ল.সা.গু ও গ.সা.গু নির্ণয় অধ্যায়টি পাটিগণিতের খুবই গুরুত্বপূর্ণ একটি অধ্যায়। এ অধ্যায়টি সম্পূর্ণ নখদর্পণে নিতে হলে প্রথমেই আপনাকে ল.সা.গু এবং গ.সা.গু নির্ণয়ে সিদ্ধহস্ত হতে হবে। তাই এ অধ্যায়ের বিগত সালের প্রশ্ন সমাধান করার আগে ল.সা.গু এবং গ.সা.গু নির্ণয়ে পারদর্শী হতে হবে । এজন্য প্রচলিত নিয়মের পাশাপাশি সবচেয়ে দ্রুত এবং সহজভাবে ল.সা.গু এবং গ.সা.গু নির্ণয়ের জন্য একটি কৌশল নিচে দেওয়া হল । কৌশলটি রপ্ত করার চেষ্টা করুন। আশা করি ভাল ফল পাবেন।
ল.সা.গু নির্ণয় সবচেয়ে সহজ পদ্ধতি
সমস্যা-১। ২,৪,৮,১০ এর ল.সা.গু নির্ণয় কর।
২,৪,৮,১০ এর ল.সা.গু = ৪০ ।
যারা দ্রুত ল.সা.গু নির্ণয় করতে চান তাদের জন্য এ পদ্ধতি।কারণ এমসিকিউ পরীক্ষায় সময় অনেক কম দেওয়া হয়।এই কম সময়ে অনেক প্রশ্নের উত্তর দিতে হয়।তাই এমসিকিউ পরীক্ষার জন্য এ পদ্ধতিই হচ্ছে বেস্ট পদ্ধতি।এ পদ্ধতিতে সবচেয়ে বড় সংখ্যাটিকে বেস ধরে দেখা হয় ছোট সংখ্যাটি দিয়ে বড় সংখ্যাটিকে ভাগ করা যায় কি না? যেমন উপরোক্ত সংখ্যাগুলোর মধ্যে ১০ সবচেয়ে বড় সংখ্যা।এখন প্রথম সংখ্যা থেকে দেখা যায় ২ দ্বারা ১০ কে ভাগ করা যায় তাই ২ বাদ। এরপর ৪ পরবর্তী ৮ এর গুণনীয়ক তাই ৪ ও বাদ।বাকি থাকল ৮ এবং ১০।৮ দ্বারা ১০ ভাগ হয় না।তাই প্রথমে ২ দ্বারা ১০ কে গুণ করি।তবু ও ভাগ হয় না।অতঃপর ৩ এবং পরবর্তীতে ৪ দ্বারা ১০ কে গুণ করলে ৪০ হয় যা ৮ দ্বারা ভাগ করা যায়।তাই ৪০ ই ২,৪,৮,১০ এর ল.সা.গু।
আরো কিছু সমস্যাঃ
১। ৩,৬,১২ এর ল.সা.গু = ১২
২।১২,২৪ এর ল.সা.গু = ২৪
৩।৪,৬,১২ এর ল.সা.গু = ১২
৪। ২,৪,৬,১২,২৪ এর ল.সা.গু = ২৪
লক্ষ করুনঃ
১নং এ দেখতে পাচ্ছি ৩ সবচেয়ে ছোট সংখ্যা এবং ১২ সবচেয়ে বড় সংখ্যা।৩ দ্বারা ১২ কে ভাগ করা যায় তাই ৩ বাদ।আবার ৬ দ্বারা ও ১২ কে ভাগ করা যায় তাই ৬ ও বাদ।তাই ল.সা.গু হবে সবচেয়ে বড় সংখ্যা ১২।
২নং এ দেখতে পাচ্ছি ১২ ছোট সংখ্যা এবং ২৪ বড় সংখ্যা।১২ দ্বারা ২৪ কে ভাগ করা যায় বিধায় ১২ বাদ।তাই ল.সা.গু হবে সবচেয়ে বড় সংখ্যা ২৪।
৩নং এ দেখতে পাচ্ছি ৪ সবচেয়ে ছোট সংখ্যা এবং ১২ সবচেয়ে বড় সংখ্যা।৪ দ্বারা ১২ কে ভাগ করা যায় তাই ৪ বাদ।আবার ৬ দ্বারা ও ১২ কে ভাগ করা যায় তাই ৬ ও বাদ।তাই ল.সা.গু হবে সবচেয়ে বড় সংখ্যা ১২।
