সূচক কী ? সংজ্ঞা, সূত্রাবলী এবং সূচক এর অংক এ টু জেড

সূচক হল একটি গণিতশাস্ত্রীয় পরিসংখ্যান পদক্ষেপ, যা একটি সংখ্যার উন্নয়ন বা ঘাত প্রকাশ করে। সূচকের সাহায্যে একটি বড় সংখ্যাকে ছোট বা সহজে প্রকাশ করা যায় । এই সূচক তো কত ধরনেরই না হয়। এই ধরুন শেয়ার বাজারে সূচকের কথা শুনে থাকবে । তবে সবচেয়ে বেশি শুনে থাকি আমরা বীজগণিতের সূচক নির্ণয় বা সূচকের মান নির্ণয়ের অংকগুলো নিয়ে । অনেকেই হয়তো সূচক অধ্যায় পড়ে এসেছেন ঠিকই কিন্তু আদৌ জানেন না সূচক জিনিসটা আসলে কি ? আজকে আমরা সূচক অধ্যায়ের একটা পোস্টমর্টেম করবো । যা থেকে সূচক নিয়ে আর কোন কনফিউশন বা ভয় থাকবে না । বিগত সালের প্রশ্ন সমাধান করতে করতে আজ আমরা সূচকের আদ্যোপান্ত জানার চেষ্টা করব । যা দিয়ে বিভিন্ন প্রতিযোগিতামূলক পরীক্ষার প্রস্তুতি হয়ে যাবে চূড়ান্তভাবে। চলুন তাহলে শুরু করা যাক আজকের টিউটরিয়ালটি।

• প্রাথমিক আলোচনা
• সূচক কাকে বলে?
• প্রয়োজনীয় সূত্রাবলি
• সাধারণ সূচকের প্রশ্ন
• সূচকের মান নির্ণয়
• সূচকের সমাধান
• গুরুত্বপূর্ণ কিছু প্রশ্ন ও সমাধান

প্রাথমিক আলোচনা

সূচক : সূচক শব্দের অর্থ হলো শক্তি। n সংখ্যক a- এর ক্রমিক গুণফল
= a n [ এখানে, a কে ভিত্তি বলা হয়। ]
n কে a এর (ভিত্তির) সূচক বলা হয় বা শক্তি বলা হয় ।
a n কে a এর n তম ঘাত বা শক্তি বা ‘power' বলা হয়।

সূচক কাকে বলে?

সূচক হলো শক্তি বা ঘাতের একটি মান । একে ইংরেজি ভাষায় index বলা হয় । একে পাওয়ার ও বলা হয়ে থাকে । সহজ ভাষায় বলতে গেলে কোন একটি সংখ্যার উপরে ডানদিকে একটি ছোট সংখ্যা থাকে এটি হল ঐ মূল সংখ্যার সূচক । আবার বলা যায়, যখন কোনো একটি সংখ্যা অন্য একটি সংখ্যার সাথে পরিবর্তনশীল হিসেবে উত্থিত হয়, তখন তাকে ঐ সংখ্যার সূচক বলে। আর মূল সংখ্যাটিকে বলা হয় সূচকীয় রাশি । উদাহরণস্বরুপ- a n এখানে, a কে ভিত্তি বা সূচকীয় রাশি বলা হয়। আর n কে বলা হয় সূচক বা শক্তি বা ঘাত অথবা পাওয়ার । এটি সংখ্যার সাহায্যে দেখালেও এমনি হবে যেমন- 2 3 এখানে 2 এর সূচক হল 3 অর্থাৎ 2 এর মান 3 ঘাত বিশিষ্ট বা 3 বার ব্যবহার করতে হবে । আর 2 হল ভিত্তি বা সূচকীয় রাশি ।

