদক কাকে বলে ?
বর্গ এবং ঘন এর সূত্র প্রয়োগ করে উৎপাদক নির্ণয়
Middle Term দ্বারা উৎপাদক
ফাংশনের দ্বারা উৎপাদক
বহুপদী উৎপাদক

উৎপাদক কী? / উৎপাদক কাকে বলে ?

পাটিগণিতের ক্ষেত্রেঃ কোন সংখ্যাকে যতগুলো সংখ্যা দ্বারা ভাগ করা যায় তাদেরকে ঐ সংখ্যাটির উৎপাদক বলে, যেমন: ১৫ সংখ্যাটিকে ১৫,৫,৩ এবং ১ দ্বারা ভাগ করা যায়। তাই ১৫,৫,৩,ও ১ হচ্ছে ১৫ এর উৎপাদক। লক্ষ্যণীয়: প্রদত্ত যে কোন সংখ্যাকে ১ এবং ঐ সংখ্যা দ্বারা সবসময় নিঃশেষে ভাগ করা যাবে, তাই ১৫ এর উৎপাদক ৫ ও ৩ । কিন্তু ৬ সংখ্যাটি ১৫ এর উৎপাদক নয় কারণ ৬ দ্বারা ১৫ কে ভাগ করা যায় না। তেমনিভাবে

বীজগণিতের ক্ষেত্রে: প্রদত্ত রাশিটিকে যে রাশিগুলো দিয়ে ভাগ করা যায় তাদেরকে উক্ত রাশিটির উৎপাদক বলে। যেমন: ${(a)}^{2}$ - ${(b)}^{2}$ বীজগণিতিয় রাশিটির দুটি উৎপাদক হচ্ছে (a+b) এবং (a-b), অর্থাৎ (a+b) এবং (a-b) উভয় রাশি দ্বারা ${(a)}^{2}$ - ${(b)}^{2}$ নিঃশেষে ভাগ করা যায়।

সাধারণ উৎপাদকে বিশ্লেষণ অংকগুলো বিভিন্ন পরীক্ষায় প্রচুর আসে । কিন্তু সমস্যা হলো অপশনে যে চারটি উত্তর দেয়া থাকে তা প্রায় একই রকম। তাই নিয়ম না জেনে শুধু উত্তর থেকে অংক মেলানো খুব জটিল। অংকগুলো খুব দ্রুত করার জন্য কিছু টেকনিক অনুসরণ করতে হবে, যা এই অধ্যায়ে সুন্দরভাবে আলোচনা করা হয়েছে।
উৎপাদকের জন্য প্রয়োজনীয় সূত্রাবলী:
${(a)}^{2}$ - ${(b)}^{2}$ = (a+b) (a -b)
${(a)}^{3}$ + ${(b)}^{3}$ = (a+b)( ${(a)}^{2}$ - ab + ${(b)}^{2}$ )
${(a)}^{3}$ - ${(b)}^{3}$ = (a-b) ( ${(a)}^{2}$ + ab + ${(b)}^{2}$ )

বর্গ এবং ঘন এর সূত্র প্রয়োগ করে উৎপাদক নির্ণয়

প্রশ্ন নম্বর- ১. 9 ${(x)}^{2}$ - ${((2x - 3y))}^{2}$ = ?

(ক) (5x - 3y)(x + 3y)
(খ) (5x - 3y)(x - 3y)
(গ) (5x + 3y)(x - 3y)
(ঘ) কোনটিই নয়

উত্তরঃ (ক) (5x - 3y)(x + 3y)

Explanation:
9 ${(x)}^{2}$ - ${((2x - 3y))}^{2}$
= ${((3x))}^{2}$ - ${((2x - 3y))}^{2}$
= (3x+2x-3y)(3x-2x+3y)
= (5x-3y)(x+3y)

প্রশ্ন নম্বর- ২. ${(x)}^{4}$ + ${(x)}^{2}$ + 1 এর একটি উৎপাদক ${(x)}^{2}$ + x + 1 অপর উৎপাদকটি কত?

