দশমিক ভগ্নাংশের জ্ঞান ছাড়া আপনি পাটিগণিতে ভাল করতে পারবেন না ।কারণ অনেক সমস্যার সমাধানই দশমিক ভগ্নাংশের যোগ বিয়োগ,গুণ ও ভাগ প্রক্রিয়া ব্যবহার করে সমাধান করতে হয়।তাই দশমিক ভগ্নাংশের যোগ,বিয়োগ,গুণ ও ভাগ দ্রুত করার অভ্যাস গড়ে তুলুন।তাছাড়া সরাসরি দশমিক ভগ্নাংশের যোগ,বিয়োগ,গুণ ও ভাগ সংক্রান্ত সমস্যা ও থাকছে জব পরীক্ষায়।কাজেই এ অধ্যায়টি খুবই গুরুত্ব সহকারে আত্নস্থ করুন।
দশমিক ভগ্নাংশের যোগ ও বিয়োগ
দশমিক ভগ্নাংশের যোগ ও বিয়োগ করার সময় কী কী বিষয় বিশেষভাবে লক্ষ রাখা এবং মনে রাখা প্রয়োজন। দশমিক ভগ্নাংশের অঙ্ক করতে গিয়ে অনেক সময় আমাদের নানা রকম জটিলতার মুখোমুখি হতে হয়। অথচ, একটু ভাবলে, একটু মাথা খাটালে খুব সহজেই আমরা বুঝে নিতে পারি, দশমিক ভগ্নাংশের যোগ, বিয়োগ, গুণ ও ভাগ আসলে স্বাভাবিক যোগ বিয়োগ ও গুণ ভাগের নিয়ম অনুসারেই করা হয়ে থাকে। শুধু দশমিক বিন্দু যথাস্থানে বসানোর নিয়ম জানা থাকলেই হলো। আর এই নিয়মের খুঁটিনাটি জানার জন্য আমাদের অনেক দূরে কোথাও যেতে হবে না।দশমিকের সমস্যা সংক্রান্ত উদাহরণগুলো ভালো করে দেখেন-দেখবেন দশমিক ভগ্নাংশের সমস্যাগুলো সমাধান করা তেমন জটিল কিছু নয়। এবার আসেন, দশমিক ভগ্নাংশের যোগ ও বিয়োগ করার সময় কী কী বিষয় বিশেষভাবে লক্ষ রাখা এবং মনে রাখা প্রয়োজন, তা জেনে নিই। * যে সংখ্যাগুলো যোগ করতে হবে সেই সংখ্যাগুলো এমনভাবে সাজাতে হবে যেন দশমিক বিন্দুগুলো সরাসরি দশমিক বিন্দুর নিচে নিচে পড়ে এবং দশমিক বিন্দুর ডানে ও বামের সংখ্যাগুলো যথাস্থানে থাকে। অনেকগুলো দশমিক সংখ্যা যোগ করার ক্ষেত্রে যে দশমিক সংখ্যার দশমিক বিন্দুর পর সবচেয়ে বেশি সংখ্যক ঘর থাকে, অন্য সংখ্যাগুলোর ডানে প্রয়োজনমতো এতগুলো শূন্য ‘০’ বসিয়ে যোগ করতে হয়। যেমন, ১৭.৩৫, ০.৩, ০.০০২, ৮.০৫ যোগ করতে বলা হলো। এখানে দশমিক বিন্দুর পর সবচেয়ে বেশি সংখ্যক ঘর আছে ০.০০২-এ। এবং এই ঘরের সংখ্যা তিনটি। সুতরাং অঙ্কটি সাজাতে হবে এভাবে।
কোনো পূর্ণসংখ্যার সঙ্গে দশমিক ভগ্নাংশ যোগ করতে হলে, পূর্ণসংখ্যার এককের ঘরের ডানে দশমিক বিন্দু বসিয়ে তারপর প্রয়োজনমতো শূন্য বসিয়ে যোগ করতে হয়। যেমন ১৫ এর সঙ্গে যদি ৪.০২ যোগ করতে বলা হয় তবে লিখতে হবে:
কোনো পূর্ণ সংখ্যা থেকে দশমিক ভগ্নাংশ বিয়োগ করতে হলেও একইভাবে পূর্ণসংখ্যাটির ডানে দশমিক বিন্দু বসিয়ে তারপর প্রয়োজনমতো শূন্য বসিয়ে বিয়োগ করতে হয়। এতে সংখ্যার মানের কোনো পরিবর্তন হয় না। বরং বিয়োগ করতে সুবিধা হয়। যেমন: ২৫-১২.০২ = কত?