৪নং এ দেখতে পাচ্ছি ২ সবচেয়ে ছোট সংখ্যা এবং ২৪ সবচেয়ে বড় সংখ্যা।২ দ্বারা ২৪ কে ভাগ করা যায় তাই ২ বাদ। ৪ দ্বারা ও ২৪ কে ভাগ করা যায় তাই ৪ ও বাদ।৬ দ্বারা ও ২৪ কে ভাগ করা যায় তাই ৬ ও বাদ। ১২ দ্বারা ও ২৪ কে ভাগ করা যায় তাই ১২ ও বাদ।তাই ল.সা.গু হবে সবচেয়ে বড় সংখ্যা ২৪।
এবার যদি এমন হয় সবচেয়ে বড় সংখ্যাটিকে সবগুলো সংখ্যা দিয়ে ভাগ করা না যায় তখন কিভাবে ল.সা.গু বের করতে হবে।চলুন নিচের সমস্যাসমুহ দেখি।
সমস্যা-৫। ৩ ও ৫ এর ল.সা,গু= ১৫
সমস্যা-৬। ৬ ও ৮ এর ল.সা.গু = ২৪
সমস্যা-৭। ৫,১০,১৫ ও ২০ এর ল.সা.গু = ৬০
লক্ষ করুনঃ
৫নং এ দেখতে পাচ্ছি ৩ ছোট সংখ্যা এবং ৫ বড় সংখ্যা।৩ দ্বারা ৫কে ভাগ করা যায় না।তাই প্রথমে ২ দ্বারা ৫ কে গুণ করি।তবু ও ভাগ হয় না।অতঃপর ৩ দ্বারা ৫ কে গুণ করলে ১৫ হয় যা ৩ দ্বারা ভাগ করা যায়।তাই ১৫ ই হচ্ছে ৩ ও ৫ এর ল.সা.গু।
৬ নং এ দেখতে পাচ্ছি ৬ ছোট সংখ্যা এবং ৮ বড় সংখ্যা।৬ দ্বারা ৮কে ভাগ করা যায় না।তাই প্রথমে ২ দ্বারা ৮ কে গুণ করি।তবু ও ভাগ হয় না।অতঃপর ৩ দ্বারা ৮ কে গুণ করলে ২৪ হয় যা ৬ দ্বারা ভাগ করা যায়।তাই ২৪ ই হচ্ছে ৬ ও ৮ এর ল.সা.গু।
৭নং এ দেখতে পাচ্ছি ৫ সবচেয়ে ছোট সংখ্যা এবং ২০ সবচেয়ে বড় সংখ্যা। এখন প্রথম সংখ্যা থেকে দেখা যায় ৫ দ্বারা ২০ কে ভাগ করা যায় তাই ৫ বাদ। এরপর ১০ দ্বারা ও ২০ কে ভাগ করা যায় তাই ১০ ও বাদ।বাকি থাকল ১৫ এবং ২০।১৫ দ্বারা ২০ ভাগ হয় না।তাই প্রথমে ২ দ্বারা ২০ কে গুণ করি।তবু ও ভাগ হয় না।অতঃপর ৩ দ্বারা ২০ কে গুণ করলে ৬০ হয় যা ১৫ দ্বারা ভাগ করা যায়।তাই ৬০ ই হচ্ছে ৫,১০,১৫ ও ২০ এর ল.সা.গু।
গ.সা.গু নির্ণয়ের সবচেয়ে সহজ পদ্ধতি
যারা দ্রুত গ.সা.গু নির্ণয় করতে চান তাদের জন্য এ পদ্ধতি।কারণ এমসিকিউ পরীক্ষায় অনেক কম সময় দেওয়া হয়।এই কম সময়ে অনেক প্রশ্নের উত্তর দিতে হয়।তাই এমসিকিউ পরীক্ষার জন্য এ পদ্দতিই হচ্ছে বেস্ট পদ্ধতি।এ পদ্ধতিতে সবচেয়ে ছোট সংখ্যাটিকে বেস ধরে দেখা হয় ছোট সংখ্যাটি দিয়ে বড় সংখ্যাটিকে ভাগ করা যায় কি না?
