সূচক কী ? সংজ্ঞা, সূত্রাবলী এবং সূচক এর অংক এ টু জেড

সূচক হল একটি গণিতশাস্ত্রীয় পরিসংখ্যান পদক্ষেপ, যা একটি সংখ্যার উন্নয়ন বা ঘাত প্রকাশ করে। সূচকের সাহায্যে একটি বড় সংখ্যাকে ছোট বা সহজে প্রকাশ করা যায় । এই সূচক তো কত ধরনেরই না হয়। এই ধরুন শেয়ার বাজারে সূচকের কথা শুনে থাকবে । তবে সবচেয়ে বেশি শুনে থাকি আমরা বীজগণিতের সূচক নির্ণয় বা সূচকের মান নির্ণয়ের অংকগুলো নিয়ে । অনেকেই হয়তো সূচক অধ্যায় পড়ে এসেছেন ঠিকই কিন্তু আদৌ জানেন না সূচক জিনিসটা আসলে কি ? আজকে আমরা সূচক অধ্যায়ের একটা পোস্টমর্টেম করবো । যা থেকে সূচক নিয়ে আর কোন কনফিউশন বা ভয় থাকবে না । বিগত সালের প্রশ্ন সমাধান করতে করতে আজ আমরা সূচকের আদ্যোপান্ত জানার চেষ্টা করব । যা দিয়ে বিভিন্ন প্রতিযোগিতামূলক পরীক্ষার প্রস্তুতি হয়ে যাবে চূড়ান্তভাবে। চলুন তাহলে শুরু করা যাক আজকের টিউটরিয়ালটি।

প্রাথমিক আলোচনা
সূচক কাকে বলে?
প্রয়োজনীয় সূত্রাবলি
সাধারণ সূচকের প্রশ্ন
সূচকের মান নির্ণয়
সূচকের সমাধান
গুরুত্বপূর্ণ কিছু প্রশ্ন ও সমাধান

প্রাথমিক আলোচনা

সূচক : সূচক শব্দের অর্থ হলো শক্তি। n সংখ্যক a- এর ক্রমিক গুণফল
= ${(a)}^{n}$ [ এখানে, a কে ভিত্তি বলা হয়। ]
n কে a এর (ভিত্তির) সূচক বলা হয় বা শক্তি বলা হয় ।
${(a)}^{n}$ কে a এর n তম ঘাত বা শক্তি বা ‘power' বলা হয়।

সূচক কাকে বলে?

সূচক হলো শক্তি বা ঘাতের একটি মান । একে ইংরেজি ভাষায় index বলা হয় । একে পাওয়ার ও বলা হয়ে থাকে । সহজ ভাষায় বলতে গেলে কোন একটি সংখ্যার উপরে ডানদিকে একটি ছোট সংখ্যা থাকে এটি হল ঐ মূল সংখ্যার সূচক । আবার বলা যায়, যখন কোনো একটি সংখ্যা অন্য একটি সংখ্যার সাথে পরিবর্তনশীল হিসেবে উত্থিত হয়, তখন তাকে ঐ সংখ্যার সূচক বলে। আর মূল সংখ্যাটিকে বলা হয় সূচকীয় রাশি । উদাহরণস্বরুপ- ${(a)}^{n}$ এখানে, a কে ভিত্তি বা সূচকীয় রাশি বলা হয়। আর n কে বলা হয় সূচক বা শক্তি বা ঘাত অথবা পাওয়ার । এটি সংখ্যার সাহায্যে দেখালেও এমনি হবে যেমন- ${(2)}^{3}$ এখানে 2 এর সূচক হল 3 অর্থাৎ 2 এর মান 3 ঘাত বিশিষ্ট বা 3 বার ব্যবহার করতে হবে । আর 2 হল ভিত্তি বা সূচকীয় রাশি ।