প্রয়োজনীয় সূত্রাবলি

১. a n = a×a×a×...........[ n সংখ্যক a ]
২. ${\left(\left(,a^{\mathrm{m}},\right)\right)}^{\mathrm{n}}=a^{\mathrm{mn}}$ [ কোন সংখ্যার উপর দুইবার বা তার থেকে বেশি পাওয়ার থাকলে তা গুণ হয় ]
৩. $a^{\mathrm{m}}.a^{\mathrm{n}}=a^{\mathrm{m+n}}$
[ Note: ভিত্তি একই হলে এবং গুণ থাকলে পাওয়ার গুলো যোগ করতে হয় আবার ভাগ থাকলে পাওয়ার গুলো বিয়োগ করতে হয়। ]
৪. $a^{\mathrm{m}}÷a^{\mathrm{n}}$ = ${\displaystyle \frac{a^m}{a^n}=a^{m-\mathrm{n}}}$
৫. a 0 = 1
[ যে কোন সংখ্যার উপর পাওয়ার 0 হলে তার মান 1 হয় । যেখানে a ≠ 0 ]
৬. ${\displaystyle \sqrt{a}=a^{\frac{1}{2}}}$
৭. ${\displaystyle \sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}}$
৮. ${\displaystyle \sqrt[3]{a}=a^{\frac{1}{3}}}$
৯. ${\displaystyle a^{-n}=\frac{1}{a^n}}$
[ Note: কোন পাওয়ার মাইনাস থাকলে তা ভগ্নাংশ আকারে লিখতে হয় এবং মাইনাস তুলে লব 1 এর নিচে পুরো সংখ্যাটি পাওয়ার সহ লিখতে হয় ]
১০. ${\displaystyle (ab{)}^m=a^m.b^m}$
১১. ${\displaystyle {\left(\frac{a}{b}\right)}^m=\frac{a^m}{b^m}}$
১২. ${\displaystyle {\left(\frac{m}{n}\right)}^{\mathrm{-\; p}}={\left(\frac{n}{m}\right)}^p}$
[ কোন ভগ্নাংশের উপরের পাওয়ার টি মাইনাস হলে ঐ ভগ্নাংশটি উল্টে যায় অর্থাৎ হরের জায়গায় লব এবং লবের জায়গায় হর বসে । ]
১৩. a x = a y হলে, x = y [ অর্থাৎ দু পাশের ভিত্তি মিলে গেলে দুটো ভিত্তিই তুলে দিতে হয় ]
১৪. a x = b x হলে, a = b [ অর্থাৎ দু পাশের power মিলে গেলে দুটো পাওয়ারই বাদ দিতে হয় ]

সাধারণ সূচকের প্রশ্ন

১. a 0 = কত? [ বিএসটিআই ল্যাব সহকারী পরীক্ষা-১০ / ৩১ তম বিসিএস, মানসিক দক্ষতা ]

(ক) 1 (খ) 0 (গ) ‍a (ঘ) 2

উত্তরঃ (ক) 1

Explanation:
যে কোন সংখ্যার উপর পাওয়ার ০ হলে তার মান 1 হয়। সংখ্যাটি যত বড়ই হোক না কেন ।

২. কোন শর্তে a 0 = 1 ? [ (RAKUB officer-2015) + (RAKUB (Cashier)-2017]

(ক) a = 0 (খ) a ≠ 0 (গ) a > 0 (ঘ) a ≠ 1

উত্তরঃ (খ) a ≠ 0

Explanation:
এখানে, a 0 = 1 [ যেখানে a ≠ 0 ]

৩. 7 0 = কত? [ আইন, বিচার ও সংসদ মন্ত্রণালয়-১২ ]

(ক) 1 (খ) 0 (গ) ‍a (ঘ) 2

উত্তরঃ (ক) 1

Explanation:
যে কোন সংখ্যার উপর পাওয়ার ০ হলে তার মান 1 হয়। সংখ্যাটি যত বড়ই হোক না কেন ।

৪. a এবং b দুটি ধনাত্বক সংখ্যা হলে 1 5 (3ab) 0 এর মান কত? [ RAKUB (Supervisor)-2017]

(ক) 5 - 1 (খ) 1 5 ab (গ) ( 1 5 3ab ) 0 (ঘ) 0

উত্তরঃ (ক) 5 - 1

Explanation:
1 5 (3ab) 0 = 1 5 . 1 = 5 - 1

৫. 8 2 × 8 0 এর মান কত? [ পরিবার কল্যাণ পরিদর্শক নিয়োগ পরীক্ষা : ১০ ]