দশমিক ভগ্নাংশের গুণ
১.দশমিক ভগ্নাংশকে পূর্ণ সংখ্যা দিয়ে গুণ
২.পূর্ণ সংখ্যাকে দশমিক ভগ্নাংশ দিয়ে গুণ
৩.দশমিক ভগ্নাংশকে ১০, ১০০ দিয়ে গুণ
৪.দশমিক ভগ্নাংশকে দশমিক ভগ্নাংশ দিয়ে গুণ
১.দশমিক ভগ্নাংশকে পূর্ণ সংখ্যা দিয়ে গুণ করার নিয়ম:
সাধারণত দশমিক ভগ্নাংশকে পূর্ণ সংখ্যা দিয়ে গুণ করার সময় সাধারণ গুণের নিয়মই অনুসরণ করা হয়। তবে গুণফলের ক্ষেত্রে গুণ্যে (অর্থাৎ যে সংখ্যাকে গুণ করা হয়) দশমিক বিন্দুর ডানে যতটি অঙ্ক থাকে গুণফলের ডান দিক থেকে ঠিক এতটি অঙ্কের আগে দশমিক বিন্দু বসাতে হয়। যেমন ২৪.৩৫ কে ১২ দিয়ে গুণ করতে বলা হলো। এই ক্ষেত্রে সমাধানটি কেমন হবে:
প্রশ্ন: ২৪.৩৫× ১২
সমাধান: এখানে,২৪৩৫×১২ = ২৯২২০
মূল সমাধানঃ ২৪.৩৫×১২ = ২৯২.২০ = ২৯২.২
লক্ষ করেনঃ এখানে গুণ করার সময় গুণ্য দশমিক ভগ্নাংশ ২৪.৩৫ কে সাধারণ সংখ্যা (পূর্ণ সংখ্যা) ২৪৩৫ লিখে সাধারণ গুণের মতোই পূর্ণ সংখ্যা ১২ দিয়ে গুণ করা হয়েছে। তারপর মূল সমাধানে গুণফল লেখার সময় গুণ্যের দশমিক বিন্দুর ডানে দুটি অঙ্ক থাকায় গুণফলের ডানদিক থেকে দুটি অঙ্কের পূর্বে দশমিক বিন্দু বসানো হয়েছে। গুণফলে দশমিক সংখ্যার সর্ব ডানে একটি শূন্য থাকায় তা বাদ দেওয়া হয়েছে। এতে গুণফলের কোনো পরিবর্তন হয় না।
২.পূর্ণ সংখ্যাকে দশমিক ভগ্নাংশ দিয়ে গুণ করার নিয়ম:
পূর্ণ সংখ্যাকে দশমিক ভগ্নাংশ দিয়ে গুণ করার ক্ষেত্রেও পূর্বে উল্লিখিত নিয়ম অনুসরণ করা হয়। যেমন: ৩৫×২.২১৫=কত?