প্রয়োজনীয় সূত্রাবলি

১. ${(a)}^{n}$ = a×a×a×...........[ n সংখ্যক a ]
২. ${((a^{m}))}^{n} = a^{mn}$ [ কোন সংখ্যার উপর দুইবার বা তার থেকে বেশি পাওয়ার থাকলে তা গুণ হয় ]
৩. $a^{m} . a^{n} = a^{m+n}$
[ Note: ভিত্তি একই হলে এবং গুণ থাকলে পাওয়ার গুলো যোগ করতে হয় আবার ভাগ থাকলে পাওয়ার গুলো বিয়োগ করতে হয়। ]
৪. $a^{m} \div a^{n}$ = $\frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m - n}$
৫. ${(a)}^{0} = 1$
[ যে কোন সংখ্যার উপর পাওয়ার 0 হলে তার মান 1 হয় । যেখানে a ≠ 0 ]
৬. $\sqrt{a} = a^{\frac{1}{2}}$
৭. $\sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}}$
৮. $\sqrt[3]{a} = a^{\frac{1}{3}}$
৯. $a^{- n} = \frac{1}{a^{n}}$
[ Note: কোন পাওয়ার মাইনাস থাকলে তা ভগ্নাংশ আকারে লিখতে হয় এবং মাইনাস তুলে লব 1 এর নিচে পুরো সংখ্যাটি পাওয়ার সহ লিখতে হয় ]
১০. $(a b)^{m} = a^{m} . b^{m}$
১১. ${(\frac{a}{b})}^{m} = \frac{a^{m}}{b^{m}}$
১২. ${(\frac{m}{n})}^{- p} = {(\frac{n}{m})}^{p}$
[ কোন ভগ্নাংশের উপরের পাওয়ার টি মাইনাস হলে ঐ ভগ্নাংশটি উল্টে যায় অর্থাৎ হরের জায়গায় লব এবং লবের জায়গায় হর বসে । ]
১৩. $(a^{x} = a^{y})$ হলে, x = y [ অর্থাৎ দু পাশের ভিত্তি মিলে গেলে দুটো ভিত্তিই তুলে দিতে হয় ]
১৪. $(a^{x} = b^{x})$ হলে, a = b [ অর্থাৎ দু পাশের power মিলে গেলে দুটো পাওয়ারই বাদ দিতে হয় ]

সাধারণ সূচকের প্রশ্ন

প্রশ্ন নম্বর- ১. ${(a)}^{0}$ = কত? [ বিএসটিআই ল্যাব সহকারী পরীক্ষা-১০ / ৩১ তম বিসিএস, মানসিক দক্ষতা ]

(ক) 1

(খ) 0

(গ) ‍a

(ঘ) 2

উত্তরঃ (ক) 1

সমাধান:
যে কোন সংখ্যার উপর পাওয়ার ০ হলে তার মান 1 হয়। সংখ্যাটি যত বড়ই হোক না কেন ।

প্রশ্ন নম্বর- ২. কোন শর্তে ${(a)}^{0} = 1 ?$ [ (RAKUB officer-2015) + (RAKUB (Cashier)-2017]

(ক) a = 0
(খ) a ≠ 0
(গ) a > 0
(ঘ) a ≠ 1

উত্তরঃ (খ) a ≠ 0

সমাধান:
এখানে, ${(a)}^{0} = 1$ [ যেখানে a ≠ 0 ]

প্রশ্ন নম্বর- ৩. ${(7)}^{0}$ = কত? [ আইন, বিচার ও সংসদ মন্ত্রণালয়-১২ ]

(ক) 1
(খ) 0
(গ) ‍a
(ঘ) 2

উত্তরঃ (ক) 1

প্রশ্ন নম্বর- ৪. a এবং b দুটি ধনাত্বক সংখ্যা হলে $\frac{1}{5} {(3ab)}^{0}$ এর মান কত? [ RAKUB (Supervisor)-2017]

(ক) ${(5)}^{- 1}$
(খ) $\frac{1}{5} ab$
(গ) ${((\frac{1}{5} 3ab))}^{0}$
(ঘ) 0

উত্তরঃ (ক) ${(5)}^{- 1}$

সমাধান:
$\frac{1}{5} {(3ab)}^{0} = \frac{1}{5} . 1 = 5^{- 1}$

প্রশ্ন নম্বর- ৫. $(8^{2} \times 8^{0})$ এর মান কত? [ পরিবার কল্যাণ পরিদর্শক নিয়োগ পরীক্ষা : ১০ ]