(ক) 16 (খ) 322 (গ) 512 (ঘ) 64

উত্তরঃ (ঘ) 64

Explanation:
8 2 × 8 0
= 64×1
= 64

৬. ${\left(\left(,x^2,\right)\right)}^3$ কে x 3 দ্বারা গুণ করলে কত হবে? [ তুলা উন্নয়ন বোর্ডের কর্মকতাঃ ৯৭ ]

(ক) x 6 (খ) x 3 (গ) x 5 (ঘ) x 9

উত্তরঃ (ঘ) x 9

Explanation:
${\left(\left(,x^2,\right)\right)}^3\times x^3$
= $x^6\times x^3$
= x 9
[ Note: ${\left(\left(,x^2,\right)\right)}^3=x^6$ কিন্তু $x^2\times x^3=x^5$ অর্থাৎ পাওয়ারের উপর পাওয়ার থাকলে দুই পাওয়ারই গুণ করতে হয়, কিন্তু দুটি পাওয়ার সংখ্যা পাশাপাশি বসিয়ে গুণ করার সময় পাওয়ারগুলো যোগ করতে হয়। ]

৭. $a^{\mathrm{m}}.a^{\mathrm{n}}=a^{\mathrm{m+n}}$ কখন হবে? [ ১৪তম বিসিএস ]

(ক) ধনাত্মক হলে (খ) ঋণাত্মক হলে (গ) কখনোই না (ঘ) ভাগ করলে

উত্তরঃ (ক) ধনাত্মক হলে

৮. $a^{\mathrm{m}}\times a^{\mathrm{n}}=\mathrm{?}$ [ জেলা নির্বাচন অফিসার পরীক্ষা-০৪ ]

(ক) a 2m (খ) a m2 (গ) a 2n (ঘ) a m + n

উত্তরঃ (ঘ) a m + n

Explanation:
ভিত্তি একই হলে এবং গুণ থাকলে পাওয়ার গুলো যোগ করতে হয় আবার ভাগ থাকলে পাওয়ার গুলো বিয়োগ করতে হয়।

৯. $a^{\mathrm{m}}\times a^{\mathrm{n}}\times a^{\mathrm{-\; p}}=\mathrm{কত?}$ [ তুলা উন্নয়ন কর্মকর্তা পরীক্ষা-৯৭ ]

(ক) a m + n - p (খ) a m - p (গ) a m + n (ঘ) a n - p

উত্তরঃ (ক) a m + n - p

Explanation:
$a^{\mathrm{m}}\times a^{\mathrm{n}}\times a^{\mathrm{-\; p}}$
= a m + n ( - p )
= a m + n - p

১০. $a^5\times a\times a^{\mathrm{-\; 6}}=\mathrm{কত?}$ [ কর্মসংস্থান ব্যাংক অ্যসিসট্যান্ট অফিসার:০১ ]

(ক) 0 (খ) 1 (গ) 3 (ঘ) 2

উত্তরঃ (খ) 1

Explanation:
$a^5\times a\times a^{\mathrm{-\; 6}}$
= a 5 + 1 + ( - 6 )
= a 6 - 6
= a 0
= 1

১১. ${\left(\left[,{\mathrm{2-3(2-3)}}^{\mathrm{-\; 1}},\right]\right)}^{\mathrm{-\; 1}}$ এর মান কত? [১৩তম বিসিএস]

(ক) 5 (খ) - 5 (গ) 1 (ঘ) 1 5

উত্তরঃ (ঘ) 1 5

Explanation: $$
[ 2-3(2-3) - 1 ] - 1
= ${\left(\left[,{\mathrm{2-3(-1)}}^{\mathrm{-\; 1}},\right]\right)}^{\mathrm{-\; 1}}$
= (-1 কে ভগ্নাংশ করলেও -1 থাকে)
=
=
= 1 5

১২. 3 4 ÷ 3 6 = কত? [ আইন, বিচার ও সংসদ মন্ত্রণালয়-12 ]