সমস্যা-১। ১৩ এবং ২৬ এর গ.সা.গু =১৩
সমস্যা-২। ৫,১০ এবং ২০ এর গ.সা.গু = ৫
সমস্যা-৩। ৩,৬,১২ এবং ১৮ এর গ.সা.গু = ৩
লক্ষ করুনঃ
১নং এ দেখতে পাচ্ছি ১৩ ছোট সংখ্যা এবং ২৬ বড় সংখ্যা। ১৩ দ্বারা ২৬ কে ভাগ করা যায় বিধায় ১৩ ই হবে ১৩ এবং ২৬ এর গ.সা.গু।
২নং এ দেখতে পাচ্ছি ৫ সবচেয়ে ছোট সংখ্যা । সবচেয়ে ছোট সংখ্যা ৫ দ্বারা ১০ এবং ২০ উভয়কেই ভাগ করা যায় বিধায় ৫ ই হবে ৫,১০ এবং ২০ এর গ.সা.গু।
৩নং এ দেখতে পাচ্ছি ৩ সবচেয়ে ছোট সংখ্যা। সবচেয়ে ছোট সংখ্যা ৩ দ্বারা ৬,১২ এবং ১৮ এ তিনটি সংখ্যাকেই ভাগ করা যায় বিধায় ৩ ই হবে ৩,৬,১২ এবং ১৮ এর গ.সা.গু।
এখন যদি এমন হয় সবচেয়ে ছোট সংখ্যাটি দ্বারা সবগুলো সংখ্যাকে ভাগ করা না যায় তখন কিভাবে গ.সা.গু বের করতে হবে।চলুন নিচের সমস্যাসমুহ দেখি।
সমস্যা-৪। ৯,১২ এবং ১৫ এর গ.সা.গু =৩
সমস্যা-৫। ১২,২৪ এবং ৩৩ এর গ.সা.গু = ৩
সমস্যা-৬। ৩ এবং ৫ এর গ.সা.গু =১
সমস্যা-৭। ৩২,৪৮,৫৬ এবং ৮০ এর গ.সা.গু =৮
সমস্যা-৮। ২৪,৩০ এবং ৭৭ এর গ.সা.গু = ১
লক্ষ করুনঃ
৪নং এ দেখতে পাচ্ছি ৯ সবচেয়ে ছোট সংখ্যা । সবচেয়ে ছোট সংখ্যা ৯ দ্বারা ১২ এবং ১৫ ভাগ হয় না।তাই ৯ এর গুণনীয়ক দ্বারা ১২ এবং ১৫ কে ভাগ করতে হবে।৯ এর গুণনীয়ক হচ্ছে ১,৩,৯।এবার সবচেয়ে বড় গুণনীয়ক থেকে ভাগ করা শুরু করতে হবে।এখন ৯ এর গুণনীয়ক ৯ দ্বারা ১২ এবং ১৫ কে ভাগ করা যায় না।তাই ৯ বাদ। ৯ এর গুণনীয়ক ৩ দিয়ে ১২ এবং ১৫ কে ভাগ করা যায় বিধায় ৩ ই হবে ৯,১২ এবং ১৫ এর গ.সা.গু।
৫নং এ দেখতে পাচ্ছি ১২ সবচেয়ে ছোট সংখ্যা। সবচেয়ে ছোট সংখ্যা ১২ দ্বারা ২৪ এবং ৩৩ ভাগ হয় না।তাই ১২ এর গুণনীয়ক দ্বারা ২৪ এবং ৩৩ কে ভাগ করতে হবে। ১২ এর গুণনীয়ক হচ্ছে ১,২,৩,৪,৬,১২।এবার সবচেয়ে বড় গুণনীয়ক থেকে ভাগ করা শুরু করতে হবে। ১২ এর গুণনীয়ক ১২ দ্বারা ২৪ এবং ৩৩ কে ভাগ করা যায় না।তাই ১২ বাদ। ১২ এর গুণনীয়ক ৬ এবং ৪ দিয়ে ও ২৪ এবং ৩৩ দুটোকে ভাগ করা যায় না।তাই ৬ এবং ৪ ও বাদ। ১২ এর গুণনীয়ক ৩ দ্বারা ২৪ এবং ৩৩ কে ভাগ করা যায় বিধায় ৩ ই হবে ১২,২৪ এবং ৩৩ এর গ.সা.গু।