(ক) 16
(খ) 322
(গ) 512
(ঘ) 64

উত্তরঃ (ঘ) 64

সমাধান:
$(8^{2} \times 8^{0})$
= 64×1
= 64

প্রশ্ন নম্বর- ৬. ${((x^{2}))}^{3}$ কে ${(x)}^{3}$ দ্বারা গুণ করলে কত হবে? [ তুলা উন্নয়ন বোর্ডের কর্মকতাঃ ৯৭ ]

(ক) ${(x)}^{6}$
(খ) ${(x)}^{3}$
(গ) ${(x)}^{5}$
(ঘ) ${(x)}^{9}$

উত্তরঃ (ঘ) ${(x)}^{9}$

সমাধান:
${((x^{2}))}^{3} \times x^{3}$
= $x^{6} \times x^{3}$
= ${(x)}^{9}$
[ Note: ${((x^{2}))}^{3} = x^{6}$ কিন্তু $x^{2} \times x^{3} = x^{5}$ অর্থাৎ পাওয়ারের উপর পাওয়ার থাকলে দুই পাওয়ারই গুণ করতে হয়, কিন্তু দুটি পাওয়ার সংখ্যা পাশাপাশি বসিয়ে গুণ করার সময় পাওয়ারগুলো যোগ করতে হয়। ]

প্রশ্ন নম্বর- ৭. $a^{m} . a^{n} = a^{m+n}$ কখন হবে? [ ১৪তম বিসিএস ]

(ক) ধনাত্মক হলে
(খ) ঋণাত্মক হলে
(গ) কখনোই না
(ঘ) ভাগ করলে

উত্তরঃ (ক) ধনাত্মক হলে

প্রশ্ন নম্বর- ৮. $a^{m} \times a^{n} = ?$ [ জেলা নির্বাচন অফিসার পরীক্ষা-০৪ ]

(ক) ${(a)}^{2m}$
(খ) ${(a)}^{m2}$
(গ) ${(a)}^{2n}$
(ঘ) ${(a)}^{m + n}$

উত্তরঃ (ঘ) ${(a)}^{m + n}$

সমাধান:
ভিত্তি একই হলে এবং গুণ থাকলে পাওয়ার গুলো যোগ করতে হয় আবার ভাগ থাকলে পাওয়ার গুলো বিয়োগ করতে হয়।

প্রশ্ন নম্বর- ৯. $a^{m} \times a^{n} \times a^{- p} = কত?$ [ তুলা উন্নয়ন কর্মকর্তা পরীক্ষা-৯৭ ]

(ক) ${(a)}^{m + n - p}$
(খ) ${(a)}^{m - p}$
(গ) ${(a)}^{m + n}$
(ঘ) ${(a)}^{n - p}$

উত্তরঃ (ক) ${(a)}^{m + n - p}$

সমাধান:
$a^{m} \times a^{n} \times a^{- p}$
= ${(a)}^{m + n ( - p )}$
= ${(a)}^{m + n - p}$

প্রশ্ন নম্বর- ১০. $a^{5} \times a \times a^{- 6} = কত?$ [ কর্মসংস্থান ব্যাংক অ্যসিসট্যান্ট অফিসার:০১ ]

(ক) 0
(খ) 1
(গ) 3
(ঘ) 2

উত্তরঃ (খ) 1

সমাধান:
$a^{5} \times a \times a^{- 6}$
= ${(a)}^{5 + 1 + ( - 6 )}$
= ${(a)}^{6 - 6}$
= ${(a)}^{0}$
= 1

সূচকের মান নির্ণয়

প্রশ্ন নম্বর- ১. ${((√3))}^{6}$ = কত? [ ৮ম সহকারী শিক্ষক নিবন্ধন পরীক্ষা-১২ ]

(ক) 25
(খ) 26
(গ) 28
(ঘ) 27

উত্তরঃ (ঘ) 27

সমাধান:
${((√3))}^{6}$
= ${((√3))}^{2 × 3}$
= ${(3)}^{3}$
= 27

প্রশ্ন নম্বর- ২. ${((√3×√5))}^{4}$ এর মান কত? [ (২৬তম বিসিএস) +(একটি বাড়ি একটি খামার প্রকল্পের (ফিল্ড সুপার:) নিয়োগ-২০১৮]