(ক) 1 8 (খ) 1 9 (গ) 1 7 (ঘ) 1 5

উত্তরঃ (খ) 1 9

Explanation:
3 4 ÷ 3 6
= 3 4 - 6
= 3 - 2
= ${\displaystyle \frac{1}{3^2}}$
= 1 9

সূচকের মান নির্ণয়

১৩. (√3) 6 = কত? [ ৮ম সহকারী শিক্ষক নিবন্ধন পরীক্ষা-১২ ]

(ক) 25 (খ) 26 (গ) 28 (ঘ) 27

উত্তরঃ (ঘ) 27

Explanation:
(√3) 6
= (√3) 2 × 3
= 3 3
= 27

১৪. (√3×√5) 4 এর মান কত? [ (২৬তম বিসিএস) +(একটি বাড়ি একটি খামার প্রকল্পের (ফিল্ড সুপার:) নিয়োগ-২০১৮]

(ক) 30 (খ) 60 (গ) 225 (ঘ) 230

উত্তরঃ (গ) 225

Explanation:
(√3×√5) 4
= (√3) 4 × (√5) 4
= ${\left(\left\{,{\mathrm{(\surd 3)}}^2,\right\}\right)}^2\times {\left(\left\{,{\mathrm{(\surd 5)}}^2,\right\}\right)}^2$
= 3 2 × 5 2
= 9×25
= 225

১৫. (1000) x 3 = 10 হলে , x এর মান কত? [RAKUB ( Cashier) - 2017]

(ক) 0 (খ) 1 (গ) 3 (ঘ) 2

উত্তরঃ (খ) 1

Explanation:
(1000) x 3 = 10 [ যেহেতু ডান পাশে 10 আছে সেহেতু বাম পাশের 1000 কেও 10 ভিত্তি বানাতে হবে ]
বা, ( 10 3 ) x 3 = 10
বা, (10) 3x 3 = 10 [ একটি ভিত্তির উপর দুটি পাওয়ার থাকলে দুটোই গুণ করতে হয় ]
বা, 10 x = 10 1
বা, x = 1 [ দু পাশেই 10 আছে তাই, দুটি 10 ই বাদ দেয়া যায় ]

১৬. $\sqrt[3]{\sqrt[3]{a^3}}$ এর মান হবে- [৩৩তম বিসিএস]

(ক) $a^{\frac{1}{3}}$ (খ) $a^{\frac{1}{9}}$ (গ) $a^{\frac{1}{27}}$ (ঘ) $a^3$

উত্তরঃ (ক) $a^{\frac{1}{3}}$

Explanation:
এখানে , $\sqrt[3]{\sqrt[3]{a^3}}=\sqrt[3]{{\left(a^{\mathrm{3\; \times }}\right)}^{\frac{1}{3}}}=\sqrt[3]{a}=a^{\frac{1}{3}}$ [একটা কিউব রুট এবং কিউব কেটে গেলেও আরেকটা থাকে ]

১৭. $\sqrt[4]{{\left(x^3\right)}^{}}=2$ হলে, x 3 এর মান কত? [RAKUB ( Cashier) - 2017]

(ক) 16 (খ) 32 (গ) 64 (ঘ) 81

উত্তরঃ (ক) 16

Explanation:
$\sqrt[4]{{\left(x^3\right)}^{}}=2$
বা, ${\left(}^{\sqrt[4]{{\left(x^3\right)}^{}}}=2^4$
বা, x 3 = 16

১৮. 2 x + 2 x + 2 x + 2 x এর মান কত? [RAKUB ( Cashier) - 2017]