৬নং এ দেখতে পাচ্ছি ৩ ছোট সংখ্যা । ছোট সংখ্যা ৩ দ্বারা ৫ ভাগ হয় না।তাই ৩ এর গুণনীয়ক দ্বারা ৫ কে ভাগ করতে হবে।৩ এর গুণনীয়ক হচ্ছে ১,৩।এবার সবচেয়ে বড় গুণনীয়ক থেকে ভাগ করা শুরু করতে হবে।এখন ৩ এর গুণনীয়ক ৩ দ্বারা ৫ কে ভাগ করা যায় না।তাই ৩ বাদ। ৩ এর গুণনীয়ক ১ দিয়ে ৫ কে ভাগ করা যায় বিধায় ১ ই হবে ৩ এবং ৫ এর গ.সা.গু।
৭নং এ দেখতে পাচ্ছি ৩২ সবচেয়ে ছোট সংখ্যা। সবচেয়ে ছোট সংখ্যা ৩২ দ্বারা ৪৮,৫৬ এবং ৮০ ভাগ হয় না।তাই ৩২ এর গুণনীয়ক দ্বারা ৪৮,৫৬ এবং ৮০ কে ভাগ করতে হবে। ৩২ এর গুণনীয়ক হচ্ছে ১,২,৪,৮,১৬,৩২।৩২ তো আগেই বাদ।এবার সবচেয়ে বড় গুণনীয়ক থেকে ভাগ করা শুরু করতে হবে। ৩২ এর গুণনীয়ক ১৬ দ্বারা ৪৮ এবং ৮০ কে ভাগ করা গেলেও ৫৬ কে ভাগ করা যায় না।তাই ১৬ বাদ। ৩২ এর গুণনীয়ক ৮ দ্বারা ৪৮,৫৬ এবং ৮০ কে ভাগ করা যায় বিধায় ৮ ই হবে ৩২,৪৮,৫৬ এবং ৮০ এর গ.সা.গু।
৮নং এ দেখতে পাচ্ছি ২৪ সবচেয়ে ছোট সংখ্যা। সবচেয়ে ছোট সংখ্যা ২৪ দ্বারা ৩০ এবং ৭৭ ভাগ হয় না।তাই ২৪ এর গুণনীয়ক দ্বারা ৩০ এবং ৭৭ কে ভাগ করতে হবে। ২৪ এর গুণনীয়ক হচ্ছে ১,২,৩,৪,৬,৮,১২,২৪।এবার সবচেয়ে বড় গুণনীয়ক থেকে ভাগ করা শুরু করতে হবে। ২৪ এর গুণনীয়ক ২,৩,৪,৬,৮,১২,২৪ দিয়ে ৩০ এবং ৭৭ দুটোকে ভাগ করা যায় না।তাই ২,৩,৪,৬,৮,১২,২৪ বাদ।১ দ্বারা ভাগ করা যায় ২৪ কে । আবার ১ দ্বারা ৩০ এবং ৭৭ কে ভাগ করা যায় বিধায় ১ ই হবে ২৪,৩০ এবং ৭৭ এর গ.সা.গু।
ভগ্নাংশের ল. সা. গু ও গ. সা. গু নির্ণয়ের নিয়ম
১. ভগ্নাংশের ল.সা.গু =
২. ভগ্নাংশের গ.সা.গু =