(ক) 30
(খ) 60
(গ) 225
(ঘ) 230

উত্তরঃ (গ) 225

সমাধান:
${((√3×√5))}^{4}$
= $({(√3)}^{4} \times {(√5)}^{4})$
= ${({{(√3)}^{2}})}^{2} \times {({{(√5)}^{2}})}^{2}$
= $(3^{2} \times 5^{2})$
= 9×25
= 225

প্রশ্ন নম্বর- ৩. ${((1000))}^{\frac{x}{3}} = 10$ হলে , x এর মান কত? [RAKUB ( Cashier) - 2017]

(ক) 0
(খ) 1
(গ) 3
(ঘ) 2

উত্তরঃ (খ) 1

সমাধান:
${((1000))}^{\frac{x}{3}} = 10$ [ যেহেতু ডান পাশে 10 আছে সেহেতু বাম পাশের 1000 কেও 10 ভিত্তি বানাতে হবে ]
বা, $((^{10^{3}) \frac{x}{3}} = 10)$
বা, ${((10))}^{\frac{3x}{3}} = 10$ [ একটি ভিত্তির উপর দুটি পাওয়ার থাকলে দুটোই গুণ করতে হয় ]
বা, ${(10)}^{x} = 10^{1}$
বা, x = 1 [ দু পাশেই 10 আছে তাই, দুটি 10 ই বাদ দেয়া যায় ]

প্রশ্ন নম্বর- ৪. $\sqrt[3]{\sqrt[3]{a^{3}}}$ এর মান হবে- [৩৩তম বিসিএস]

(ক) $a^{\frac{1}{3}}$
(খ) $a^{\frac{1}{9}}$
(গ) $a^{\frac{1}{27}}$
(ঘ) $a^{3}$

উত্তরঃ (ক) $a^{\frac{1}{3}}$

সমাধান:
এখানে , $\sqrt[3]{\sqrt[3]{a^{3}}} = \sqrt[3]{{(a^{3 ×})}^{\frac{1}{3}}} = \sqrt[3]{a} = a^{\frac{1}{3}}$ [একটা কিউব রুট এবং কিউব কেটে গেলেও আরেকটা থাকে ]

প্রশ্ন নম্বর- ৫. $\sqrt[4]{(x^{3})} = 2$ হলে, ${(x)}^{3}$ এর মান কত? [RAKUB ( Cashier) - 2017]

(ক) 16
(খ) 32
(গ) 64
(ঘ) 81

উত্তরঃ (ক) 16

সমাধান:
$\sqrt[4]{(x^{3})} = 2$
বা, $(^{\sqrt[4]{(x^{3})}) 4} = 2^{4}$
বা, ${(x)}^{3} = 16$

প্রশ্ন নম্বর- ৬. $2^{x} + 2^{x} + 2^{x} + 2^{x}$ এর মান কত? [RAKUB ( Cashier) - 2017]

(ক) ${(2)}^{x + 3}$
(খ) ${(2)}^{x}$
(গ) 4
(ঘ) ${(2)}^{x + 2}$

উত্তরঃ (ঘ) ${(2)}^{x + 2}$

সমাধান:
উপরের অংকটি করার আগে নিচের অংকটি করুন।
$a^{2} + a^{2} + a^{2} = ?$ উত্তর: ${(3a)}^{2}$
অর্থাৎ যে কোন একজাতীয় রাশি যোগ করার সময় যতটি রাশি তত লিখে ঐ রাশিটি লিখতে হয়।
হুবহু এই নিয়মেই উপরের অংকটি করা যায়। যেমন:
$2^{x} + 2^{x} + 2^{x} + 2^{x}$ [ এখানে সবগুলো রাশি একই তাই যোগ করতে হবে, আবার এখানে 4 টি ${(2)}^{x}$ আছে ]
= ${(4.2)}^{x}$
= $(2^{2} . 2^{x})$ [ দুটো সংখ্যারই ভিত্তি মেলানোর জন্য 4 কে ${(2)}^{2}$ লিখা হয়েছে ]
= ${(2)}^{2 + x}$ [ ভিত্তি একই হওয়ায় 2 কমন নেয়া হয়েছে এবং গুণ অবস্থায় থাকার কারণে পাওয়ার গুলো যোগ করা হয়েছে ]
= ${(2)}^{x + 2}$

প্রশ্ন নম্বর- ৭. $3^{x} + 3^{x} + 3^{x} = কত ?$ [ BKB - (SO)-2017 & RAKUB (Cashier)-2017 ]

(ক)

{(9)}^{x}

(খ)

{(3)}^{x + 1}

(গ)

{(9)}^{3x}

(ঘ)

{(x)}^{3}

উত্তরঃ (খ) ${(3)}^{x + 1}$

সমাধান:
$3^{x} + 3^{x} + 3^{x}$
= ${(3 . 3)}^{x}$
= ${(3)}^{1 + x}$
= ${(3)}^{x + 1}$

সূচকের সমাধান

এই পদ্ধতির অংকগুলোতে একটি চলকের মাধ্যমে কোন রাশির মান নির্ণয় করতে হয় । যেমন:

প্রশ্ন নম্বর- ১. $(x^{4} = 81)$ এবং x ধনাত্বক হলে x এর মান কত? [ যুব উন্নয়ন অধিদপ্তরের সহ: পরিচালক:৯৪ ]

(ক) 2
(খ) 3
(গ) 4
(ঘ) 5

উত্তরঃ (খ) 3

সমাধান:
$(x^{4} = 81)$ [ ভিত্তি অথবা পাওয়ার মিলাতে হবে। ]
বা, $(x^{4} = 3^{4})$ [ (3×3×3×3) (দু পাশের ভিত্তি মেলানো সম্ভব নয় তাই পাওয়ার মেলানোর জন্য এভাবে ভাঙ্গাতে হবে) ]
বা, x = 3 [ দু পাশের পাওয়ার মিলে যাওয়ায় দুটি পাওয়ারই উঠে দেয়া যায় ]

প্রশ্ন নম্বর- ২. $(25^{x} = 5)$ হলে x এর মান কত ? [ IBBL (ATO)-2017 ]

(ক) $\frac{1}{2}$
(খ) $\frac{1}{4}$
(গ) $\frac{1}{3}$
(ঘ) 1300

উত্তরঃ (ক) $\frac{1}{2}$

সমাধান:
$(25^{x} = 5)$
বা, $(5^{2x} = 5^{1})$
বা, 2x = 1
বা, x = $\frac{1}{2}$

প্রশ্ন নম্বর- ৩. $(2^{2x + 2} = 8^{x + 3})$ হলে x = কত ? [ IBBL (ATO)-2017]

(ক) 7
(খ) -7
(গ) 5
(ঘ) 3

উত্তরঃ (খ) -7

সমাধান:
$(2^{2x + 2} = 8^{x + 3})$
বা, $(2^{2x + 2} = 2^{3 ( x + 3 )})$
বা, $(2^{2x + 2} = 2^{3x + 9})$
বা, 2x + 2 = 3x + 9
বা, 3x - 2x = 2 - 9
বা, x = - 7

প্রশ্ন নম্বর- ৪. যদি $({(25)}^{2x + 3} = 5^{3x + 6})$ হয়, তবে x = কত? [৩৬তম বিসিএস]

(ক) 0
(খ) 1
(গ) - 1
(ঘ) 4

উত্তরঃ (ক) 0

সমাধান:
$({(25)}^{2x + 3} = 5^{3x + 6})$
বা, ${((5^{2}))}^{2x + 3} = 5^{3x + 6}$
বা, $(5^{4x + 6} = 5^{3x + 6})$
বা, 4x + 6 = 3x + 6
বা, 4x - 3x = 6 - 6
বা, x = 0

প্রশ্ন নম্বর- ৫. $125 {((√5))}^{2x} = 1$ হলে x এর মান কত? [৩৯ - তম বিসিএস- (বিশেষ)]

(ক) 3
(খ) -3
(গ) 7
(ঘ) 9

উত্তরঃ (খ) -3

সমাধান:
$125 {((√5))}^{2x} = 1$
বা, $(5^{3} . 5^{\frac{2x}{2}} = 1)$
বা, $(5^{3} . 5^{x} = 1)$
বা, $(5^{3 + x} = 5^{0})$
বা, 3+x = 0
.:. x = - 3

প্রশ্ন নম্বর- ৬. $(3^{x + 2} = 81)$ হলে x = কত? [ উপজেলা সহকারী শিক্ষা অফিসার-১০ ]

(ক) 2
(খ) 3
(গ) 4
(ঘ) 5

উত্তরঃ (ক) 2

সমাধান:
$(3^{x + 2} = 81)$
বা, $(3^{x + 2} = 3^{4})$
বা, x + 2 = 4
বা, x = 4 - 2
বা, x = 2

এই অধ্যায়ের সব থেকে গুরুত্বপূর্ণ কিছু প্রশ্ন ও সমাধান

প্রশ্ন নম্বর- ১. ${(x)}^{- 3}$ – 0.001 = 0 হলে, ${(x)}^{2}$ -এর মান- [ 35তম বিসিএস]

(ক) 100
(খ) 10
(গ) $\frac{1}{10}$
(ঘ) $\frac{1}{100}$

উত্তরঃ (ক) 100

সমাধান:
${(x)}^{- 3}$ – 0.001 = 0
বা, $\frac{1}{{(x)}^{3}}$ – 0.001 = 0
বা, $\frac{1}{{(x)}^{3}} = \frac{1}{1000}$
বা, ${(x)}^{3} = 1000$ ( আড়াআড়ি গুণ করে)
বা, ${(x)}^{3} = {(10)}^{3}$ (দুপাশে power সমান করার জন্য )
বা, x = 10
এই 10 ই উত্তর না, কেননা 10 হল x এর মান। কিন্তু প্রশ্নে ${(x)}^{2}$ এর মান বের করতে বলা হয়েছে। .:. x = 10 হলে ${(x)}^{2}$ = 100 |

প্রশ্ন নম্বর- ২. $(2^{x} + 2^{1 - x}) = 3$ হলে x = কত? [৩৮তম বিসিএস প্রিলি:]

(ক) (1 , 2)
(খ) (0 , 2)
(গ) (1 , 3)
(ঘ) (0 , 1)

উত্তরঃ (ঘ) (0 , 1)

সমাধান:
$(2^{x} + 2^{1 - x}) = 3$
বা, $(2^{x} + \frac{2^{1}}{2^{x}}) = 3$
বা, $p + \frac{2}{p} = 3$ [ ${(2)}^{x}$ = p ধরে ]
বা , $\frac{(p^{2} + 2)}{p} = 3$
বা , $(p^{2} + 2) = 3p$
বা , $p^{2} - 3p + 2 = 0$
বা , $p^{2} - 2p - p + 2 = 0$
বা, p ( p - 2 ) - 1 ( p - 2 ) = 0
বা, ( p - 2 ) ( p - 1 ) = 0
হয় ( p - 2 ) = 0 অথবা ( p - 1 ) = 0
বা, p = 2
বা, $2^{x} = 2^{1}$
বা, x = 1
আবার , p = 1
বা, $2^{x} = 2^{0}$
বা, x = 0
সুতরাং x = (0,1)

প্রশ্ন নম্বর- ৩. $(5^{3x - 7} = 3^{3x - 7})$ হলে x = কত ? [ ৩৪তম বিসিএস ]

(ক) $\frac{5}{8}$
(খ) $\frac{7}{3}$
(গ) $\frac{6}{5}$
(ঘ) $\frac{8}{11}$

উত্তরঃ (খ) $\frac{7}{3}$

সমাধান:
$(5^{3x - 7} = 3^{3x - 7})$
বা, $\frac{5^{3x}}{5^{7}} = \frac{3^{3x}}{3^{7}}$
বা, $\frac{5^{3x}}{3^{3x}} = \frac{5^{7}}{3^{7}}$ [ আড়াআড়ি পরিবর্তন করে ]
বা, ${((\frac{5}{3}))}^{3x} = {((\frac{5}{3}))}^{7}$
বা, 3x = 7
বা, x = $\frac{7}{3}$

প্রশ্ন নম্বর- ৪. $\frac{(5^{n + 2} + 35 \times 5^{n - 1})}{(4 \times 5^{n})}$ = কত ? [ ৩৪তম বিসিএস ]