(ক) 2 x + 3 (খ) 2 x (গ) 4 (ঘ) 2 x + 2

উত্তরঃ (ঘ) 2 x + 2

Explanation:
উপরের অংকটি করার আগে নিচের অংকটি করুন।
a 2 + a 2 + a 2 = ? উত্তর: 3a 2
অর্থাৎ যে কোন একজাতীয় রাশি যোগ করার সময় যতটি রাশি তত লিখে ঐ রাশিটি লিখতে হয়।
হুবহু এই নিয়মেই উপরের অংকটি করা যায়। যেমন:
2 x + 2 x + 2 x + 2 x [ এখানে সবগুলো রাশি একই তাই যোগ করতে হবে, আবার এখানে 4 টি 2 x আছে ]
= 4.2 x
= 2 2 . 2 x [ দুটো সংখ্যারই ভিত্তি মেলানোর জন্য 4 কে 2 2 লিখা হয়েছে ]
= 2 2 + x [ ভিত্তি একই হওয়ায় 2 কমন নেয়া হয়েছে এবং গুণ অবস্থায় থাকার কারণে পাওয়ার গুলো যোগ করা হয়েছে ]
= 2 x + 2

১৯. 3 x + 3 x + 3 x = কত ? [ BKB - (SO)-2017 & RAKUB (Cashier)-2017 ]

(ক) 9 x (খ) 3 x + 1 (গ) 9 3x (ঘ) x 3

উত্তরঃ (খ) 3 x + 1

Explanation:
3 x + 3 x + 3 x
= 3 . 3 x
= 3 1 + x
= 3 x + 1

২০. 2 30 + 2 30 + 2 30 + 2 30 = ? [ BANK Asia Pro Off. -2014 ]

(ক) 8 120 (খ) 8 30 (গ) 2 32 (ঘ) 2 30

উত্তরঃ (গ) 2 32

Explanation:
2 30 + 2 30 + 2 30 + 2 30
= 4 . 2 30
= 2 2 + 2 30
= 2 2 + 30
= 2 32

২১. 3 10 + 3 10 + 3 10 = কত ? [ RAKUB (Supervisor)-2017]

(ক) 3 30 (খ) 3 3 (গ) 3 11 (ঘ) 9 10

উত্তরঃ (খ) 3 11

Explanation:
3 10 + 3 10 + 3 10
= 3 . 3 10
= 3 1 + 10
= 3 11

সূচকের সমাধান

এই পদ্ধতির অংকগুলোতে একটি চলকের মাধ্যমে কোন রাশির মান নির্ণয় করতে হয় । যেমন:

২২. x 4 = 81 এবং x ধনাত্বক হলে x এর মান কত? [ যুব উন্নয়ন অধিদপ্তরের সহ: পরিচালক:৯৪ ]

(ক) 2 (খ) 3 (গ) 4 (ঘ) 5

উত্তরঃ (খ) 3

Explanation:
x 4 = 81 [ ভিত্তি অথবা পাওয়ার মিলাতে হবে। ]
বা, x 4 = 3 4 [ (3×3×3×3) (দু পাশের ভিত্তি মেলানো সম্ভব নয় তাই পাওয়ার মেলানোর জন্য এভাবে ভাঙ্গাতে হবে) ]
বা, x = 3 [ দু পাশের পাওয়ার মিলে যাওয়ায় দুটি পাওয়ারই উঠে দেয়া যায় ]

২৩. 25 x = 5 হলে x এর মান কত ? [ IBBL (ATO)-2017 ]

(ক) 1 2 (খ) 1 4 (গ) 1 3 (ঘ) 1300

উত্তরঃ (ক) 1 2

Explanation:
25 x = 5
বা, 5 2x = 5 1
বা, 2x = 1
বা, x = 1 2

২৪. 2 2x + 2 = 8 x + 3 হলে x = কত ? [ IBBL (ATO)-2017]

(ক) 7 (খ) -7 (গ) 5 (ঘ) 3

উত্তরঃ (খ) -7

Explanation:
2 2x + 2 = 8 x + 3
বা, 2 2x + 2 = 2 3 ( x + 3 )
বা, 2 2x + 2 = 2 3x + 9
বা, 2x + 2 = 3x + 9
বা, 3x - 2x = 2 - 9
বা, x = - 7

২৫. যদি (25) 2x + 3 = 5 3x + 6 হয়, তবে x = কত? [৩৬তম বিসিএস]