(ক) ${(x)}^{2}$ + x + 1
(খ) ${(x)}^{2}$ - x + 1
(গ) ${(x)}^{2}$ + 1
(ঘ) x + 1

উত্তরঃ (খ) ${(x)}^{2}$ - x + 1

Explanation:
${(x)}^{4}$ + ${(x)}^{2}$ + 1
= $x^{2^{2}}$ + 2 . ${(x)}^{2}$ .1+ ${((1))}^{2}$ - ${(x)}^{2}$
= ${((x2 + 1))}^{2}$ - ${(x)}^{2}$
= ( ${(x)}^{2}$ + x + 1 ) ( ${(x)}^{2}$ - x + 1 )

প্রশ্ন নম্বর- ৩. 4 ${(x)}^{}$ -25 ${(x)}^{2}$ + 36 = ?

(ক) (x + 2)(x - 2)(2x + 3)(2x - 3)
(খ) (2x + 1)(2x - 1)(2 + 6)(x - 6)
(গ) (x + 3)(x - 3)(2x + 2)(2x - 2)
(ঘ) (x + 2)(2x - 3)(2x + 3)(3x + 2)

উত্তরঃ (ক) (x + 2)(x - 2)(2x + 3)(2x - 3)

Explanation:
4 ${(x)}^{}$ -25 ${(x)}^{2}$ + 36
= ${((2x2))}^{2}$ -2.2 ${(x)}^{2}$ .6+ ${((6))}^{2}$ - ${(x)}^{2}$
= ${((2x2 - 6))}^{2}$ - ${(x)}^{2}$
= (2 ${(x)}^{2}$ +x-6)(2 ${(x)}^{2}$ -x-6)
= (x + 2)(x - 2)(2x + 3)(2x - 3)

প্রশ্ন নম্বর- ৪. ${(a)}^{4}$ + 4 এর উৎপাদক কি কি?

(ক) ( ${(a)}^{2}$ + 2a + 2)( ${(a)}^{2}$ + 2a - 2)
(খ) ( ${(a)}^{2}$ + 2a + 2)( ${(a)}^{2}$ - 2a + 2)
(গ) ( ${(a)}^{2}$ - 2a - 2)( ${(a)}^{2}$ + 2a - 2)
(ঘ) ( ${(a)}^{2}$ - 2a - 2)( ${(a)}^{2}$ - 2a + 2)

উত্তরঃ (গ) ( ${(a)}^{2}$ - 2a - 2)( ${(a)}^{2}$ + 2a - 2)

Explanation:
${(a)}^{4}$ + 4
= ${((a2))}^{2}$ -2. ${(a)}^{2}$ .2 + ${((2))}^{2}$ -4 ${(a)}^{2}$
= ${((a2 - 2))}^{2}$ - ${((2a))}^{2}$
= ( ${(a)}^{2}$ -2+2a)( ${(a)}^{2}$ -2 - 2a)
= ( ${(a)}^{2}$ +2a-2)( ${(a)}^{2}$ -2a - 2)

প্রশ্ন নম্বর- ৫. $p^{6} - q^{6}$ এর উৎপাদক কত?

(ক) ( ${(p)}^{3}$ - ${(q)}^{3}$ ) ( ${(p)}^{3}$ + ${(q)}^{3}$ )
(খ) (p + q)( ${(p)}^{2}$ - pq + ${(q)}^{2}$ ) ( ${(p)}^{3}$ - ${(q)}^{3}$ )
(গ) ( ${(p)}^{2}$ - ${(q)}^{2}$ )( ${(p)}^{2}$ - pq + ${(q)}^{2}$ )( ${(p)}^{2}$ - pq + ${(q)}^{2}$ )
(ঘ) (p + q)(p - q)( ${(p)}^{2}$ - pq + ${(q)}^{2}$ ) ( ${(p)}^{2}$ + pq + ${(q)}^{2}$ )