(ক) 4
(খ) 8
(গ) 12
(ঘ) 16

উত্তরঃ (খ) 8

সমাধান:
$\frac{(5^{n + 2} + 35 \times 5^{n - 1})}{(4 \times 5^{n})}$
= $\frac{(5^{n} \times 5^{2} + 7 \times 5 \times 5^{n - 1})}{(4 \times 5^{n})}$
= $\frac{(5^{n} \times 25 + 7 \times 5^{1 + n - 1})}{(4 \times 5^{n})}$
= $\frac{(5^{n} \times 25 + 7 \times 5^{n})}{(4 \times 5^{n})}$
= $\frac{(5^{n} (25 + 7))}{(4 \times 5^{n})}$
= $\frac{32}{4}$
= 8

প্রশ্ন নম্বর- ৫. $\frac{({5.3}^{n} - {27.3}^{n - 2})}{(3^{n} - 3^{n - 1})}$ এর মান -- [ বিভিন্ন মন্ত্রণালয়ের ব্যক্তিগত কর্মকর্তা নিয়োগ: ২০১৮ ]

(ক) 0
(খ) 1
(গ) 2
(ঘ) 3

উত্তরঃ (ঘ) 3

সমাধান:
$\frac{({5.3}^{n} - {27.3}^{n - 2})}{(3^{n} - 3^{n - 1})}$
= $\frac{({5.3}^{n} - {27.3}^{n} {.3}^{- 2})}{(3^{n} - 3^{n} {.3}^{- 1})}$
= $\frac{({5.3}^{n} - {27.3}^{n} \frac{.1}{3^{2}})}{(3^{n} - 3^{n .} \frac{1}{3})}$
= $\frac{({5.3}^{n} - {27.3}^{n} . \frac{1}{9})}{(3^{n} (1 - \frac{1}{3}))}$
= $\frac{({5.3}^{n} - 3 . 3^{n})}{(3^{n} (\frac{3 - 1}{3}))}$
= $\frac{(3^{n}, ( 5 - 3 ))}{(3^{n} . \frac{2}{3})}$
= $\frac{2}{\frac{2}{3}}$
= $2 \times \frac{3}{2}$
= 3

প্রশ্ন নম্বর- ৬. $3 . 2^{n} - 4 . 2^{n - 2}$ = কত ? [ ৮ম প্রভাষক নিবন্ধন পরীক্ষা: ১২ ]

(ক) ${(2)}^{n}$
(খ) ${(2)}^{n + 1}$
(গ) ${(2)}^{n - 1}$
(ঘ) ${(2)}^{3}$

উত্তরঃ (খ) ${(2)}^{n + 1}$

সমাধান:
$3 . 2^{n} - 4 . 2^{n - 2}$
= $3 . 2^{n} - 2^{2} . 2^{n - 2}$
= $3 . 2^{n} - 2^{2 + n - 2}$
= $3 . 2^{n} - 2^{n}$
= $2^{n} (3 - 1 )$
= $2^{n} . 2^{1}$
= $2^{n + 1}$

প্রশ্ন নম্বর- ৭. $12 . 27^{x} = 2^{2} . 9^{x + 4}$ হলে x এর মান কত? [ কারা তত্ত্বাবধায়ক : ১০ ]

(ক) 4
(খ) 8
(গ) 7
(ঘ) 16

উত্তরঃ (গ) 7

সমাধান:
$12 . 27^{x} = 2^{2} . 9^{x + 4}$
বা, $4 \times 3 \times {((3^{3}))}^{x} = 4 \times {((3^{2}))}^{x + 4}$
বা, $4 \times 3 \times (3^{3x}) = 4 \times 3^{2x + 8}$
বা, $4 \times (3^{1 + 3x}) = 4 \times 3^{2x + 8}$
বা, 1 + 3x = 2x + 8
বা, 3x - 2x = 8 - 1
বা, x = 7

প্রশ্ন নম্বর- ৮. $({3×27}^{x} = 9^{x + 4})$ হলে x = কত ? [ পরিবার কল্যাণ পরিদর্শিকা: ১০ ]

(ক) 4
(খ) 8
(গ) 7
(ঘ) 16