(ক) 0 (খ) 1 (গ) - 1 (ঘ) 4

উত্তরঃ (ক) 0

Explanation:
(25) 2x + 3 = 5 3x + 6
বা, ${\left(\left(,5^2,\right)\right)}^{\mathrm{2x\; +\; 3}}=5^{\mathrm{3x\; +\; 6}}$
বা, 5 4x + 6 = 5 3x + 6
বা, 4x + 6 = 3x + 6
বা, 4x - 3x = 6 - 6
বা, x = 0

২৬. 125 (√5) 2x = 1 হলে x এর মান কত? [৩৯ - তম বিসিএস- (বিশেষ)]

(ক) 3 (খ) -3 (গ) 7 (ঘ) 9

উত্তরঃ (খ) -3

Explanation:
125 (√5) 2x = 1
বা, 5 3 . 5 2x 2 = 1
বা, 5 3 . 5 x = 1
বা, 5 3 + x = 5 0
বা, 3+x = 0
.:. x = - 3

২৭. 3 x + 2 = 81 হলে x = কত? [ উপজেলা সহকারী শিক্ষা অফিসার-১০ ]

(ক) 2 (খ) 3 (গ) 4 (ঘ) 5

উত্তরঃ (ক) 2

Explanation:
3 x + 2 = 81
বা, 3 x + 2 = 3 4
বা, x + 2 = 4
বা, x = 4 - 2
বা, x = 2

২৮. 4 x + 1 = 32 হলে x = ? [বিভিন্ন মন্ত্রণালয়ের ব্যক্তিগত কর্মকর্তা নিয়োগ-২০১৮]

(ক) 2 3 (খ) 3 2 (গ) 1 8 (ঘ) 3 5

উত্তরঃ (খ) 3 2

Explanation:
4 x + 1 = 32
বা, ( 2 2 ) x + 1 = 2 5
বা, 2x + 2 = 5
বা, 2x = 5 - 2
বা, 2x = 3
বা, x = 0

২৯. ( x 2 ) a + 1 = 1 হলে a - এর মান কত? [ ১১তম বেসরকরি শিক্ষক নিবন্ধন পরীক্ষা- ২০১৪]

(ক) 0 (খ) 2 (গ) 1 (ঘ) - 1

উত্তরঃ (ঘ) - 1

Explanation:
( x 2 ) a + 1 = 1
বা, ( x 2 ) a + 1 = ( x 2 ) 0
বা, a+1 = 0
বা, a = - 1

৩০. ${\left(\left(,2^2,\right)\right)}^{\mathrm{x\; +\; 3}}=256$ হলে, x = কত? [ATEO (কোটা) পরীক্ষা -১৫]

(ক) 1 (খ) 3 (গ) 2 (ঘ) 4

উত্তরঃ (ক) 1

Explanation:
${\left(\left(,2^2,\right)\right)}^{\mathrm{x\; +\; 3}}=256$
বা, $2^{\mathrm{2x\; +\; 6}}=2^8$
বা, 2x + 6 = 8
বা, 2x = 8 - 6
বা, 2x = 2
বা, x = 1

৩১. যদি (64) 2 3 + (625) 1 2 = 3K হয়, তবে K = ? [ ৩১-তম বিসিএস]

(ক) 9 1 2 (খ) 11 1 3 (গ) 12 2 5 (ঘ) 13 2 3

উত্তরঃ (ঘ) 13 2 3

Explanation:
(64) 2 3 + (625) 1 2 = 3K
বা, ${\left(\left(,2^6,\right)\right)}^{\frac{2}{3}}+{\left(\left(,5^4,\right)\right)}^{\frac{1}{2}}=\mathrm{3k}$
বা, 2 4 + 5 2 = 3k
বা, 16 + 25 = 3k
বা, 3k = 41
বা, k = 13 2 3

৩২. 3 x + 2 = 81 হয় , তবে 3 x - 2 = কত ? [ ৮ম প্রভাষক নিবন্ধন পরীক্ষা-১২ ]