প্রশ্ন-১: , , এর গ. সা. গু কত? [ ৮ম বেসরকারি প্রভাষক নিবন্ধন ও প্রত্যয়ন পরীক্ষা-২০১২]
- (ক) ৩০
- (খ)
- (গ)
- (ঘ) ৬০
উত্তরঃ (গ)
Explanation:
৩,৪,৫ এর গ.সা.গু = ১ এবং ৪,৫ ও ৬ এর ল.সা.গু.= ৬০
দুই বা ততোধিক ভগ্নাংশের গ.সা.গু = =
৫. , , এর ল.সা.গু কত? [গণপূর্ত অধিদপ্তর-২০১৬]
উত্তরঃ (খ) ৬
Explanation:
লব ৩,১,২ এর ল.সা.গু= ৬ এবং হর ৫,৪ ও ৩ এর গ.সা.গু.= ১
দুই বা ততোধিক ভগ্নাংশের ল.সা.গু = = = ৬
অনুপাত আকারে ল.সা.গু ও গ.সা.গু
দুটি সংখ্যার অনুপাত এবং তাদের ল.সা.গু দেয়া থাকলে...
বড় সংখ্যা =
ছোট সংখ্যা =
প্রশ্ন-১: দুইটি সংখ্যার অনুপাত ৩:৪ এবং তাদের ল.সা.গু ১৮০। সংখ্যা দুইটি কি কি? [ শিক্ষক নিবন্ধন কলেজ-২০১২]
- (ক) ৭০,৬০
- (খ) ৬০,৫০
- (গ) ৫০,৪০
- (ঘ) ৪৫,৬০
উত্তরঃ (ঘ) ৪৫,৬০
Explanation:
দুটি সংখ্যার অনুপাত এবং তাদের ল.সা.গু দেয়া থাকলে...
বড় সংখ্যা =
= = ৬০
ছোট সংখ্যা = = = ৪৫
সুতরাং সংখ্যা দুইটি ৪৫ ও ৬০ ।
দুটি সংখ্যার গুণফল এবং তাদের ল.সা.গু কিংবা গ.সা.গু দেয়া থাকলে-
গ.সা.গু = সংখ্যাদ্বয়ের গুণফল ÷ সংখ্যাদ্বয়ের ল.সা.গু
ল.সা.গু = সংখ্যাদ্বয়ের গুণফল ÷ সংখ্যাদ্বয়ের গ.সা.গু
প্রশ্ন-২: দুইটি সংখ্যার গুণফল ১৫৩৬। সংখ্যা দুইটির ল.সা.গু ৯৬ হলে গ.সা.গু কত? [ ১০ম বিসিএস]
- (ক) ৩২
- (খ) ১২
- (গ) ১৬
- (ঘ) ২৪
- (ক) ৪৮
- (খ) ৫২
- (গ) ৬০
- (ঘ) ৭২
উত্তরঃ (গ) ১৬
Explanation:
গ.সা.গু = সংখ্যাদ্বয়ের গুণফল ÷সংখ্যাদ্বয়ের ল.সা.গু
গ.সা.গু = ১৫৩৬ ÷ ৯৬ = ১৬
দুইটি সংখ্যার গ.সা.গু. ও ল.সা.গু এবং একটি সংখ্যা দেওয়া থাকলে
অপর সংখ্যাটি =
প্রশ্ন-৩: দুইটি সংখ্যার গ.সা.গু. ও ল.সা.গু যথাক্রমে ২ ও ৩৬০।একটি সংখ্যা ১০ হলে অপর সংখ্যাটি কত? [ খ্যদ্য পরিদর্শক-২০০৪]
উত্তরঃ (ঘ) ৭২
Explanation:
অপর সংখ্যাটি
=
বা, অপর সংখ্যাটি
= = ৭২