সমাধান: ৩৫×২.২১৫ = ২.২১৫×৩৫
এখন, ২২১৫×৩৫=৭৭৫২৫
মূল সমাধানঃ ৩৫×২.২১৫ = ৭৭.৫২৫
৩.দশমিক ভগ্নাংশকে ১০, ১০০ দিয়ে গুণ করার নিয়ম:
দশমিক ভগ্নাংশকে ১০, ১০০ দিয়ে গুণ করার ক্ষেত্রে গুণকের ১ এর ডানে যতগুলো শূন্য ‘০’ থাকে গুণ্যের দশমিক বিন্দু এতঘর ডানে সরালেই গুণফল পাওয়া যায়। যেমন: উদাহরণ (১) ৬.৩২×১০০ = ৬৩২ উদাহরণ (২) ৩৮.০০৫×১০ = ৩৮০.০৫ উদাহরণ (৩) ০.০০০৩×১০০০ = ০.৩
এখানে লক্ষ করো উদাহরণ (১) এ ৬.৩২ কে ১০০ দিয়ে গুণ করার সময় দেখা গেল গুণকের ১ এর ডানে দুটি ‘০’ রয়েছে। তাই গুণফল লেখার সময় গুন্য ৬.৩২ এর দশমিক বিন্দুটি দুই ঘর ডানে সরিয়ে ৬৩২ পাওয়া গেল। অর্থাৎ ৬.৩২ কে ১০০ দিয়ে গুণ করলে গুণফল হবে ৬৩২। একইভাবে উদাহরণ ২ ও ৩ এর সমাধান করা হয়েছে।
৪.দশমিক ভগ্নাংশকে দশমিক ভগ্নাংশ দিয়ে গুণ করার নিয়ম:
দশমিক ভগ্নাংশকে দশমিক ভগ্নাংশ দিয়ে গুণ করার ক্ষেত্রে প্রথমে দশমিক বিন্দু বর্জন করে পূর্ণ সংখ্যার গুণের মতো সাধারণভাবে গুণ করতে হয়। এরপর গুন্য ও গুণকের দশমিক বিন্দুর ডান পাশে যতগুলো অঙ্ক রয়েছে গুণফলের ডানদিক থেকে তত ঘর পূর্বে দশমিক বিন্দু বসিয়ে দিলে গুণফল পাওয়া যায়। যেমন ০.৬৪×০.৪৩=কত?
এই দশমিক ভগ্নাংশের গুণটি সমাধান করতে পারি এভাবে-
সমাধান: ০.৬৪×০.৪৩
এখানে,৬৪×৪৩ = ২৭৫২
মূল সমাধানঃ ০.৬৪×০.৪৩ = ০.২৭৫২
দশমিক ভগ্নাংশের ভাগ
১.দশমিক ভগ্নাংশকে পূর্ণ সংখ্যা দিয়ে ভাগ
২.পূর্ণ সংখ্যাকে দশমিক ভগ্নাংশ দিয়ে ভাগ
৩.দশমিক ভগ্নাংশকে ১০, ১০০ দিয়ে ভাগ
৪.দশমিক ভগ্নাংশকে দশমিক ভগ্নাংশ দিয়ে ভাগ
১.দশমিক ভগ্নাংশকে পূর্ণ সংখ্যা দিয়ে ভাগ করার নিয়ম:
সাধারণত দশমিক ভগ্নাংশকে পূর্ণ সংখ্যা দিয়ে ভাগ করার সময় সাধারণ ভাগের নিয়মই অনুসরণ করা হয়। তবে দশমিক ভগ্নাংশকে পূর্ণসংখ্যা দিয়ে ভাগ করতে গিয়ে যখনই দশমিক বিন্দুর পরের অঙ্ক নেওয়া হয়, তখনই ভাগফলে দশমিক বিন্দু দেয়া হয়। যেমন ২৪.৩৬ কে ১২ দিয়ে ভাগ করতে বলা হলো। এই ক্ষেত্রে সমাধানটি কেমন হবে:
প্রশ্ন: ২৪.৩৬ ÷ ১২
সমাধান:
লক্ষ করেনঃ এখানে ভাগ করার সময় ভাজ্য দশমিক ভগ্নাংশ ২৪.৩৬ কে সাধারণ ভাগের মতোই পূর্ণ সংখ্যা ১২ দিয়ে ভাগ করা হয়েছে। কিন্তু যখনই ভাজ্যের দশমিকের পরের অংক ৩ নামানো হয়েছে তখনই ভাগফলের ঘরে একটি দশমিক দিতে হয়েছে।তারপর ১২ দিয়ে ৩ কে ভাগ করতে না পারায় ভাগফলের ঘরে আরেকটি শুন্য দিয়ে ৬ কে নামানো হয়েছে।এভাবেই ভাগটি শেষ হয়েছে।
২.পূর্ণ সংখ্যাকে দশমিক ভগ্নাংশ দিয়ে ভাগ করার নিয়ম:
ভাজক ও ভাজ্যকে একই সংখ্যা দ্বারা গুণ করে দশমিক বিন্দুকে এমনভাবে ডানে সরানো হয় যাতে উভয়েই পূর্ণসংখ্যা হয়। পরিবর্তিত ভাজ্যকে পরিবর্তিত ভাজক দিয়ে ভাগ করে ভাগফল নির্ণয় করা হয়।যেমন -
৩৫ ÷ ২.২১৫ = কত?