(ক) 1 (খ) 3 (গ) 2 (ঘ) 4

উত্তরঃ (ক) 1

Explanation:
3 x + 2 = 81
বা, 3 x + 2 = 3 4
বা, x + 2 = 4
বা, x = 4 - 2
বা, x = 2

এখন 3 x - 2
= 3 2 - 2
= 3 0
= 1

৩৩. ${\displaystyle {\left(\frac{a}{b}\right)}^{\mathrm{x\; -\; 3}}={\left(\frac{b}{a}\right)}^{\mathrm{x\; -\; 5}}}$ হয় তবে x = কত? [ ৩৩তম বিসিএস]

(ক) 8 (খ) 3 (গ) 5 (ঘ) 4

উত্তরঃ (ঘ) 4

Explanation:
${\displaystyle {\left(\frac{a}{b}\right)}^{\mathrm{x\; -\; 3}}={\left(\frac{b}{a}\right)}^{\mathrm{x\; -\; 5}}}$ [ দুপাশের ভিত্তি মেলাতে হবে ]
বা, ${\displaystyle {\left(\frac{a}{b}\right)}^{\mathrm{x\; -\; 3}}={\left(\frac{a}{b}\right)}^{\mathrm{-\; (x\; -\; 5)}}}$ [ ভগ্নাংশ উল্টে দিলে উপরের পাওয়ারের আগে (-) চিহ্ন বসাতে হয় । ]
বা, x - 3 = -x + 5 [ভিত্তি মিলে গেছে তাই ভিত্তি বাদ]
বা, 2x = 8
বা, x = 4

৩৪. সমাধান করুন: 4 x + 1 = 2 x - 2 [ বেসামরিক বিমান ও পর্যটন মন্ত্রণালয়ের প্রশাসনিক কর্মকর্তা:০৫ ]

(ক) 1 (খ) 3 (গ) 2 (ঘ) -4

উত্তরঃ (ঘ) -4

Explanation:
4 x + 1 = 2 x - 2
বা, 2 2(x + 1) = 2 x - 2
বা, 2 2x + 2 = 2 x - 2
বা, 2x + 2 = x - 2
বা, 2x - x = - 2 - 2
বা, x = - 4

এই অধ্যায়ের সব থেকে গুরুত্বপূর্ণ কিছু প্রশ্ন ও সমাধান

৩৫. x - 3 – 0.001 = 0 হলে, x 2 -এর মান- [ 35তম বিসিএস]

(ক) 100 (খ) 10 (গ) 1 10 (ঘ) 1 100

উত্তরঃ (ক) 100

Explanation:
x - 3 – 0.001 = 0
বা, 1 x 3 – 0.001 = 0
বা, 1 x 3 = 1 1000
বা, x 3 = 1000 ( আড়াআড়ি গুণ করে)
বা, x 3 = 10 3 (দুপাশে power সমান করার জন্য )
বা, x = 10
এই 10 ই উত্তর না, কেননা 10 হল x এর মান। কিন্তু প্রশ্নে x 2 এর মান বের করতে বলা হয়েছে। .:. x = 10 হলে x 2 = 100 |

৩৬. 2 x + 2 1 - x = 3 হলে x = কত? [৩৮তম বিসিএস প্রিলি:]

(ক) (1 , 2) (খ) (0 , 2) (গ) (1 , 3) (ঘ) (0 , 1)

উত্তরঃ (ঘ) (0 , 1)

Explanation:
2 x + 2 1 - x = 3
বা, 2 x + 2 1 2 x = 3
বা, p + 2 p = 3 [ 2 x = p ধরে ]
বা , p 2 + 2 p = 3
বা , p 2 + 2 = 3p
বা , p 2 - 3p + 2 = 0
বা , p 2 - 2p - p + 2 = 0
বা, p ( p - 2 ) - 1 ( p - 2 ) = 0
বা, ( p - 2 ) ( p - 1 ) = 0
হয় ( p - 2 ) = 0 অথবা ( p - 1 ) = 0
বা, p = 2
বা, 2 x = 2 1
বা, x = 1
আবার , p = 1
বা, 2 x = 2 0
বা, x = 0
সুতরাং x = (0,1)

৩৭. 5 3x - 7 = 3 3x - 7 হলে x = কত ? [ ৩৪তম বিসিএস ]

(ক) 5 8 (খ) 7 3 (গ) 6 5 (ঘ) 8 11

উত্তরঃ (খ) 7 3

Explanation:
5 3x - 7 = 3 3x - 7
বা, 5 3x 5 7 = 3 3x 3 7
বা, 5 3x 3 3x = 5 7 3 7 [ আড়াআড়ি পরিবর্তন করে ]
বা, ( 5 3 ) 3x = ( 5 3 ) 7
বা, 3x = 7
বা, x = 7 3

৩৮. 5 n + 2 + 35 × 5 n - 1 4 × 5 n = কত ? [ ৩৪তম বিসিএস ]

(ক) 4 (খ) 8 (গ) 12 (ঘ) 16

উত্তরঃ (খ) 8

Explanation:
5 n + 2 + 35 × 5 n - 1 4 × 5 n
= 5 n × 5 2 + 7 × 5 × 5 n - 1 4 × 5 n
= 5 n × 25 + 7 × 5 1 + n - 1 4 × 5 n
= 5 n × 25 + 7 × 5 n 4 × 5 n
= 5 n ( 25 + 7 ) 4 × 5 n
= 32 4
= 8

৩৯. 5.3 n - 27.3 n - 2 3 n - 3 n - 1 এর মান -- [ বিভিন্ন মন্ত্রণালয়ের ব্যক্তিগত কর্মকর্তা নিয়োগ: ২০১৮ ]

(ক) 0 (খ) 1 (গ) 2 (ঘ) 3

উত্তরঃ (ঘ) 3

Explanation:
5.3 n - 27.3 n - 2 3 n - 3 n - 1
= 5.3 n - 27.3 n .3 - 2 3 n - 3 n .3 - 1
= 5.3 n - 27.3 n .1 3 2 3 n - 3 n . 1 3
= 5.3 n - 27.3 n . 1 9 3 n ( 1 - 1 3 )
= 5.3 n - 3 . 3 n 3 n ( 3 - 1 3 )
= 3 n ( 5 - 3 ) 3 n . 2 3
= 2 2 3
= 2 × 3 2
= 3

৪০. 3 . 2 n - 4 . 2 n - 2 = কত ? [ ৮ম প্রভাষক নিবন্ধন পরীক্ষা: ১২ ]

(ক) 2 n (খ) 2 n + 1 (গ) 2 n - 1 (ঘ) 2 3

উত্তরঃ (খ) 2 n + 1

Explanation:
3 . 2 n - 4 . 2 n - 2
= 3 . 2 n - 2 2 . 2 n - 2
= 3 . 2 n - 2 2 + n - 2
= 3 . 2 n - 2 n
= 2 n (3 - 1 )
= 2 n . 2 1
= 2 n + 1

৪১. 12 . 27 x = 2 2 . 9 x + 4 হলে x এর মান কত? [ কারা তত্ত্বাবধায়ক : ১০ ]

(ক) 4 (খ) 8 (গ) 7 (ঘ) 16

উত্তরঃ (গ) 7

Explanation:
12 . 27 x = 2 2 . 9 x + 4
বা, 4 × 3 × ( 3 3 ) x = 4 × ( 3 2 ) x + 4
বা, 4 × 3 × 3 3x = 4 × 3 2x + 8
বা, 4 × 3 1 + 3x = 4 × 3 2x + 8
বা, 1 + 3x = 2x + 8
বা, 3x - 2x = 8 - 1
বা, x = 7

৪২. 3×27 x = 9 x + 4 হলে x = কত ? [ পরিবার কল্যাণ পরিদর্শিকা: ১০ ]

(ক) 4 (খ) 8 (গ) 7 (ঘ) 16

উত্তরঃ (গ) 7

Explanation:
3×27 x = 9 x + 4
বা, 3×3 3x = 3 2x + 8
বা, 3 3x + 1 = 3 2x + 8
বা, 3x + 1 = 2x + 8
বা, 3x - 2x = 8 - 1
বা, x = 7