উত্তরঃ (ঘ) (p + q)(p - q)( ${(p)}^{2}$ - pq + ${(q)}^{2}$ ) ( ${(p)}^{2}$ + pq + ${(q)}^{2}$ )

Explanation:
${(p)}^{6}$ - ${(q)}^{6}$
= ${((p3))}^{2}$ - ${((q3))}^{2}$
= ( ${(p)}^{3}$ + ${(q)}^{3}$ )( ${(p)}^{3}$ - ${(q)}^{3}$ )
=(p+q)( ${(p)}^{2}$ - pq + ${(q)}^{2}$ )(p-q)( ${(p)}^{2}$ + pq + ${(q)}^{2}$ )

প্রশ্ন নম্বর- ৬. ${(x)}^{2}$ - ${(y)}^{2}$ + 2y - 1 এর একটি উৎপাদক- [এনএসআই-২০০৮]

(ক) x + y + 1

(খ) x - y

(গ) x + y - 1

(ঘ) x - y - 1

উত্তরঃ (গ) x + y - 1

Explanation:
${(x)}^{2}$ - ${(y)}^{2}$ + 2y-1
= ${(x)}^{2}$ -( ${(y)}^{2}$ -2y+1)
= ${(x)}^{2}$ - ${((y-1))}^{2}$
= (x+y-1)(x-y+1)

প্রশ্ন নম্বর- ৭. ${(a)}^{3}$ + ${(b)}^{3}$ এর উৎপাদক কোনটি?

(ক) (a + b)(a + b)(a + b)
(খ) (a + b)( ${(a)}^{2}$ + ${(b)}^{2}$ )
(গ) (a - b)(a + b)( ${(a)}^{2}$ + ${(b)}^{2}$ )
(ঘ) (a + b)( ${(a)}^{2}$ - ab + ${(b)}^{2}$ )

উত্তরঃ (ঘ) (a + b)( ${(a)}^{2}$ - ab + ${(b)}^{2}$ )

Explanation: এটা সূত্র

প্রশ্ন নম্বর- ৮. কোনটি ${(a)}^{3}$ + 1 এর উৎপাদক?

(ক) (a + 1)(a + 1)
(খ) (a + 1)( ${(a)}^{2}$ + a + 1)
(গ) (a - 1)( ${(a)}^{2}$ - a + 1)
(ঘ) (a + 1)( ${(a)}^{2}$ - a + 1)

উত্তরঃ (ঘ) (a + 1)( ${(a)}^{2}$ - a + 1)

Explanation:
${(a)}^{3}$ +1=(a+1)( ${(a)}^{2}$ -a+1)

প্রশ্ন নম্বর- ৯. ${(x)}^{3}$ - 8 এর উৎপাদক কোনটি? [ প্রাথমিক সহকারী শিক্ষক-২০১২]

(ক) x - 2
(খ) x - 4
(গ) ${(x)}^{2}$ - x - 2
(ঘ) ${(x)}^{2}$ - 2x - 2

উত্তরঃ (ক) x - 2

Explanation:
${(x)}^{3}$ -8
= ${(x)}^{3}$ - ${(2)}^{3}$
=(x-2)( ${(x)}^{2}$ +2x+4)

Middle Term দ্বারা উৎপাদক

Middle Term Factor: একটি রাশিকে সর্বোচ্চ ঘাত থেকে সর্বনিম্ন ঘাতে সাজালে যদি a ${(x)}^{2}$ + bx + c আকার ধারণ করে তবে তাকে মধ্যপদী প্রক্রিয়ায় উৎপাদক বিশ্লেষণ করা যায় অর্থাৎ প্রথম রাশি এর উপরের পাওয়ারের অর্ধেক মাঝের রাশিতে থাকলে ( প্রথম ঘাত ও দ্বিতীয় ঘাতের অনুপাত ২:১ হতে হবে) তাহলে তা Middle Term Factor- এর নিয়মানুসারে উৎপাদক করতে হয় ।
a ${(x)}^{2}$ + bx + c আকারের রাশিকে উৎপাদকে বিশ্লেষণের নিয়ম দেয়া হলো:
প্রথম ও শেষ রাশি গুণ করার পর প্রদত্ত রাশিটিকে এমনভাবে দুটি রাশিতে ভাঙ্গতে হবে যেন ঐ রাশি দুটি যোগ অথবা বিয়োগ করে মাঝখানের রাশিটির সমান হয়। এক্ষেত্রে শেষের রাশিটির আগে + থাকলে ঐ রাশি দুটি যোগ করতে হবে, এবং শেষের রাশিটির আগে - চিহ্ন থাকলে রাশি দুটি বিয়োগ করে মাঝের রাশিটি আনতে হয়। যেমন:

প্রশ্ন নম্বর- ১. ${(x)}^{2}$ - 3x - 10 এর সঠিক উৎপাদক কোন দুটি? [ প্রাক প্রাথমিক সহকারী শিক্ষক-২০১৩]

(ক) (x + 2)(x - 5)
(খ) (x - 2)(x + 5)
(গ) (x + 3)(x - 5)
(ঘ) (x - 3)(x + 5)

উত্তরঃ (ক) (x + 2)(x - 5)

Explanation:
${(x)}^{2}$ - 3x - 10
= ${(x)}^{2}$ - 5x + 2x - 10
= x(x-5)+2(x-5)
= (x-5)(x+2)

প্রশ্ন নম্বর- ২. ${(x)}^{2}$ - 7x + 12 = কত? [ প্রাথমিক সহকারী শিক্ষক-২০১০]

(ক) (x - 4)(x - 3)
(খ) (x + 4)(x + 3)
(গ) (x + 3)(x - 4)
(ঘ) (x + 4)(x - 3)

উত্তরঃ (ক) (x - 4)(x - 3)

Explanation:
${(x)}^{2}$ -7x-12
= ${(x)}^{2}$ -3x-4x+12
= x(x-3)-4(x-3)
=(x-3)(x-4)

প্রশ্ন নম্বর- ৩. ${(m)}^{2}$ +8m+15 এর উৎপাদক--

(ক) (m+5)(m-3)
(খ) (m-5)(m+3)
(গ) (m+5)(m+3)
(ঘ) (m-5)(m-3)

উত্তরঃ (গ) (m+5)(m+3)

Explanation:
${(m)}^{2}$ +8m+15
= ${(m)}^{2}$ +5m+3m+15
= m(m+5)+3(m+5)
= (m+5)(m+3)

প্রশ্ন নম্বর- ৪. 3 ${(x)}^{2}$ - 7x - 6 এর উৎপাদক সমূহ কোনটি? [পররাষ্ট্র মন্ত্রণালয়ের প্রশাসনিক কর্মকর্তা-২০০৪]

(ক) (3x + 2)(x - 3)
(খ) (3x - 2)(x + 3)
(গ) (3x + 2)(x + 3)
(ঘ) (3x - 2)(x - 3)

উত্তরঃ (ক) (3x + 2)(x - 3)

Explanation:
3 ${(x)}^{2}$ -7x-6
= 3 ${(x)}^{2}$ -9x+2x-6
= 3x(x-3)+2(x-3)
= (x-3)(3x+2)
প্রথমে সংখ্যা থাকলে: প্রথম সংখ্যাটি দিয়ে শেষের সংখ্যাটিকে গুণ করে যে গুণফল বের হবে তাকে এমনভাবে দুটি সংখ্যায় ভাঙ্গতে হবে যেন সংখ্যা দুটি যোগ অথবা বিয়োগ করে মাঝের সংখ্যাটির সমান হয়। এক্ষেত্রে, শেষের সংখ্যার আগে + চিহ্ন থাকলে ঐ সংখ্যা দুটি যোগ করতে হবে এবং শেষের সংখ্যাটির আগে – চিহ্ন থাকলে ঐ সংখ্যা দুটি বিয়োগ করতে হবে। উৎপাদকের অংক করার সময় এই কথাটি সিরিয়াসলি মনে রাখতে হবে ।

প্রশ্ন নম্বর- ৫. 2 ${(x)}^{2}$ +x-15 এর উৎপাদক কোনটি?

(ক) (x+3)(2x-5)
(খ) (x-3)(2x-5)
(গ) (x-3)(2x+5)
(ঘ) (x+3)(2x+5)

উত্তরঃ (ক) (x+3)(2x-5)

Explanation:
2 ${(x)}^{2}$ +x-15
= 2 ${(x)}^{2}$ +6x-5x-15
= 2x(x+3)-5(x+3)
=(x+3)(2x-5)
প্রথমে সংখ্যা থাকলে: প্রথম সংখ্যাটি দিয়ে শেষের সংখ্যাটিকে গুণ করে যে গুণফল বের হবে তাকে এমনভাবে দুটি সংখ্যায় ভাঙ্গতে হবে যেন সংখ্যা দুটি যোগ অথবা বিয়োগ করে মাঝের সংখ্যাটির সমান হয়। এক্ষেত্রে, শেষের সংখ্যার আগে + চিহ্ন থাকলে ঐ সংখ্যা দুটি যোগ করতে হবে এবং শেষের সংখ্যাটির আগে – চিহ্ন থাকলে ঐ সংখ্যা দুটি বিয়োগ করতে হবে। উৎপাদকের অংক করার সময় এই কথাটি সিরিয়াসলি মনে রাখতে হবে ।

ফাংশনের দ্বারা উৎপাদক

Key Point: উৎপাদক = 0 ধরে, x এর মান বের করে তা সরাসরি উত্তরে বসাবেন। x এর মান বসানোর পর যদি শূন্য (0) হয় তাহাই সঠিক উত্তর । f(a) = 0 হলে x - a উহার একটি উৎপাদক। x - a = 0, x = a
Key Point: মনে রাখতে হবে ভাগশেষ উৎপাদকের ক্ষেত্রে যে মানের জন্য উক্ত রাশিটির মান শূন্য হবে সেটি হবে উক্ত রাশির একটি উৎপাদক। যেমন, a = - 1 বসালে যদি শূন্য হয় তবে (a + 1) হবে রাশিটির একটি উৎপাদক ।

প্রশ্ন নম্বর- ১. ${(a)}^{3}$ − 21a − 20 এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ করুন।

(ক) (a + 2)
(খ) (a + 1)
(গ) (a − 2 )
(ঘ) (a − 1 )

উত্তরঃ (খ) (a + 1)

Explanation:
সমাধানঃ
এ ধরনের অংক অর্থাৎ প্রথম রাশিতে ঘন থাকলে সাধারণ নিয়মের মতো উৎপাদক করা যাবে না। তখন প্রথমে a এর এমন একটি মান ধরতে হবে যা বসালে সম্পূর্ণ রাশিটির মান শুণ্য হয় ।
এখানে প্রদত্ত রাশিটি ${(a)}^{3}$ − 21a − 20 যাতে a এর যায়গায় − 1 বসালে রাশিটির মান শুণ্য হয়। এখন এই − 1 কে +1 বানিয়ে (a + 1) হলো এই রাশিটির একটি উৎপাদক। তাহলে সমাধান হবে
প্রদত্ত রাশিটি
${(a)}^{3}$ − 21a − 20
= ${(a)}^{3}$ + ${(a)}^{2}$ − ${(a)}^{2}$ − a − 20a − 20
(২য় লাইনটি লিখার আগে ৩য় লাইনে তিনটিতে (a+1) ফাঁকা রেখে ৩ বার লিখুন এবং প্রথম লাইনটিকে মেলানোর জন্য যা যা গুণ করা দরকার তা দিয়ে গুণ করে ২য় লাইনটি আনুন)
= ${(a)}^{2}$ (a + 1) − a (a + 1) − 20(a + 1) (এখানে প্রতিটি রাশিতে (a + 1) আছে তাই (a + 1) কমন নিয়ে যা থাকবে তা লিখতে হবে)
= (a + 1)( ${(a)}^{2}$ − a − 20) ( এখানে আবার ২য় অংশটির মিডিল টার্ম উৎপাদক হবে )
=(a + 1)( ${(a)}^{2}$ − 5a + 4a − 20)
= (a + 1) { a(a − 5) + 4(a − 5)}
= (a + 1)(a − 5)(a + 4)

প্রশ্ন নম্বর- ২. ${(a)}^{3}$ − 7a − 6 এর উৎপাদক কত?

(ক) (a + 1)(a − 2)(a − 3)
(খ) (a + 1)(a + 2)(a − 3)
(গ) (a − 1)(a + 2)(a − 3)
(ঘ) (a − 1)(a − 2)(a − 3)

উত্তরঃ (খ) (a + 1)(a + 2)(a − 3)

Explanation:
${(a)}^{3}$ − 7a − 6
= ${(a)}^{3}$ + ${(a)}^{2}$ - ${(a)}^{2}$ − a − 6a − 6
= ${(a)}^{2}$ (a + 1) − a(a + 1) − 6(a + 1)
= (a + 1) ( ${(a)}^{2}$ − a − 6)
= (a + 1) ( ${(a)}^{2}$ + 2a − 3a − 6)
= (a + 1)(a + 2)(a − 3)

প্রশ্ন নম্বর- ৩. ${(x)}^{3}$ − x − 6 এর উৎপাদকে বিশ্লেষিত রূপ কোনটি?

(ক) $(x + 2) (x^{2} + 2 x + 3)$
(খ) $(x - 2) (x^{2} + 2 x + 3)$
(গ) $(x - 2) (x^{2} - 2 x + 3)$
(ঘ) $(x + 2) (x^{2} - 2 x + 3)$

উত্তরঃ (খ) $(x - 2) (x^{2} + 2 x + 3)$

Explanation:
${(x)}^{3}$ − x − 6
= ${(x)}^{3}$ − ${(2x)}^{2}$ + ${(2x)}^{2}$ − 4x + 3x − 6
= ${(x)}^{2}$ (x − 2) + 2x (x − 2) + 3(x − 2)
= (x − 2) ( ${(x)}^{2}$ + 2x + 3)

প্রশ্ন নম্বর- ৪. $x^{2} + 7 x + p$ যদি x − 5 দ্বারা বিভাজ্য হয় তবে p এর মান কত হবে?

(ক) 30
(খ) − 30
(গ) − 60
(ঘ) 5

উত্তরঃ (গ) - 60

Explanation:
যেহেতু এখানে x − 5 হচ্ছে সম্পূর্ণ রাশিটির একটি উৎপাদক তাহলে x = 5 বসালে সম্পূর্ণ রাশিটির মান ০ হবে ।
সুতরাং x = 5 বসিয়ে পাই,
${(5)}^{2}$ + 7 × 5 + p = 0
বা, 25 + 35 + p = 0
বা, 60 + p = 0
সুতরাং p = − 60

বহুপদী উৎপাদক

যে সব বীজগাণিতিক রাশির সর্বোচ্চ ঘাত ৩ বা তার চেয়ে বেশি সে সকল রাশিকে বহুপদী রাশি বলে। এ সকল রাশির উৎপাদক গুলোকে বহুপদী উৎপাদক বলে।
[Note: সর্বোচ্চ ঘাত ২টি হলে দ্বিপদী রাশি বলে যা এই অধ্যায়ের শুরুতে আলোচনা করা হয়েছে।]
এক্ষেত্রে উৎপাদক বের করার সহজ নিয়ম হলো ফাংশনের মাধ্যমে উৎপাদক বের করা। তবে এমসিকিউ পরীক্ষার জন্য উত্তরের অপশন থেকে সমাধান করা খুব সহজ। নিচের সমাধান করা প্রশ্নগুলো দেখুন ।

প্রশ্ন নম্বর- ১. কোনটি ${(2x)}^{4}$ − 5 ${(x)}^{3}$ + ${(6x)}^{2}$ − 5x + 2 এর একটি উৎপাদক?

(ক) x + 1
(খ) x − 1
(গ) x + 2
(ঘ) x − 2

উত্তরঃ (খ) x − 1

Explanation:
ফাংশনের সাহায্যে সমাধানঃ
${(2x)}^{4}$ − 5 ${(x)}^{3}$ + ${(6x)}^{2}$ − 5x + 2
= 2 ${(x)}^{4}$ − 2 ${(x)}^{3}$ − 3 ${(x)}^{3}$ + 3 ${(x)}^{2}$ + 3 ${(x)}^{2}$ − 3x − 2x + 2
= 2 ${(x)}^{3}$ (x − 1) − 3x² (x − 1 ) + 3x (x − 1) − 2 (x − 1)
= (x − 1) (2 ${(x)}^{3}$ − 3 ${(x)}^{2}$ + 3x − 2)
= (x − 1 ) ( 2 ${(x)}^{3}$ − 2 ${(x)}^{2}$ − ${(x)}^{2}$ + x + 2x − 2)
= (x − 1) { 2 ${(x)}^{2}$ (x − 1) − x (x − 1 ) + 2 (x − 1 ) }
= (x − 1) (x − 1) (2 ${(x)}^{2}$ − x + 2)

অপশনের সাহায্যে সমাধানঃ
প্রথম অপশন দেওয়া আছে x + 1 . অর্থাৎ x এর মান -1 বসিয়ে যদি সম্পূর্ণ রাশিটির মান শূন্য হয় তাহলে x + 1 হবে রাশিটির একটি উৎপাদক। এখানে x এর মান 1 বসালে সম্পূর্ণ রাশিটির মান শূন্য হয় । যেমন:
${(2x)}^{4}$ − 5 ${(x)}^{3}$ + ${(6x)}^{2}$ − 5x + 2
= 2. ${(1)}^{4}$ − 5. ${(1)}^{3}$ + 6. ${(1)}^{2}$ − 5.1 + 2
= 2 − 5 + 6 − 5 + 2
= 10 − 10
= 0
তাই x − 1 হবে রাশিটির একটি উৎপাদক। সুতরাং সঠিক উত্তর অপশন (খ) ।
এমসিকিউ পরীক্ষায় জন্য অপশন থেকে এভাবে সবগুলো চেষ্টা করতে হবে।

প্রশ্ন নম্বর- ২. 3 ${(x)}^{3}$ + 2 ${(x)}^{2}$ − 21x − 20 রাশিটির একটি উৎপাদক হচ্ছে-

(ক) x + 2
(খ) x − 2
(গ) x + 1
(ঘ) x − 1

উত্তরঃ (গ) x+1

Explanation:
ফাংশনের সাহায্যে সমাধানঃ
3 ${(x)}^{3}$ + 2 ${(x)}^{2}$ − 21x − 20
= 3 ${(x)}^{3}$ + 3 ${(x)}^{2}$ − ${(x)}^{2}$ − x − 20x − 20
= 3 ${(x)}^{2}$ (x + 1 ) − x (x + 1) − 20 (x + 1)
= (x + 1) (3 ${(x)}^{2}$ − x − 20 )

অপশনের সাহায্যে সমাধানঃ
প্রথম অপশন দেওয়া আছে x + 2 . অর্থাৎ x এর মান -2 বসিয়ে যদি সম্পূর্ণ রাশিটির মান শূন্য হয় তাহলে x + 2 হবে রাশিটির একটি উৎপাদক। কিন্তু এখানে x এর মান - 1 বসালে সম্পূর্ণ রাশিটির মান শূন্য হয় । যেমন:
3 ${(x)}^{3}$ + 2 ${(x)}^{2}$ − 21x − 20
= 3. ${((− 1))}^{3}$ + 2. ${(( − 1 ))}^{2}$ − 21 × ( − 1 ) − 20
= 3×( − 1 ) + 2.1 + 21 − 20
= − 3 + 2 + 21 − 20
= 23 − 23
= 0
তাই x + 1 হবে রাশিটির একটি উৎপাদক। সুতরাং সঠিক উত্তর অপশন (গ) ।
এমসিকিউ পরীক্ষায় জন্য অপশন থেকে এভাবে সবগুলো চেষ্টা করতে হবে।

প্রশ্ন নম্বর- ৩. ${(x)}^{3}$ − 6 ${(x)}^{2}$ + 11x − 6 এর উৎপাদক কোনটি?

(ক) (x + 1 ) ( x − 2) (x − 3)
(খ) (x − 1 ) ( x − 2) (x + 3)
(গ) (x − 1 ) ( x + 2) (x − 3)
(ঘ) (x − 1 ) ( x − 2) (x − 3)

উত্তরঃ (ঘ) (x − 1 ) ( x − 2) (x − 3)

Explanation:
${(x)}^{3}$ − 6 ${(x)}^{2}$ + 11x − 6
= ${(x)}^{3}$ − ${(x)}^{2}$ − 5 ${(x)}^{2}$ + 5x + 6x − 6
= ${(x)}^{2}$ (x − 1) − 5x (x − 1 ) + 6 (x − 1)
= (x − 1) ( ${(x)}^{2}$ − 5x + 6)
= (x − 1) ( ${(x)}^{2}$ − 3x − 2x + 6)
= (x − 1 ) { x ( x − 3) − 2 (x − 3)}
= (x − 1 ) ( x − 3) (x − 2)
= (x − 1 ) ( x − 2) (x − 3)

প্রশ্ন নম্বর- ৪. 4 ${(x)}^{4}$ − 25 ${(x)}^{2}$ + 36 = কত?

(ক) (x−2) (x−2) (2x+3) (2x−3)
(খ) (x+2) (x+2) (2x+3) (2x−3)
(গ) (x+2) (x−2) (2x−3) (2x−3)
(ঘ) (x+2) (x−2) (2x+3) (2x−3)

উত্তরঃ (ঘ) (x + 2) (x − 2) (2x + 3) (2x − 3)

Explanation:
4 ${(x)}^{4}$ − 25 ${(x)}^{2}$ + 36
= 4 ${(x)}^{4}$ − 16 ${(x)}^{2}$ − 9 ${(x)}^{2}$ + 36
= 4 ${(x)}^{2}$ ( ${(x)}^{2}$ − 4) − 9 ( ${(x)}^{2}$ − 4)
= ( ${(x)}^{2}$ − 4) (4 ${(x)}^{2}$ − 9) 2
= ( ${(x)}^{2}$ − ${(2)}^{2}$ ) { ${((2x))}^{2}$ − ${(3)}^{2}$ }
= (x + 2) (x − 2) (2x + 3) (2x − 3)

প্রশ্ন নম্বর- ৫. উৎপাদকে বিশ্লেষণ করুন: ${(x)}^{2}$ − 2ax + (a + b) (a − b)

(ক) ( x − a − b ) ( x + a + b )
(খ) ( x + a − b ) ( x − a + b )
(গ) ( x − a − b ) ( x − a − b )
(ঘ) ( x − a − b ) ( x − a + b )

উত্তরঃ (ঘ) ( x − a − b ) ( x − a + b )

Explanation:
এই ধরনের উৎপাদকের অংকগুলো উপরের সাধারণ নিয়মেই করতে হবে। শুধু প্রথমে একটু অতিরিক্ত কাজ করতে হবে। এই অংকের মূল পয়েন্ট হল 2ax ।
${(x)}^{2}$ − 2ax + (a + b) (a − b)
= ${(x)}^{2}$ − 2ax + ${(a)}^{2}$ − ${(b)}^{2}$
= ${(( x − a))}^{2}$ − ${(b)}^{2}$
= ( x − a − b ) ( x − a + b )