সমাধান:
লক্ষ করেনঃ এখানে ভাগ করার সময় ভাজকের ঘরে দশমিকের পর ৩টি সংখ্যা রয়েছে বিধায় ভাজ্যের ঘরে দশমিকের পর কোন সংখ্যা না থাকায় দশমিক দিয়ে ৩টি শুন্য দেয়া হয়েছে।অতঃপর ভাগ প্রক্রিয়ায় ভাজ্য এবং ভাজক ঊভয়ের ক্ষেত্রেই দশমিকের পর ঘর সংখ্যা সমান হল।তারপর স্বাভাবিক ভাগের মতই কাজটি করা হয়েছে।
৩.দশমিক ভগ্নাংশকে ১০, ১০০ দিয়ে ভাগ করার নিয়ম:
দশমিক ভগ্নাংশকে ১০, ১০০ দিয়ে গুণ করার ক্ষেত্রে ভাজকের ১ এর ডানে যতগুলো শূন্য ‘০’ থাকে ভাজ্যের দশমিক বিন্দু এতঘর বামে সরালেই ভাগফল পাওয়া যায়। যেমন: উদাহরণ (১) ৬.৩÷১০০= ০.০৬৩২ উদাহরণ (২) ৩৮.০০৫÷১০=৩.৮০০৫ উদাহরণ (৩) ২৫৭৮.৫÷১০০০=২.৫৭৮
এখানে লক্ষ করেন উদাহরণ (১) এ ৬.৩২ কে ১০০ দিয়ে ভাগ করার সময় দেখা গেল ভাজকের ১ এর ডানে দুটি ‘০’ রয়েছে। তাই ভাগফল লেখার সময় ভাজ্য ৬.৩২ এর দশমিক বিন্দুটি দুই ঘর বামে সরিয়ে ০.০৬৩২ পাওয়া গেল। অর্থাৎ ৬.৩২ কে ১০০ দিয়ে ভাগ করলে ভাগফল হবে ০.০৬৩২। একইভাবে উদাহরণ ২ ও ৩ এর সমাধান করা হয়েছে।
৪.দশমিক ভগ্নাংশকে দশমিক ভগ্নাংশ দিয়ে ভাগ করার নিয়ম:
দশমিক ভগ্নাংশকে দশমিক ভগ্নাংশ দিয়ে ভাগ করার ক্ষেত্রে দশমিক বিন্দু বর্জন করে পূর্ণ সংখ্যার ভাগের মতো সাধারণভাবে ভাগ করতে হয়। এরপর ভাজ্য ও ভাজকের দশমিক বিন্দুর ডান পাশে কতগুলো অঙ্ক রয়েছে তা দেখতে হয়।যদি ভাজ্য ও ভাজকের দশমিক বিন্দুর ডান পাশে অংকগুলোর সংখ্যা সমান না হয় তাহলে যে ঘরে কম রয়েছে সেই ঘরে শুন্য দিয়ে সমান করে নিতে হয়। ভাগফলের ঘরে একবার দশমিক বসানোর পর ভাগ করা সম্ভব না হলে ভাজ্যের ঘরে একবার একটি বোনাস শুন্য বসানো যায়।
এই দশমিক ভগ্নাংশের ভাগটি সমাধান করতে পারি এভাবে-
১। ০.০৬৭৮ কে ০.৮৫ দ্বারা ভাগ করলে ভাগফল কত?
ক) ০.০০০২০৮২৫ খ) ০.০৭৯৭৬৪৭ গ) ০.০৬৯৭৬৪ উত্তরঃ খ
সমাধান:
ধাপ-১: ০.৮৫) ০.০৬৭৮(
ধাপ-২: ০.৮৫০০) ০.০৬৭৮(
ধাপ-৩: ০.৮৫০০) ০.০৬৭৮০(০.
ধাপ-৪: ০.৮৫০০) ০.০৬৭৮০০(০.০
ধাপ-৫: ০.৮৫০০) ০.০৬৭৮০০(০.০৭
৫৯৫০০
৮৩০০
মূল সমাধান: