বিন্যাস ও সমাবেশ- এ টু জেড আলোচনা

বৈচিত্র্যময় পৃথিবী তথা সৌরজগতের গ্রহ ও নক্ষত্ররাজির অবস্থান বিচিত্রভাবে সাজানো যায়। এই বৈচিত্রময় সাজানো সম্পর্কে জানতে কৌতুহলী হয়েই বিন্যাস ও সমাবেশের ধারণার সৃষ্টি হয়েছে। ক্রম বিবেচনা করে সাজানোর প্রক্রিয়া হলো বিন্যাস এবং ক্রম উপেক্ষা করে সাজানোর প্রক্রিয়া হলো সমাবেশ। ভারতীয় গণিতবিদ ও জ্যোতির্বিদ ভাস্কারা -II (Bhaskara-II) 1150 সালে সর্বপ্রথম n সংখ্যক বস্তুর বিন্যাস সংখ্যা নির্ণয়ের সূত্র প্রদান করেন। ফেবিয়ান স্টেডম্যান (Febian Stedman ) 1677 সালে ফ্যাকটোরিয়াল সম্পর্কে ধারণা প্রদান করেন। ভারতীয় চিকিৎসক সুশ্রুতা (Sushruta) খ্রীষ্টপূর্ব ষষ্ঠ শতাব্দীতে সর্বপ্রথম Combinatorics-এর ধারণা দেন। গণিতের বিভিন্ন ক্ষেত্রে বিন্যাস ও সমাবেশের ধারণার বিশেষ অবদান রয়েছে। এই আর্টিকেলে আমরা বিন্যাস ও সমাবেশ সম্পর্কিত বিগত সালের প্রশ্ন বিশ্লেষণ করতে করতে বিন্যাস ও সমাবেশ শিখার চেষ্টা করব ।

• প্রাথমিক আলোচনা
• বিন্যাস কি ?
• বিন্যাসের সুত্র
• Factorial (!) কী ও কেন?
• সাধারণ বিন্যাস
• পুণরাবৃত্তি না করার বিন্যাস
• যখন কয়েকটি উপাদান একই হয়
• নির্দিষ্ট কোন উপাদান নির্দিষ্ট স্থানে অথবা পাশাপাশি রাখতে বললে
• বিভিন্ন শর্ত প্রয়োগ করে বিন্যাস
• পাশাপাশি রেখে বিন্যাস
• একসাথে না রেখে বিন্যাস
• পুণরাবৃত্তির বিন্যাস
• সাধারণ সংখ্যা গঠন
• শূন্য যুক্ত সংখ্যা গঠন
• সমাবেশ (Combination)
• বিন্যাস বনাম সমাবেশ (Permutation Vs Combination)
• বিন্যাস ও সমাবেশের মধ্যকার মৌলিক পার্থক্য
• করমর্দন ও খেলার সংখ্যা
• কমিটি বা দল গঠন
• কখন গুণ (×) আর কখন যোগ (+)
• সমাবেশের বিবিধ

প্রাথমিক আলোচনা

যে কোন ধরনের এলোমেলো কোন কিছুকে সুন্দরভাবে সাজানোর পদ্ধতিকে বিন্যাস বলে। বিন্যাসের সব থেকে গুরুত্বপূর্ণ ব্যবহার হচ্ছে নির্দিষ্ট কয়েকটি সংখ্যা বা ডিজিট ব্যবহার করে অসংখ্য নতুন নতুন নম্বর তৈরী করা। এখানে খুব সহজভাবে বাস্তবতার সাথে মিলিয়ে এই অধ্যায়টি এমনভাবে আলোচনা করা হয়েছে, যে কেউ শেষ পর্যন্ত বুঝে বুঝে পড়লে আশা করি নিজে থেকেই বিন্যাস সংক্রান্ত সব প্রশ্নের উত্তর দিতে পারবেন। পূর্ণ মনযোগ দিয়ে সম্পূর্ণ অধ্যায়টি পড়ার চেষ্টা করুন।

বিন্যাস কি ?

কতগুলি বস্তু থেকে কয়েকটি বা সবকটি অথবা নির্দিষ্ট কয়েকটি প্রতিবারে নিয়ে যত ভাবে বিন্যস্ত করা বা সাজানো যায় তাদের প্রত্যেকটিকে এক একটি বিন্যাস বলে ।

উদাহরণ: মনে করি A, B, C, তিনটি বর্ণ। একসাথে সবকটি বর্ণ নিয়ে সাজানো যায়। ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA মোট ৬ ভাবে। যাদের প্রতিটিকে এক একটি বিন্যাস বলে ।

সুতরাং উপরোক্ত উদাহরণ থেকে বুঝা যায় সবকটি ঘটনাই এক একটি বিন্যাস বা সাজানোর ব্যবস্থা তাহলে মোট সাজানোর ব্যবস্থা হলো ৬ টি।

উদাহরণ: মনে করি A,B,C তিনটি বর্ণ। একসাথে দুইটি বর্ণ করে নিয়ে সাজানো যায়। AB, BA, AC, CA, BC, CB .

বাস্তবে প্রয়োগ :

ছাত্র-ছাত্রীদের রোল নম্বর, গাড়ীর লাইসেন্স, মোবাইল নম্বর, ভোটার আইডি কার্ডের নম্বর ০ থেকে ৯ পর্যন্ত ১০ টি ডিজিট নিয়েই কোটি কোটি সংখ্যা বানানো হয়, যার একটির সাথে অন্য কোনটির মিল নেই। এগুলো সবগুলোই বিন্যাসের নিয়ম অনুসারে তৈরী করা হয়।

বিন্যাসের সুত্র

n সংখ্যক বিভিন্ন বস্তু হতে প্রতিবারে r সংখ্যক বস্তু নিয়ে মোট সাজানোর ব্যবস্থা বের করার সূত্র হলো:

$n_{P_{\mathrm{r}}}=\frac{\mathrm{n!}}{(n-r)!}$ [ এখানে n = মোট উপাদান , r = মোট উপাদানের মধ্যে যতটি উপাদান নিয়ে বিন্যাস করতে হয়। ]

সুত্রের ব্যাখ্যা: এখানে n! অর্থ হলো n এর সাথে তার নিচের সকল ক্রমিক সংখ্যার গুণফল। যেমন: ধরি n এর মান 5 এবং r এর মান 2। তাহলে মানগুলো বসিয়ে সুত্রটি নিম্নোক্ত নিয়মে ব্যবহার করতে হবে,

$5_{P_2}=\frac{\mathrm{5!}}{(5-2)!}=\frac{\mathrm{5!}}{\mathrm{3!}}=\frac{\mathrm{5\times 4\times 3\times 2\times 1}}{\mathrm{3\times 2\times 1}}$

অথবা $\frac{\mathrm{5!}}{\mathrm{3!}}=\frac{\mathrm{5\times 4\times 3!}}{\mathrm{3!}}$ [ এখন উপরের ও নিচের 3! কে কেটে দিলে শুধু 5×4 = 20 থাকে ।

বি:দ্র: এক্ষেত্রে মনে রাখতে হবে ঘটনাবলি পুণরাবৃত্তি হয় না ।

Factorial (!) কী ও কেন?

Factorial (!) হচ্ছে কোন ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার গুণন বিধি যা ১ করে কমে ক্রমান্বয়ে গুণ হয়ে ১ পর্যন্ত হবে। যেমন, ২! = ২×১, ৩! = ৩×২×১, ৪! = ৪×৩×২×১ এবং ৫ ! = (৫×৪×৩×২×১) = ১২০; ইত্যাদি।

অবশ্যই মনে রাখুন: 0! = 1 (কারণ বড় সংখ্যার ফ্যাক্টোরিয়ালকে ঐ সংখ্যা দিয়ে ভাগ করলে তার আগের সংখ্যার ফ্যাক্টোরিয়াল আসে। যেমন: ৬! = ৭২০ তাই ৭২০÷৬ = ১২০ হলো ৫! এর মান। তাই ১! = ১ এর ১ কে ১ দিয়ে ভাগ করলে আবার ১ ই হয় যা ১ এর পূর্ববর্তী সংখ্যা ০! এর মান। সুতরাং ০! = ১ লিখা হয়।)

এখানে ১ করে কমে যায় কেন?
ধরুন, আপনার হাতে তিনটি হ্যাঙ্গার আছে । যেখানে আপনি তিনটি ভিন্ন শার্ট সাজিয়ে রাখবেন ।
=> প্রথম হ্যাঙ্গারটিতে তিনটি শার্টের যে কোন একটি ঝোলানো যাবে ৩ ভাবে, অর্থাৎ এখানে অপশন আছে ৩টি।
=> দ্বিতীয় হ্যাঙ্গারটিতে অবশিষ্ট দুটি শার্টের মধ্য থেকে একটিকে ঝোলানোর অপশন আছে দুটি অর্থাৎ দুভাবে। (কারণ আগে একটি চলে গেছে)
=> সর্বশেষ হ্যাঙ্গারটিতে মাত্র একটি শার্ট একভাবেই ঝোলানোর উপায় আছে ।
অর্থাৎ একটি করে নেয়ার পর একটি করে অপশন কমতে থাকে বলে এই নিয়মটি লিখতে হয় ৩×২×১ = ৬ ভাবে। যাকে ফ্যাক্টোরিয়াল আকারে লিখলে লিখতে হবে ৩! ।

সাধারণ বিন্যাস

কিছু প্রশ্ন আছে যেগুলো বিন্যাসের সুত্র ছাড়াই মুখে মুখে করা যায়। যেমন:

১. শাহাবাগ থেকে ফার্মগেটে যাওয়ার তিনটি ভিন্ন রাস্তা আছে, আবার ফার্মগেট থেকে বনানীর ৪টি ভিন্ন রাস্তা আছে। শাহবাগ থেকে ফার্মগেট হয়ে বনানী যাবার কয়টি ভিন্ন রাস্তা আছে? [ SBL (PO) – 2013 ]

(ক) ১০ (খ) ১২ (গ) ১৩ (ঘ) ১৪

উত্তরঃ (খ) ১২

Explanation:
ধরুন, শাহবাগ থেকে ফার্মগেট যাওয়ার রাস্তা ৩টির নাম হলো, ক, খ ও গ । আবার ফার্মগেট থেকে বনানী যাওয়ার রাস্তা চারটির নাম হলো ১, ২, ৩ এবং ৪ । তাহলে যদি কেউ শুধু ক রাস্তা দিয়ে শাহবাগ থেকে ফার্মগেটে আসার পর ১, ২, ৩, এবং ৪ নং রুটের যে কোন এক পথে যায় তাহলে ক রাস্তার রুট গুলো হবে, ক১, ক২, ক৩ এবং ক৪ । এভাবে খ দিয়েও ৪টি এবং গ দিয়েও ৪টি হবে। তাহলে শাহবাগ থেকে ফার্মগেট হয়ে বনানী যাওয়ার মোট রাস্তা হবে ৩×৪ = ১২টি।

২. ঢাকা হতে বরিশাল যাবার পথ ৩টি এবং বরিশাল হতে খুলনা যাবার পথ ৫টি হলে, কত উপায়ে ঢাকা হতে বরিশাল হয়ে খুলনায় যাওয়া যাবে? ....

(ক) ১০ (খ) ১২ (গ) ১৩ (ঘ) ১৫

উত্তরঃ (ঘ) ১৫

Explanation:
ঢাকা হতে খুলনায় যেতে পারবে = ৩ × ৫ = ১৫ উপায়ে

৩. একটি শ্রেণিকক্ষে ৩টি দরজা আছে। কতভাবে একজন শিক্ষক কক্ষে ঢুকতে ও বের হতে পারবেন? ...

(ক) ৩ (খ) ৬ (গ) ৯ (ঘ) ১২

উত্তরঃ (গ) ৯

Explanation:
যেহেতু তিনটি দিয়ে ঢুকবে তাহলে ঐ তিনিটির ভিন্ন ভিন্নটি দিয়ে বের হতে পারবে এবং ঢোকার সময় ও ভিন্ন ভিন্ন দরজা দিয়ে ঢুকবে। তাই মোট ৩×৩ = ৯ ভাবে ঢুকতে ও বের হতে পারবেন ।

৪. একটি শ্রেণিকক্ষে ৩টি দরজা আছে। কতভাবে একজন শিক্ষক এক দরজা দিয়ে ঢুকে অন্য দরজা দিয়ে বের হতে পারেন? ...

(ক) ৬ (খ) ৮ (গ) ৭ (ঘ) ৫

উত্তরঃ (ক) ৬

Explanation:
এখানে যেহেতু অন্য দরজা দিয়ে বের হওয়ার কথা বলা হয়েছে তাই যে দরজা দিয়ে ঢুকবে সে দরজা দিয়ে বের হওয়া যাবে না । অর্থাৎ ঢোকার সময় ৩টির যে কোনটি দিয়ে ঢোকা গেলেও বের হওয়ার সময় একটি অপশন কমে ২টি হয়ে যাবে। তাই উত্তরটি হবে ৩×২ = ৬টি।

পুণরাবৃত্তি না করার বিন্যাস

যদি একটি উপাদানকে একের অধিকবার ব্যাবহার করা না যায় তাহলে নিম্নোক্ত কয়েকটি নিয়মে বিন্যাস করতে হয়:

যখন সব উপাদান ভিন্ন:

যখন সব উপাদান ভিন্ন তখন Permutation, দুটি বিষয়ের উপর নির্ভর করে। ১. এর উপাদান সংখ্যা ও ২. কতটি উপাদান নিতে হবে। এক্ষেত্রে উপাদান সংখ্যা n(মোট উপাদানকে n দ্বারা প্রকাশ করা হয়) এবং r সংখ্যক উপাদান নিতে হলে, বিন্যাস সংখ্যা $n_{P_{\mathrm{r}}}$ , যা ব্যাখ্যা করে দাঁড়ায় n, 1 করে কমে r ধাপ পর্যন্ত।

Formula of Permutation
= $n_{P_{\mathrm{r}}}=\frac{\mathrm{n!}}{(n-r)!}$ [ এখানে n = মোট উপাদান , r = মোট উপাদানের মধ্যে যতটি উপাদান নিয়ে বিন্যাস করতে হয়। ]

৫. ১, ২, ৩, ৪, এ চারটি সংখ্যা থেকে ৪ অংকের কতগুলি সংখ্যা গঠন সম্ভব?

সমাধান: এক্ষেত্রে যেহেতু সংখ্যা ৪ অংকের (৪ উপাদান নিতে হবে বলে) সেহেতু এদের ধাপে ধাপে ৪ ধাপ পর্যন্ত সাজাতে হবে। এখানে যা হবে, ${৪}_{P_{\mathrm{৪}}}$ = ৪! বা ৪ × ৩ × ২ × ১

কিন্তু যদি বলে ২ অঙ্কের কতগুলি সংখ্যা গঠন সম্ভব? তখন পর পর বা ধাপে দুটি option নিতে হবে যা হবে ${৪}_{P_{\mathrm{২}}}$ অথবা = 8 ×৩, অতএব এটি দু'ধাপ পর্যন্ত।

বিঃদ্রঃ এখানে কোন উপাদান একাধিকবার নেই তাই এই সূত্র প্রয়োগ করা হয়েছে।

৬. A, B, C প্রতিবারে তিনটি করে বর্ণ একসাথে নিয়ে কত প্রকারে সাজানো যায় নির্ণয় কর ৷

ক. ৩
খ. ৬
গ. ৯
ঘ. ১২
উত্তর: খ
সমাধান: মোট বর্ণ n = 3 তিনটি বর্ণএকসাথে নিতে হবে যেমন: n = 3 এখানে r = 3
$n_{P_{\mathrm{r}}}=\frac{\mathrm{n!}}{(n-r)!}$
$=\frac{\mathrm{3!}}{(3-3)!}$
$=\frac{\mathrm{3!}}{\mathrm{0!}}$
$=\frac{\mathrm{3\times 2\times 1}}{1}$
$=6$

৭. A, B, C প্রতিবারে দুইটি বর্ণ একসাথে নিয়ে কত প্রকারে সাজানো যায় নির্ণয় কর। [পুনরাবৃত্তি না ঘটিয়ে]

সমাধান: এখানে মোট বর্ণ n = 3 আবার দু'টি করে বর্ণএকসাথে নিতে হবে। তাই r = 2
$n_{P_{\mathrm{r}}}=\frac{\mathrm{n!}}{(n-r)!}$
$=\frac{\mathrm{3!}}{(3-2)!}$
$=\frac{\mathrm{3!}}{\mathrm{1!}}$
$=\frac{\mathrm{3\times 2\times 1}}{1}$
$=\mathrm{3\times 2\times 1}$
$=6$

Effective Shortcut: এরকম বিন্যাসের প্রশ্নগুলোতে যদি কখনো n এর মান এবং r এর মান সমান সমান হয় অথবা n এর মানের থেকে r এর মান ১ কম হয় তাহলে নিচে কোন কিছু না লিখে সরাসরি উপরে n! লিখে হিসেব করা যায় । কেননা নিচে 0! অথবা 1! = 1 হয় এবং নিচে 1 আসলে উপরের উত্তরটিই উত্তর হবে। যেমন:

৮. Table, শব্দটিকে কতভাবে সাজানো যায়? [ এভাবে বললে কোন শর্ত না থাকলে বুঝতে হবে সবগুলো বর্ণ নিতে হবে।]

ক. ১০০
খ. ১১০
গ. ১২০
ঘ. ১২৫
উত্তর: গ
সমাধান: 5! = 5×4×3×2×1 = 120 (কারণ সুত্র প্রয়োগ করে কাটাকাটি করে 5! ই থাকবে)
অথবা সরাসরি 5! = 120 ।

৯. A, B, C, D চারটি বর্ণ । বর্ণ চারটি হতে পূনরাবৃত্তি না ঘটিয়ে তিনটি করে বর্ণ নিয়ে সাজানোর ব্যবস্থা নির্ণয় কর।

ক. ১২
খ. ১৬
গ. ১৮
ঘ. ২৪
উত্তর: ঘ
সমাধান: মোট বর্ণ n = 4 প্রতিবারে নিতে হবে 3 টি বর্ণ r = 3 (এখানে কতটি বর্ণ নিতে হবে তা বলে দেয়া আছে) মোট সাজানোর ব্যবস্থা = $n_{P_{\mathrm{r}}}=\frac{\mathrm{n!}}{(n-r)!}$
$=\frac{\mathrm{4!}}{(4-3)!}$
$=\frac{\mathrm{4!}}{\mathrm{1!}}$
$=\frac{\mathrm{4\times 3\times 2\times 1}}{1}$
$=\mathrm{4\times 3\times 2\times 1}$
$=24$
অথবা সরাসরি 4! = 24 ।

কিছু গুরুত্বপূর্ণ ফ্যাক্টোরিয়াল সংখ্যার মান মুখস্ত রাখলে খুব দ্রুত হিসেব করা সম্ভব হবে।
0!= 1, 1!= 1, 2! = 2, 3! = 6, 4!= 24, 5!= 120, 6!= 720, 7!= 5040

১০. 2, 3, 4, 5, 6, 7, ও 8 এই অঙ্কগুলির প্রত্যেকটিকে প্রত্যেকের সংখ্যায় একবার মাত্র ব্যবহার করে চার অঙ্কের কতগুলি পৃথক সংখ্যা গঠন করা যেতে পারে।

মোট সংখ্যা n = 7 নিতে হবে 4 টি করে অর্থাৎ r = 4
মোট সাজানোর ব্যবস্থা = $n_{P_{\mathrm{r}}}$
$=\frac{\mathrm{n!}}{(n-r)!}$
$=\frac{\mathrm{7!}}{(7-4)!}$
$=\frac{\mathrm{7!}}{\mathrm{3!}}$
$=\frac{\mathrm{7\times 5\times 6\times 4\times 3\times 2\times 1}}{\mathrm{3\times 2\times 1}}$
$=\mathrm{7\times 6\times 5\times 4}$
$=840$

যখন কয়েকটি উপাদান একই হয়

একই উপাদান একাধিকবার আসলে যেমন: DHAKA শব্দের বিন্যাস আগের নিয়মে হবে না, কারণ এখানে দুটি A আছে। এরকম বিন্যাসের ক্ষেত্রে নিচের সুত্রটি প্রয়োগ করতে হয়।
যখন কোন উপাদান রিপিট হয় অর্থাৎ কয়েক বার আসে তখন এই সুত্র প্রয়োগ করতে হয় ।
Repetition Formula = n! p!×q!×r! [ এখানে n হলো মোট উপাদান সংখ্যা আর p, q, r, হলো একাধিকবার ব্যবহৃত উপাদান সংখ্যা ]

কিছু উদাহরণ দেখে আরো ক্লিয়ার হওয়া যাবে। নিচের শব্দগুলোর বিন্যাস সংখ্যা বের করুন।
1) DHAKA
2) CANADA
3) MISSISSIPPI

1) DHAKA শব্দটিতে মোট 5 টি বর্ণআছে যার মধ্যে A আছে 2 টি এবং বাকীগুলো স্বতন্ত্র
নির্ণেয় বিন্যাস সংখ্যা = 5! 2!
= 5×4×3×2×1 2×1
= 5×4×3
= 60

2) CANADA শব্দটিতে মোট অক্ষর আছে ৬ টি এর মধ্যে A আছে ৩ টি
সুতরাং নির্ণেয় বিন্যাস সংখ্যা = 6! 3!
= 6×5×4×3×2×1 3×2×1
= 6×5×4
= 120

3) MISSISSIPPI শব্দটিতে মোট অক্ষর আছে ১১ টি, এর মধ্যে S আছে ৪ টি, I আছে ৪ টি P আছে ২ টি
সুতরাং নির্ণেয় বিন্যাস সংখ্যা = 11! 4!×4!×2!
= 11×10×9×8×7×6×5×4×3×2×1 4×3×2×1×4×3×2×1×2×1
= 11×10×9×8×7×6×5 4×3×2×1×2×1
= 1,663,200 48
= 34,650 [p, q, r, এর ব্যাবহার এভাবে হয় । ]

4) FREEDOM শব্দটির সবগুলোর বর্ণ একত্রে নিয়ে কত প্রকারের সাজানো যায়?
FREEDOM শব্দটিতে মোট বর্ণ আছে 7টি এদের মধ্যে E আছে 2টি
.:. সবগুলো বর্ণ নিয়ে বিন্যাস = 7! 2!

5) CALCUTTA শব্দটির বর্ণগুলোকে একত্রে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা AMERICA শব্দটির বর্ণগুলো একত্রে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যার কত গুণ?
AMERICA শব্দটিতে 7 টি বর্ণ আছে যাদের মধ্যে ২টি A রয়েছে। সবগুলো বর্ণ একত্রে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা
= 7! 2!
7×6×5×4×3×2×1 2×1
5040 2
= 2520

আবার CALCUTTA শব্দটিতে ৮ টি বর্ণ আছে যাদের মধ্যে A, C ও T 2 টি করে বিদ্যমান ।
সবগুলো বর্ণ একত্রে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা
= 8! 2!×2!×2!
= 8×7×6×5×4×3×2×1 2×1×2×1×2×1
= 8×7×6×5×4×3 2×1×2×1
= 20160 4
= 5040
সুতরাং AMERICA শব্দটির বিন্যাস থেকে CALCUTTA শব্দটির বিন্যাস সংখ্যা ৫০৪০÷২৫২০ = ২ গুণ বেশি ।

নির্দিষ্ট কোন উপাদান নির্দিষ্ট স্থানে অথবা পাশাপাশি রাখতে বললে

১১. Apu শব্দটির বর্ণগুলো নিয়ে কতগুলো বিন্যাস সংখ্যা নির্ণয় করা যায় যেন প্রত্যেক বিন্যাসের প্রথমে Vowel থাকে? ..

(ক) ৪ (খ) ৬ (গ) ৭ (ঘ) ৮

উত্তরঃ (ক) ৪

Explanation:
এখানে Apu শব্দটিতে মোট তিনটি বর্ণ আছে। আবার কোনটিই দুবার নেই । তাই এদের বিন্যাস সংখ্যা হবে । ৩! বা ৩×২ = ৬টি। এখন বাস্তবে ভাবুন। তিনটি অক্ষর দিয়ে যদি মোট ৬টি বিন্যাস করা যায়। তাহলে প্রতি ১ টি দিয়ে ৬÷৩ = ২টি করে বিন্যাস সাজানো যায়। আবার Apu শব্দটিতে যেহেতু দুটি স্বরবর্ণ যথা: A ও U দিয়ে মোট বিন্যাস হবে ২×২ = ৪টি। যেমন: Apu, Aup, upa, uap তাই উত্তর: ৪। কিন্তু এই প্রশ্নটিতেই যদি বলা হত প্রথমে Vowel থাকবে না এরকম বিন্যাস সংখ্যা কয়টি হবে? তখন উত্তর হত ২টি যে দুটি P দিয়ে শুরু হয়। যেমন: pau, pua.

১২. Cap শব্দটির বর্ণগুলো নিয়ে কতগুলো বিন্যাস সংখ্যা নির্ণয় করা যায় যেন প্রত্যেক বিন্যাসের প্রথমে একটি স্বরবর্ণ থাকে? ...

(ক) ৪ (খ) ৬ (গ) ৭ (ঘ) ২

উত্তরঃ (ঘ) ২

Explanation:
এখানে Cap শব্দটিতে মোট তিনটি বর্ণ আছে। আবার কোনটিই দুবার নেই । তাই এদের বিন্যাস সংখ্যা হবে । ৩! বা ৩×২ = ৬টি। এখন বাস্তবে ভাবুন। তিনটি অক্ষর দিয়ে যদি মোট ৬টি বিন্যাস করা যায়। তাহলে প্রতি ১ টি দিয়ে ৬÷৩ = ২টি করে বিন্যাস সাজানো যায়। এখানে স্বরবর্ণ ও ১ টি । তাই প্রথমে একটি স্বরবর্ণ রেখে ৬÷৩ = ২টি করে বিন্যাস সাজানো যাবে।

১৩. ২৭. Nokia' শব্দটির বর্ণগুলো নিয়ে কতগুলো বিন্যাস সংখ্যা নির্ণয় করা যায় যাদের শুরুতে Consonant থাকে? (উল্টো)

(ক) ৪৮ (খ) ২৬ (গ) ২৭ (ঘ) ২৮

উত্তরঃ (ক) ৪৮

Explanation:
Nokia শব্দটিতে মোট ৫টি বর্ণ আছে তাই ৫! = ১২০ ভাবে সাজানো যায়। তাহলে ৫ অক্ষরের প্রতিটি দিয়ে সাজানো যাবে ১২০÷৫ = ২৪ টি করে। এখন Nokia শব্দটিতে যেহেতু দুটি Consonant আছে, তাই Consonant দিয়ে শুরু হবে মোট ২৪×২ = ৪৮টি বিন্যাস। উত্তর: ৪৮টি।
(বড় বড় বিন্যাস আসলেও নিয়ম একই)

১৪. Courage' শব্দটির বর্ণগুলো নিয়ে কতগুলো বিন্যাস সংখ্যা নির্ণয় করা যায় যেন প্রত্যেক বিন্যাসের প্রথমে একটি স্বরবর্ণ থাকে?

(ক) ১৭২০ (খ) ২৮৮০ (গ) ৩৬৪০ (ঘ) কোনটিই নয়

উত্তরঃ (খ) ২৮৮০

Explanation:
এখানে Courage শব্দটিতে মোট সাতটি বর্ণ আছে। আবার কোনটিই দুবার নেই । তাই এদের বিন্যাস সংখ্যা হবে । ৭! = ৭×৬×৫×৪×৩×২×১ = ৫০৪০ টি। এখন বাস্তবে ভাবুন। সাতটি অক্ষর দিয়ে যদি মোট ৫০৪০ টি বিন্যাস করা যায়। তাহলে প্রতি ১ টি দিয়ে ৫০৪০÷৭ = ৭২০ টি করে বিন্যাস সাজানো যায়। আবার Courage শব্দটিতে যেহেতু চারটি স্বরবর্ণ যথা: O , U , A ও E দিয়ে মোট বিন্যাস হবে ৭২০×৪ = ২৮৮০ টি।

বিভিন্ন শর্ত প্রয়োগ করে বিন্যাস

১৫ . ‘CALCULUS’ শব্দটির বর্ণগুলোর সবগুলো একত্রে নিয়ে কত প্রকারে সাজানো যায় যেন প্রথম ও শেষ অক্ষর ‘u’ থাকে?

(ক) 120 (খ) 180 (গ) 60 (ঘ) 720

উত্তরঃ (খ) 180

Explanation:
‘CALCULUS’ শব্দটির মধ্যে মোট ৮টি অক্ষর আছে । শর্তানুযায়ী প্রথম ও শেষে u থাকবে তাহলে এদেরকে বিন্যাসের বাইরে রাখতে হবে। সুতরাং অবশিষ্ট ৬টি স্থানে বাকি ৬টি অক্ষর দ্বারা পূরণ করতে হবে। যেহেতু বাকি ৬টি অক্ষরের মধ্যে ২টি c, ২টি I এবং অন্যগুলো ভিন্ন, ভিন্ন, সুতরাং ৬টি অক্ষরের সবগুলো একত্রে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা = 6! 2!2! = 180
:: প্রদত্ত শর্ত অনুযায়ী অক্ষরগুলোকে 180 প্রকারে সাজানো যাবে ।

১৬. Admission শব্দটির A ও d কে দুই প্রান্তে রেখে কত প্রাকারে সাজানো যেতে পারে? ...

(ক) 240 (খ) 2720 (গ) 2520 (ঘ) 2620

উত্তরঃ (গ) 2520

Explanation:
A ও d কে যেহেতু দু প্রান্তে রাখতে হবে তাই এই দুটি সংখ্যা বাদ দিয়ে অন্য 7 টি অক্ষর বিন্যাস করা যায় = 7! 2!2! = 1260 ভাবে।
আবার, A ও d কে নিজেদের মধ্যে বিন্যাস করা যায় = 2! = 2 ভাবে ।
[কারণ শুরুতে যেমন: A এবং শেষে d আসতে পারে ঠিক তেমনি শেষে A এবং শুরুতে d দেয়া যায়। অর্থাৎ তাদের নিজেদের মধ্যে দুভাবে বিন্যাস হবে]
সুতরাং সর্বমোট সাজানো সংখ্যা = 1260×2 = 2520

১৭. PERMUTATION শব্দটি Vowel গুলোর অবস্থান পরিবর্তন না করে কত প্রকারে পুণরায় সাজানো যায়? ..

(ক) 360 (খ) 359 (গ) 355 (ঘ) 361

উত্তরঃ (খ) 359

Explanation:
অবস্থান পরিবর্তন করা যাবে না বলতে বোঝায় Vowel গুলো যে জায়গায় আছে সেই জায়গাতেই রেখে দিতে হবে । তাহলে Vowel গুলো সূত্রের বাইরে রাখলে তাদের অবস্থান পরিবর্তন হবে না ।
এখন শব্দটিতে Vowel = 5টি, Consonant = 6টি। ৬টির বিন্যাস করতে হবে কিন্তু এদের মধ্যে T আছে ২ বার
সুতরাং 6! 2! = 360 উপায়ে গঠন করা যেতে পারে।
কিন্তু PERMUTATION শব্দটি নিজেই একটি সাজানো সংখ্যা। ( কেননা ঐ ৩৬০টি বিন্যাসের মধ্যে Vowel গুলো অবস্থান স্থির রেখে যতগুলো বিন্যাস হয় তার মধ্যে এই PERMUTATION শব্দটিও একটি। যেহেতু প্রশ্নে পুণরায় সাজানোর সংখ্যা জানতে চাওয়া হয়েছে তাই একে নেয়া যাবে না। )
সুতরাং নির্ণেয় সাজানো সংখ্যা ( 360 – 1 ) = 359

১৮. Cambridge শব্দটির বর্ণগুলো থেকে ৫টি বর্ণ নিয়ে শব্দ গঠন করলে কতগুলোতে প্রদত্ত শব্দটির সবগুলো স্বরবর্ণ থাকবে?

(ক) ১২০০ (খ) ১৪০০ (গ) ১৬০০ (ঘ) ১৮০০

উত্তরঃ (ঘ) ১৮০০

Explanation:
Cambridge শব্দটিতে মোট বর্ণ আছে ৯টি যেখানে স্বরবর্ণ ৩টি (a,i,e) এবং ব্যাঞ্জনবর্ণ = ৬টি (c,m,b,r,d,g)
সুতরাং ৫ টি স্থানের মধ্যে ৩ টি স্থান স্বরবর্ণ দ্বারা পূরণ করার উপায় = $5_{P_3}$ = 60 ভাবে । অবশিষ্ট ৬ টি বর্ণ দ্বারা ২ টি স্থান পূরণ করা যায় = $6_{P_2}$ = 30 ভাবে ।
.:. ৫টি বর্ণ নিয়ে গঠন করা শব্দগুলোর মধ্যে Cambridge শব্দের সবগুলো স্বরবর্ণ (a,i,e) থাকবে এরূপ শব্দের সংখ্যা = 60×30 =1800

১৯. ‘SECOND’ শব্দটির অক্ষরগুলি থেকে ১টি স্বরবর্ণ ও ২টি ব্যঞ্জনবর্ণ নিয়ে কতকগুলি শব্দ গঠন করা যেতে পারে, যাতে স্বরবর্ণ সর্বদা মধ্যম স্থান দখল করবে? ..

(ক) 12 (খ) 18 (গ) 24 (ঘ) 30

উত্তরঃ (গ) 24

Explanation:
‘SECOND’ শব্দটি 2 টি স্বরবর্ণ এবং 4 টি ব্যঞ্জনবর্ণ নিয়ে গঠিত। নতুন যে শব্দ গুলো গঠিত হবে তার মধ্যে 1 টি স্বরবর্ণ এবং 2টি ব্যাঞ্জণবর্ণ থাকতে হবে।
যেহেতু স্বরবর্ণটি মধ্যস্থানে থাকতে হবে, সুতরাং 2টি স্বরবর্ণ হতে তা $2_{P_1}$ =2!=2 ভাবে নেয়া যেতে পারে। পুনরায় 4টি ব্যঞ্জনবর্ণ হতে 2টি ব্যাঞ্জণবর্ণ $4_{P_2}$ = 4.3 = 12 ভাবে নেয়া যেতে পারে ।
সুতরাং নির্ণেয় গঠিত সংখ্যা = 2×12 = 24

২০. ‘EQUATION’ শব্দটির অক্ষরগুলি থেকে চার অক্ষরবিশিষ্ট বিভিন্ন শব্দ গঠন করা হলো ; এদের কতগুলিতে q বর্তমান থাকবে কিন্তু n থাকবে না ? ...

(ক) 280 (খ) 360 (গ) 480 (ঘ) 520

উত্তরঃ (গ) 480

Explanation:
EQUATION' শব্দটিতে ৪টি বিভিন্ন বর্ণ রয়েছে। আমাদেরকে 4টি বিভিন্ন বর্ণের শব্দ এমনভাবে তৈরি করতে হবে যেন গঠিত শব্দগুলোতে একটি নির্দিষ্ট বর্ণ (অর্থাৎ N) থাকবে না। সুতরাং আমাদের ব্যবহার্য বিভিন্ন বর্ণের মোট সংখ্যা (8-1)=7টি ধরা যায়। অপর দিকে আর একটি নির্দিষ্ট বর্ণ (অর্থাৎ Q) প্রতিটি বিন্যাসেই রাখতে হবে। এখন 4টি স্থানের মধ্যে একটি স্থানে একটি নির্দিষ্ট বর্ণ দ্বারা $4_{P_1}$ উপায়ে পূর্ণ করা যায়। অবশিষ্ট 3টি স্থান (7-1) = 6টি বর্ণ দ্বারা $6_{P_3}$ উপায়ে পূর্ণ করা যায় ।
.:. নির্ণেয় সাজানোর সংখ্যা = $4_{P_1}$ × $6_{P_3}$ = 4×6×5×4 = 480

২১. AMERICA শব্দটির বর্ণগুলো থেকে প্রতিবারে ৩টি বর্ণ নিয়ে গঠিত ভিন্ন ভিন্ন শব্দ সংখ্যা কত হবে? [থানা শিক্ষা অফি: ৯৯]

(ক) ১৩০ (খ) ১৩৫ (গ) ১৪০ (ঘ) ১৪৫

উত্তরঃ (খ) ১৩৫

Explanation:
যেহেতু AMERICA শব্দটিতে 7 টি বর্ণ রয়েছে, যার মধ্যে A দুইটি ।
একটি A বাদ দিয়ে 6টি ভিন্ন বর্ণ থেকে প্রতিবারে 3টি বর্ণ নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা = $6_{P_3}$ = 6 × 5 × 4 = 120
আবার, দুইটি A কে ভিন্ন ভিন্ন পাঁচটি বর্ণের প্রতিটির সাথে নিলে 3 বর্ণ শব্দ সংখ্যা = $5_{P_1}\times \frac{\mathrm{3!}}{\mathrm{2!}}$ = 5 × 3 = 15
মোট শব্দ সংখ্যা = 120+15 = 135

পাশাপাশি রেখে বিন্যাস

যখন কয়েকটি বর্ণ অথবা বস্তুকে একসাথে পাশাপাশি রাখতে বলা হয় তখন বিন্যাস করার জন্য নিচের স্টেপগুলো অনুসরণ করতে হবে।
প্রথম কাজ: একসাথে রাখতে বলা বর্ণগুলোকে ১টি ধরে সবগুলো বর্ণের বিন্যাস বের করতে হবে।
দ্বিতীয় কাজ: ঐ একসাথে রাখতে বলা বর্ণগুলোর মধ্যেই আবার বিন্যাস বের করতে হবে ।
শেষ কাজ : প্রথম দুটি কাজ থেকে প্রাপ্ত বিন্যাসের ফলাফল দুটি গুণ করতে হবে।

২২. Vowel গুলি একসাথে রেখে ACCLAIM শব্দটিকে কতভাবে সাজানো যাবে?

(ক) 720 (খ) 120 (গ) 60 (ঘ) 180

উত্তরঃ (ঘ) 180

Explanation:
প্রথম কাজ : Vowel গুলিকে একত্রে রেখে বিন্যাস করা অর্থাৎ CCLM (AAI) = (4+1)! = 5! কিন্তু দুটি C থাকায় নিচে ভাগ করতে হবে 2! দিয়ে অর্থাৎ = 5! 2! = 60
দ্বিতীয় কাজ: (AAI) Vowel গুলির মধ্যেই বিন্যাস করা এখানে Vowel আছে তিনটি কিন্তু তাদের মধ্যে A আছে দুটি তাই Vowel গুলির মধ্যে বিন্যাস সংখ্যা হবে = 3! 2! = 3
তৃতীয় এবং শেষ কাজ: দুই বিন্যাসের গুণফল বের করতে হবে। অর্থাৎ 60×3 = 180। উত্তর: 180 ।

২৩. SCIENCE শব্দটির স্বরবর্ণ গুলোকে একত্রে রেখে সব কয়টি বর্ণকে সম্ভাব্য যত উপায়ে সাজানো যায় তার সংখ্যা নির্ণয় কর।

(ক) ১৪০ (খ) ১৭৬ (গ) ১৭৭ (ঘ) ১৮০

উত্তরঃ (ঘ) ১৮০

Explanation:
SCIENCE শব্দটিতে বর্ণসংখ্যা ৭টি
স্বরবর্ণ তিনটিকে একত্রে রেখে একটি বর্ণ বিবেচনা করলে অর্থাৎ SCNC (EEI) বর্ণসংখ্যা হবে ৫টি
সুতরাং SCNC (EEI) এর সাজানোর সংখ্যা = মোট ৫টি বর্ণ যেখানে দুটি C = 5! 2! = 5×4×3×2×1 2×1 = 60
আবার (EEI) এর বিন্যাস সংখ্যা = 3! 2! [যেহেতু E = 2 টি ] = 3×2×1 2×1 = 3
[যুক্তি, তিনটি স্বরবর্ণ পাশাপাশি রাখলেই হল, তাই এই স্বরবর্ণ গুলো EEI, EIE, অথবা IEE, এভাবে আসলেও শর্ত পূরণ হবে। এজন্য দুবার বিন্যাস করতে হল। ]
অতএব নির্ণেয় বিন্যাস সংখ্যা = 60 × 3 = 180

২৪. ARRANGE' শব্দটিকে কতভাবে সাজানো যাবে যেখানে দুটো R এবং দুটো A একত্রে থাকবে? ..

(ক) 620 (খ) 120 (গ) 200 (ঘ) 180

উত্তরঃ (খ) 120

Explanation:
R দুটিকে এবং A টিকে একত্রে রেখে মোট বিন্যাস করা যাবে (AA) (RR)NGE = 5! = 120টি। এখানে কোন গুণ অথবা ভাগ করতে হবে না। এর কারণ হলো A দুটিকে নিজেদের মাঝে মাত্র ১ ভাবেই বিন্যাস করা যায়, তেমনিভাবে R দুটি কেও। আবার দুটি সংখ্যাকে আলাদা আলাদা ভাবে ১টি করে ধরায় তারা রিপিট হয় নি। তাই নিচে ভাগও হবে না ।

২৫. ৩ জন ছাত্র ও ৫ জন ছাত্রীকে একসারিতে রেখে কতভাবে সাজানো যায় যেখানে ৩ জন ছাত্র সর্বদা একত্রে থাকবে?

(ক) ১২৪০ (খ) ১১৭৬ (গ) ৪১৭৭ (ঘ) ৪৩২০

উত্তরঃ (ঘ) ৪৩২০

Explanation:
৩জন ছাত্রকে যেহেতু একত্রে রাখতে হবে তাই তাদেরকে ১ জন ধরে এবং ৫ জন ছাত্রী ও ১ জন ছাত্র নিয়ে মোট বিন্যাস = ৬! বা ৭২০ এখন আগের ৩ জন ছাত্রকে তাদের নিজেদের মধ্যে সাজানো যায় ৩! = ৬ ভাবে তাহলে মোট সাজানোর সংখ্যা ৭২০×৬ = ৪৩২০

একসাথে না রেখে বিন্যাস

মনে রাখুন:
একসাথে না রেখে বিন্যাস করার সরাসরি কোন সুত্র নেই তাই একত্রে রাখা যাবে না বললে:
সর্বমোট বিন্যাস - একসাথে রাখা বিন্যাস = একসাথে না রাখা বিন্যাস ।
প্রথমে: সবগুলো বর্ণের সাধারণ বিন্যাস বের করতে হবে। যাতে একত্রে থাকা এবং একত্রে না থাকা সব ধরণের বিন্যাস থাকবে।
এরপর একসাথে রাখার নিয়ম অনুযায়ী সমাধান বের করে মোট বিন্যাস থেকে বিয়োগ করলেই একসাথে না থাকার বিন্যাস বের হবে।

২৬. “APPLE” শব্দটিকে কতভাবে বিন্যাস করা যাবে যাতে P গুলো কখনোই একসাথে থাকবে না? ...

(ক) 24 (খ) 36 (গ) 48 (ঘ) 60

উত্তরঃ (খ) 36

Explanation:
“APPLE” শব্দটির সর্বমোট বিন্যাস সংখ্যা = 5!
কিন্তু P আছে দুটি তাই বিন্যাস হবে 5! 2! = 60
এখন এই ৬০টি বিন্যাসের মধ্যে কিছু বিন্যাস আছে যেখানে P দুটি একত্রে থাকবে আবার কিছু বিন্যাস আছে যেখানে P দুটি একত্রে থাকবে না । যেহেতু সরাসরি একত্রে না থাকার সুত্র নেই তাই
“APPLE” শব্দটির P দুটি একত্রে রেখে বিন্যাস = ALE (PP) = 4!×1! = 24
সুতরাং P দুটি একত্রে না রেখে বিন্যাস = 60-24 = 36

২৭. Vowel গুলি পাশাপাশি না রেখে ‘Triangle' শব্দটির অক্ষরগুলো কতভাবে সাজানো যাবে? ...

(ক) 35000 (খ) 36000 (গ) 35600 (ঘ) 36800

উত্তরঃ (খ) 36000

Explanation:
শব্দটিতে মোট ভিন্ন ৪টি অক্ষর যার 3টি স্বরবর্ণ। সবগুলো একত্রে নিয়ে মোট, 8! = 8×7×6×5×4×3×2×1 = 40320 রকমে সাজানো যায় ।
স্বরবর্ণগুলো পাশাপাশি রেখে, মোট 6!×3 ! = 720 × 6 = 4320 প্রকারে সাজানো যায় ৷
সুতরাং স্বরবর্ণগুলো পাশাপাশি না রেখে মোট (40320 - 4320 ) = 36000 প্রকারে সাজানো যায় ।

২৮. স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে না রেখে “Daughter” শব্দটিকে কতভাবে সাজানো যাবে? ...

(ক) 37000 (খ) 36000 (গ) 36500 (ঘ) 36400

উত্তরঃ (খ) 36000

Explanation:
শব্দটিতে মোট ভিন্ন 8 টি অক্ষর যার 3টি স্বরবর্ণ। সবগুলো একত্রে নিয়ে মোট, 8! = 8×7×6×5×4×3×2×1 = 40320 রকমে সাজানো যায় ।
স্বরবর্ণগুলো একত্রে রেখে, মোট 6!×3 ! = 720 × 6 = 4320 প্রকারে সাজানো যায় ৷
সুতরাং স্বরবর্ণগুলো একত্রে না রেখে মোট (40320 - 4320 ) = 36000 প্রকারে সাজানো যায় ।

পুণরাবৃত্তির বিন্যাস

উপরের প্রশ্নগুলোতে যে কোন সংখ্যা বা অক্ষর শুধুমাত্র ১ বার ব্যবহার করা হয়েছে। অর্থাৎ একই সংখ্যা বা অক্ষর একাধিকবার ব্যবহৃত হয় নি।
যেমন: ১ ও ২ কে একবার মাত্র ব্যবহার করে, দু ' অঙ্কের কতগুলো সংখ্যা গঠন করা যায়? এরকম প্রশ্নের উত্তর ২! বা ২টি যথা: ১২ এবং ২১ কিন্তু এই একই প্রশ্নে repetition allowed বা পুণরাবৃত্তি করা গেলে ১ ও ২ কে ব্যবহার করে ২ অঙ্কের সংখ্যা বানানো যাবে = ২ ২ = ৪ টি । যথা: ১২, ২১, এর সাথে ১১ এবং ২২ [ অর্থাৎ একই সংখ্যাকে একাধিকবার ব্যাবহার করা যাবে। ]
Formula of Repetition = n r [ এখানে n হচ্ছে মোট উপাদান এবং r = যতবার নিতে হবে। ]

পূনরাবৃত্তি করে A, B, C তিনটি উপাদান থেকে কয়ভাবে ২টি উপাদান নেয়া যাবে? এখানে, সকল বিন্যাস হবে এরূপ, AA, AB, AC, BA, BB, BC, CA, CB, CC, 9টি। কেননা প্রতি ক্ষেত্রেই প্রতি ধাপে আগের সব options থেকে যায়। এক্ষেত্রে বিন্যাস সংখ্যা n r = 3 2 = 9 । অর্থাৎ এক বর্ণ রিপিট করা গেলে এভাবে।

২৯. ১, ২, ৩, ৪, ৫ অঙ্কগুলির প্রতিটিকে যে কোন সংখ্যক বার নিয়ে ৩ অঙ্কের কতগুলি সংখ্যা গঠন করা যাবে? ...

(ক) ১৩০ (খ) ১৩৫ (গ) ১২৫ (ঘ) ১২৭

উত্তরঃ (গ) ১২৫

Explanation:
যে কোন সংখ্যক বার অর্থ প্রতিবারই ১ নিয়ে ৩ অংকের সংখ্যা হবে ১১১ অর্থাৎ এখানে রিপিট করা যাবে। সুত্র: এরকম পুনরাবৃত্তি করা গেলে (মোট উপাদান) যতবার নেয়া যাবে এখানে মোট উপাদান ১,২,৩,৪ ও ৫ = ৫টি এবং সংখ্যা বানাতে হবে ৩ অংকের । তাই উত্তর হবে ৫ ৩ = ১২৫টি (যেমন: ১২৩, ১১২, ১১১, এরকম ১ দিয়ে ২৫টি সহ প্রতিটি সংখ্যা দিয়ে ২৫ টি করে মোট ১২৫ টি)

৩০. 4, 5,6,7,8 এর প্রত্যেকটিকে যে কোন সংখ্যক বার নিয়ে চার অঙ্কবিশিষ্ট কতগুলি সংখ্যা গঠন করা যায়? এ সংখ্যাগুলোর কয়টিতে একই অঙ্ক একাধিবার থাকবে? ...

(ক) 520 (খ) 428 (গ) 625 (ঘ) 505

উত্তরঃ (ঘ) 505

Explanation:
চার অঙ্কবিশিষ্ট মোট সংখ্যা = 5 4 = 625. ( যে কোন অঙ্ক একাধিকবার নেয়া যাবে।)
আবার 5টি অঙ্ক থেকে 4 টি অঙ্ক (প্রত্যেকটি কেবল একবার)
নিয়ে 4 অঙ্কবিশিষ্ট মোট সংখ্যা = $5_{P_4}$ = 120 ( এগুলোতে একটি অঙ্ক মাত্র একবারই থাকবে।)
সুতরাং প্রত্যেকটি সংখ্যায় একই অঙ্ক একাধিকবার থাকবে এরূপ মোট সংখ্যা: 625 - 120 = 505

৩১. ৫, ৫, ৬, ৬, ৭, ৭ সংখ্যাগুলি থেকে ৩ অংকের কতগুলি সংখ্যা গঠন করা যাবে?

(ক) ২৪ (খ) ২৬ (গ) ২৮ (ঘ) ২২

উত্তরঃ (ক) ২৪

Explanation:
এখানে যে কোন সংখ্যা ইচ্ছামত নেয়া যাবে না । তবে প্রশ্নে প্রদত্ত সংখ্যাগুলোকেই শুধু ব্যবহার করা যাবে, যেখানে মোট ৬টি সংখ্যা দেয়া থাকলেও আসলে সংখ্যা (উপাদান) মোট ৩টি এবং প্রতিটি ২ বার করে আছে। তাই আমরা লিখতে পারি, ৩টি উপাদান দিয়ে ৩ অংকের সংখ্যা বানাতে হলে লিখতে হবে ৩ ৩ = ২৭টি । কিন্তু লক্ষ্য করুন ৩টি উপাদান কিন্তু ইচ্ছে মত রিপিট করা যাবে না। বরং যে কয়টি সংখ্যা দেয়া আছে তা থেকেই নিতে হবে। এখানে ৫, ৬ এবং ৭ আছে ২টি করে। কিন্তু ২৭টি সংখ্যার মধ্যে এমন ৩টি সংখ্যা আছে যেখানে ৫৫৫, ৬৬৬, এবং ৭৭৭ আছে যেগুলো নেয়া যাবে না। কারণ প্রশ্নে ৩টি করে সংখ্যা দেয়া নেই । তাই এই ৩টি বাদ দিলে মোট সংখ্যা হবে ২৭-৩ = ২৪টি ।

৩২. 1, 2, 4, 6, 8, 9 অঙ্কগুলো যে কোন সংখ্যকবার নিয়ে তিন অঙ্ক বিশিষ্ট কতগুলো সংখ্যা গঠন করা যাবে?

(ক) 200 (খ) 216 (গ) 400 (ঘ) 560

উত্তরঃ (খ) 216

Explanation:
এখানে সর্বমোট সংখ্য n = 6, প্রতিবার অঙ্ক নিতে হবে r = ৩ টি সুতরাং সংখ্যা গঠন করা যাবে n 3 = 6 3 = 6×6×6 = 216

৩৩. ০ বাদে তিন অঙ্কবিশিষ্ট কতগুলো পূর্ণসংখ্যা তৈরী করা যায় যেখানে কোন অঙ্ক দু'য়ের অধিকবার ব্যবহৃত হবে না? [BKB (officer) - 2017]

(ক) 729 (খ) 720 (গ) 756 (ঘ) 504

উত্তরঃ (খ) 720

Explanation:
0 বাদে বাকী ডিজিটগুলোকে যে কোন সংখ্যক বার ব্যাবহার করে তিন অঙ্কবিশিষ্ট সংখ্যা বানানো যায় তাদের মোট সংখ্যা হবে 9 3 = 729 [ তিনটি অঙ্কের জন্য তিনটি পজিশনে প্রতিটিই রিপিট করা যাবে তাই 9×9×9 = 9 3 ]
কিন্তু কোন সংখ্যাকে দুবারের বেশি নেয়া যাবে না সুতরাং তিন অঙ্কের সংখ্যাগুলোর মধ্যে যে সংখ্যাগুলোতে একটি ডিজিট 3 বার করে এসেছে সেগুলো বাদ দিতে হবে।
আর সেগুলো হলো. ( 111, 222,333, ......... 888,999 = 9 টি )
তাই উত্তর:729-9 = 720টি

সাধারণ সংখ্যা গঠন

৩৪ . 1,3,5,7,9,অঙ্কগুলি-ব্যবহার করে 3 অঙ্ক বিশিষ্ট কতগুলি সংখ্যা গঠন করা যাবে ।

(i) অঙ্কগুলো পুনরাবৃত্তি না করে = $n_{P_{\mathrm{r}}}$ = $5_{P_3}$ = 5×4×3 = 60
(ii) অঙ্কগুলি পুনরাবৃত্তি করে অর্থাৎ একাধিক বার নিয়ে = n r = 5 3 = 5×5×5 = 125

৩৫. ৫, ৯, ১,৪ অংকগুলি দ্বারা ৫,০০০ এর চেয়ে বড় কতগুলো সংখ্যা তৈরি করা যায়? [স্বরাষ্ট্র মন্ত্রণালয়ের অধীন বহিরাগমন ও পাসপোর্ট অধিদপ্তরের সহকারী পরিচালক ২০১১]

(ক) ১২ টি (খ) ৮ টি (গ) ১৮ টি (ঘ) ১৬ টি

উত্তরঃ (ক) ১২ টি

Explanation:
৫,৯, ১, ৪ এই চারটি অংশ দ্বারা ৫,০০০ এর চেয়ে বড় কোনো সংখ্যা তৈরি করতে হলে প্রথম স্থানে ৫ বা ৯ বসাতে হবে, (১ ও ৪ বসালে তা ৫০০০ এর থেকে ছোট হয়ে যাবে) ১ম স্থানটি ৫ ও ৯ দ্বারা ${২}_{P_{\mathrm{১}}}$ বা ২ প্রকারে পূরণ করা যায় বাকী তিনটি স্থান তিনটি অঙ্ক দ্বারা ৩! বা ৬ প্রকারে পূরণ করা যায়।
মোট বিন্যাস = ২ × ৬ = ১২ ।
অথবা প্রথমে ৫ কে নির্দিষ্ট রেখে অন্য ৩টি দিয়ে বিন্যাস = ৩! = ৬টি। একইভাবে প্রথমে ৯ কে নির্দিষ্ট রেখে অন্য ৩টি দিয়ে বিন্যাস: = ৩ ! = ৬টি।
মোট বিন্যাস = ৬+৬ = ১২টি।

৩৬. ৩,৫,৭,৮ এবং ৯ সংখ্যাগুলো দিয়ে ৪ অঙ্কবিশিষ্ট কতগুলো সংখ্যা গঠন করা যাবে যারা ৭০০০ এর থেকে বড়? ...

(ক) 48 (খ) 60 (গ) 72 (ঘ) 80

উত্তরঃ (গ) 72

Explanation:
হাজারের স্থানে 3 ও 5 কে নিলে 7000 থেকে কম হয় তাই ৩ ও ৫ বাদ দিয়ে অন্য সংখ্যাগুলো থেকে নিতে হবে। সুতরাং ৭,৮ এবং ৯ এই ৩টি সংখ্যা থেকে ১টি নেয়া যায় $3_{P_1}$ = 3 ভাবে । আবার ১ম অঙ্কটি নেয়ার পর ৭,৮,৯ এর অবশিষ্ট ২ অঙ্ক এবং অপর ৩টি অঙ্ক সহ মোট ৫টি থেকে ৩টি নেয়া যায় $4_{P_3}$ = 24 ভাবে । সুতরাং মোট সংখ্যা গঠন = ৩×২৪ = ৭২ টি।

৩৭. 1,3,5,7,9 অঙ্কগুলো থেকে তিনটি ভিন্ন ভিন্ন অংক নিয়ে 200 থেকে বৃহত্তম তিন অংকের কতগুলো সংখ্যা গঠন করা যাবে। ...

(ক) 48 (খ) 60 (গ) 72 (ঘ) 80

উত্তরঃ (ক) 48

Explanation:
শতকের অবস্থান পূর্ণ করা যাবে = ৪ভাবে (৩,৫,৭,৯ দিয়ে)
দশকের ঘর পূর্ণ করা যাবে ৪ ভাবে, (৩,৫,৭,৯ থেকে ১টি বাদ দিয়ে ৩ টি + ১)
এককের ঘর পূর্ণ করা যাবে আগের দুটি বাদ দিয়ে যে কোন ৩টি।
মোট বিন্যাস = ৪×৪×৩ = ৪৮

৩৮. 1,2,3,4,5,6 অংকগুলো প্রত্যেক সংখ্যায় কেবল মাত্র একবার মাত্র ব্যবহার করে 5000 ও 6000 এর মধ্যবর্তী কতগুলো সংখ্যা গঠন করা যাবে? ...

(ক) 48 (খ) 60 (গ) 72 (ঘ) 80

উত্তরঃ (খ) 60

Explanation:
5000 থেকে 6000 এর মধ্যে সংখ্যা নিতে হলে প্রথম সংখ্যাটি অবশ্যই ৫ ই হতে হবে। বড় বা ছোট নিলে ৫০০০-৬০০০ এর মধ্যে থাকবে না । প্রদত্ত সংখ্যাগুলো ১,২,৩,৪,৫,৬ = মোট ৬টি সংখ্যার মধ্যে ৫ কে হাজারের ঘরে নির্দিষ্ট রেখে এরপর অবশিষ্ট ৬-১ = ৫টি সংখ্যা থেকে শতক, দশক ও এককের ঘরে যে কোন সংখ্যা ই নেয়া যাবে। তাই পরের ৩টি ঘর পূর্ণ করা যাবে = ৫×৪×৩ = ৬০ ভাবে । উত্তর: ৬০টি।
শর্টকার্টঃ সবগুলো থেকে আগেই ৫ বাদ দিতে হবে এবং ৫ কে নিয়ে নিলে আর নিতে হবে ৪-১ = ৩টি। তাই একসাথে লেখা যায় ${\mathrm{6\; -\; 1}}_{P_{\mathrm{4\; -\; 1}}}$ = $5_{P_3}$ = 60 উপায়ে ।

শূন্য যুক্ত সংখ্যা গঠন

৩৯. 0,1,2,3,4,5, সংখ্যাগুলো একবার মাত্র ব্যবহার করে 6 অঙ্ক বিশিষ্ট কতগুলো অর্থ পূর্ণ সংখ্যা গঠন করা যাবে? ...

(ক) 700 (খ) 600 (গ) 520 (ঘ) 710

উত্তরঃ (খ) 600

Explanation:
এখানে মোট সংখ্যা আছে ৬টি যার মধ্যে একটি ০ আছে। তাই ৬ অঙ্কবিশিষ্ট মোট সংখ্যা = ৬! = ৭২০ টি ।
০ দ্বারা যেগুলো শুরু হবে সেগুলো বাদ দিতে হবে। তাই শুরুতে ০ কে নির্দিষ্ট রাখলে ০ বাদে অন্য ৫টি সংখ্যা সাজানো যায় ৫! = ১২০ ভাবে ।
সুতরাং ০ বাদে ৬ অঙ্কবিশিষ্ট অর্থপূর্ণ সংখ্যা = ৭২০ - ১২০ = ৬০০টি।

৪০. প্রত্যেক অঙ্ক একবার মাত্র ব্যবহার করে 0,1,2,3,5,6 দ্বারা চার অঙ্ক বিশিষ্ট অর্থ পূর্ণ সংখ্যা কত?

(ক) 350 (খ) 400 (গ) 500 (ঘ) 300

উত্তরঃ (ঘ) 300

Explanation:
শূন্য সহ সকল অংক = $6_{P_4}$ = 6×5×4×3 = 360
শুধু শূন্য বিশিষ্ট অংক যেগুলো অর্থপূর্ণ নয় = ${\mathrm{6\; -\; 1}}_{P_{\mathrm{4\; -\; 1}}}$ = $5_{P_3}$ = 5×4×3 = 60 (শুরুতে (0)
সুতরাং মোট বিন্যাস: = ৩৬০-৬০ = ৩০০টি।

[০ এর সাথে জোড় বিজোড় থাকলে অনেকের কাছে কঠিন লাগে তাদের জন্য নিচের প্রশ্নগুলো, বুঝে বুঝে করুন:]

৪১. প্রতিটি অঙ্ক একবার ব্যবহার করে ৪, ৩, ২, ১, ০ অঙ্কগুলি দ্বারা ৫ অঙ্কের কতগুলি বিজোড় সংখ্যা গঠন করা যাবে? ...

(ক) ২৪ (খ) ২৬ (গ) ২৮ (ঘ) ৩৬

উত্তরঃ (ঘ) ৩৬

Explanation:
এখানে শর্ত দুটি: ১. সংখ্যাগুলো ৫ অংক বিশিষ্ট হতে হবে
২. সংখ্যাগুলো বিজোড় হতে হবে। (১ ও ৩ দিয়ে শেষ হতে হবে)
শেষে ১ কে নির্দিষ্ট রেখে মোট বিন্যাস = ৪! = ২৪টি ।
কিন্তু এই ২৪টি বিজোড়ের মধ্যে শেষে ১ থাকবে কিন্তু শুরুতে ০ আছে এমন বিজোড় গুলো ৫ অঙ্কবিশিষ্ট নয়। তাই সেগুলো বাদ দিতে হবে ।
শুরুতে ০ ও শেষে ১ কে নির্দিষ্ট রেখে অন্য ৩টি অঙ্ক সাজানো যায় ৩! = ৬ ভাবে।
তাহলে ১ দিয়ে শেষ হয়েছে এমন ৫ অঙ্কবিশিষ্ট বিজোড় সংখ্যা রয়েছে = ২৪-৬ = ১৮ টি।
ঠিক, একইভাবে শেষে ৩ দিয়ে বিজোড় সংখ্যা হবে ২৪-৬ = ১৮ টি।
সুতরা মোট বিজোড় সংখ্যা হবে = ১৮+১৮ = ৩৬টি।

গুরুত্বপূর্ণ শিক্ষণীয় বিষয়:
০ দ্বারা কোন সংখ্যা শুরু হয় না ।
জোড় অথবা বিজোড় বের করতে বলা হলে শেষের সংখ্যা মেলাতে হবে।

সমাবেশ (Combination)

সমাবেশ হলো ক্রম উপেক্ষা করে সাজানোর প্রক্রিয়া। সমাবেশের ক্ষেত্রে ধারাবাহিকতা কোন বিষয় নয়। বিন্যাস ও সমাবেশের মধ্যে বিন্যাস উপরোক্ত আলোচনায় তুলে ধরা হয়েছে । এবার সমাবেশ অধ্যায়টিকে নিচে সুন্দর ও সূচারুরুপে তুলে ধরার চেষ্টা করছি । আশা করছি উপকৃত হবেন।

সমাবেশ (Combination) কি?

সমাবেশ হলো কয়েকটি উপাদান থেকে প্রত্যেকবার নির্দিষ্ট কিছু উপাদান নিয়ে এক একটি দল গঠন করা। এখানে ধারাবাহিকতা পরিবর্তন হলেও দলের সংখ্যা একই থাকবে।
সমাবেশের সূত্র: $n_{c_{\mathrm{r}}}=\frac{\mathrm{n!}}{\mathrm{r!(n-r)!}}$ [বিন্যাসের সূত্রের মতই শুধু অতিরিক্ত হিসেবে হরের সাথে r! গুণ করতে হবে।]

বিন্যাস বনাম সমাবেশ (Permutation Vs Combination)

Combination এর ক্ষেত্রে Order (ধারাবাহিকতা) কোন Factor নয়। কিন্তু Permutation এর ক্ষেত্রে ধারাবাহিকতা গুরুত্বপূর্ণ এবং Order এর পরিবর্তন হলে সংখ্যারও পরিবর্তন হবে। যেমন: বিভিন্ন পরীক্ষার প্রশ্নে যখন এই দুটি অধ্যায় থেকে প্রশ্ন আসবে তখন লিখে দেয়া থাকবে না কোনটি বিন্যস এবং কোনটি সমাবেশ হবে। ভালোভাবে পার্থক্য না জানলে একটার জায়গায় অন্যটির উত্তর বের করে ফেলতে পারেন। তাই এদের মধ্যকার পার্থক্যগুলো নিচে ছক আকারে তুলে ধরা হল।

বিন্যাস ও সমাবেশের মধ্যকার মৌলিক পার্থক্য

(বিন্যাস) Permutation	(সমাবেশ) Combination
বিন্যাস হলো সাজানোর ধরণ অর্থাৎ কত ভাবে সাজানো যায় তা বের করা, এখানে ধারাবাহিকতা পরিবর্তন হলে নতুন বিন্যাস হয়।	আর সমাবেশ হলো বাছাই করা, কয়েকজন থেকে বাছাই করার সময় কে আগে আসলো কে পরে আসলো তা দেখার প্রয়োজন নেই অর্থাৎ এখানে ধারাবাহিকতা গুরুত্বপূর্ণ নয়।
বিন্যাসের সুত্র: $n_{P_{\mathrm{r}}}=\frac{\mathrm{n!}}{(n-r)!}$	সমাবেশের সূত্র: $n_{c_{\mathrm{r}}}=\frac{\mathrm{n!}}{\mathrm{r!(n-r)!}}$ [বিন্যাসের সূত্রের মতই শুধু অতিরিক্ত হিসেবে হরের সাথে r! গুণ করতে হবে।]
বিন্যাসের উত্তর বড় হয়।	সমাবেশের উত্তর ছোট হয়।
রাকিব সামনে এবং রহিম পেছনে দাঁড়ানো অথবা রহিম সামনে রাকিব পেছনে দাঁড়ানো বোঝাতে দুটি ভিন্ন দাঁড়ানোর পদ্ধতি। অর্থাৎ সিরিয়াল পরিবর্তন হলে নতুন বিন্যাস হয়।	সমাবেশের ক্ষেত্রে বাংলাদেশ- ভারত আর ভারত বাংলাদেশ এর খেলা অর্থ দুটি খেলা না বরং একটি খেলা।
উদাহরণ: AB, BA, দুটি ভিন্ন বিন্যাস।	উদাহরণ: AB, BA উভয় মিলে একটি ই সমাবেশ।
বিন্যাস হয়: (i) অক্ষর সাজানোর প্রশ্নগুলোতে: যেমন: DHAKA (ii) সংখ্যা তৈরী করার প্রশ্নগুলোতে । যেমন: ১২৩,৩২১ (iii) যে কোন কিছুকে সাজাতে বলা হলে বিন্যাস করতে হয়।	সমাবেশ হয়: (i) হ্যান্ডশেক (ii) খেলা (iii) দল (iv) কমিটি (v) যে কোন কিছু বাছাই করার প্রশ্নগুলোতে সমাবেশের সূত্র প্রয়োগ করতে হয়।

১. $n_{c_{12}}=n_{c_6}$ হলে n এর মান কত? [ ৩৯তম বিসিএস ]
এই প্রশ্নটি Combination এর একটি ব্যাসিক বিষয় । যেমন: ${\mathrm{10}}_{c_9}$ = কে লেখা যায় ${\mathrm{10}}_{c_{\mathrm{10\; -\; 1}}}={\mathrm{10}}_{c_9}$ কারণ দুটির মান ই সমান হবে।
তেমনি ভাবে n এর জায়গায় এমন একটি সংখ্যা বসাতে হবে যাতে দু পাশের মান সমান হয় । অপশন থেকে n = 18 নিলে,
বামপক্ষ ${\mathrm{18}}_{c_{12}}$
= ${\mathrm{18}}_{c_{\mathrm{18\; -\; 12}}}$
= ${\mathrm{18}}_{c_6}$ হয় যা ডান পক্ষ $n_{c_6}$ = ${\mathrm{18}}_{c_6}$ এর সমান।
সুতরাং n = 18

করমর্দন ও খেলার সংখ্যা

এই পদ্ধতিতে আমার শিখবো হ্যান্ডশেক সংখ্যা বের করা এবং কিভাবে কয়েকজন খেলোয়াড়ের ভেতর থেকে কতভাবে একটি ক্রিকেট, ফুটবল,বাস্কেটবল অথবা যে কোন দল গঠন করা যায়। সাথে সাথে কিভাবে এবং কতভাবে একটি দলের অধিনায়ক অথবা সহ অধিনায়ক নির্বাচিত করা যায় । দল গঠনের সময় বিভিন্ন খেলোয়াড়ের নাম আগে অথবা পরে যখনই বলা হোক না কেন তারা একটি দলই বোঝাবে, তাই দল গঠনের অংক গুলো সমাবেশের সুত্রানুযায়ী করতে হয়।

২. ১০ জন লোক প্রত্যেকে প্রত্যেকের সাথে করমর্দন করে। করমর্দন সংখ্যা কত? ...

(ক) ৩৮ (খ) ৪০ (গ) ৪২ (ঘ) ৪৫

উত্তরঃ (ঘ) ৪৫

Explanation:
যে কোন করমর্দণ অথবা কোলাকুলির অংকে শুধু কত জন লোক করমর্দন (Handshake), বা কোলাকুলি করলো তা দেয়া থাকবে। এক্ষেত্রে মনে রাখতে হবে যে প্রত্যেক বার করমর্দন বা কোলাকুলি করার সময় মোট ২ জন লোকের প্রয়োজন। তাই এক্ষেত্রে সুত্রটি হবে = $n_{c_2}$ = ${\mathrm{মোট\; লোক}}_{c_{\mathrm{২\; জন\; সব\; সময়}}}$
প্রদত্ত প্রশ্নটির সমাধান:
${\mathrm{10}}_{c_2}$
= $\frac{\mathrm{10!}}{\mathrm{2!(10-2)!}}$
= $\frac{\mathrm{10!}}{\mathrm{2!8!}}$
= $\frac{\mathrm{10\times 9\times 8!}}{\mathrm{2\times 8!}}$
= 5×9
= 45
Shortcut Solution: এ ধরনের অংক খাতা কলম ছাড়াই মুখে মুখে করুন এভাবে :যত জনই দেয়া থাক তার আগের সংখ্যার সাথে ঐ সংখ্যাটি গুণ করে ২ দিয়ে ভাগ করলেই উত্তর বের হয়ে যাবে। যেমন এখানে ১০ এর আগের সংখ্যা ৯ । ১০ এবং ৯ গুণ করলে হয় ৯০ । ৯০ কে ২ দিয়ে ভাগ করলে হয় ৪৫ । তাই ৪৫ ই উত্তর ।

৩. একটি ফুটবল টুর্নামেন্টে ৬ টি দল অংশগ্রহণ করেছে, একক লীগ পদ্ধতিতে খেলা হলে মোট কতটি খেলা পরিচালনা করতে হবে? [বাংলাদেশ রেলওয়ে (সহ: ষ্টেশন মাষ্টার)-২০১৮]

(ক) ১০ (খ) ১২ (গ) ১৫ (ঘ) ১৬

উত্তরঃ (গ) ১৫

Explanation:
৬টি দল অংশগ্রহণ করে একক লীগ পদ্ধতিতে খেলা হলে প্রত্যেকে প্রত্যেকের সাথে ১টি করে খেলা খেলবে।
তাহলে মোট খেলা হবে
${৬}_{c_{\mathrm{২}}}$
= ৬×৫ ২×১
= ১৫টি।
যাদের সমাবেশের সুত্র জানা নেই তারা এভাবে করতে পারেন:
প্রথম ১ টি দল অন্য ৫টি দলের সাথে খেলবে = ৫টি
২য় দলটি অন্য ৪টির সাথে খেলবে, = ৪টি।( কারণ ১ম দলের সাথের খেলা প্রথম ৫টির মধ্যে আছে তাই ১টি কম)
৩য় দলটি অন্য ৩টি দলের সাথে খেলবে = ৩টি।
৪র্থ দলটি অন্য ২টি দলের সাথে খেলবে = ২টি।
৫ম দলটি অন্য ১টি দলের সাথে খেলবে = ১টি।
তাহলে মোট খেলা হবে : ৫+৪+৩+২+১ = ১৫টি।
উত্তর: ১৫টি।
মুখে মুখে:
এই নিয়মটি জানা থাকলে এক লাইনে : ৫+৪+৩+২+১ = ১৫টি।
( কারণ যতটি দল ই খেলুক না কেন প্রতিবার ১ করে কমতে থাকবে ২টি করে খেললে শুধু ২ গুণ)

৪. ৬ জন লোক এক জন আরেকজনের সাথে করমর্দন করলে মোট করমর্দনের সংখ্যা কত?

(ক) ১০ (খ) ১২ (গ) ১৫ (ঘ) ২০

উত্তরঃ (গ) ১৫

Explanation:
Shortcut Solution: এ ধরনের অংক খাতা কলম ছাড়াই মুখে মুখে করুন এভাবে :যত জনই দেয়া থাক তার আগের সংখ্যার সাথে ঐ সংখ্যাটি গুণ করে ২ দিয়ে ভাগ করলেই উত্তর বের হয়ে যাবে। যেমন এখানে ৬ এর আগের সংখ্যা ৫ । ৬ এবং ৫ গুণ করলে হয় ৩০ । ৩০ কে ২ দিয়ে ভাগ করলে হয় ১৫ । তাই ১৫ ই উত্তর ।

৫. একটি মিটিং এ উপস্থিত ৫ জন সদস্য প্রত্যেকে প্রত্যেকের সাথে হ্যান্ডশেক করলে মোট কতটি হ্যান্ডশেক হবে? [ M.T.B.L.Off: 13]

(ক) 10 (খ) 11 (গ) 15 (ঘ) 5

উত্তরঃ (ক) 10

Explanation:
Shortcut Solution: এ ধরনের অংক খাতা কলম ছাড়াই মুখে মুখে করুন এভাবে :যত জনই দেয়া থাক তার আগের সংখ্যার সাথে ঐ সংখ্যাটি গুণ করে ২ দিয়ে ভাগ করলেই উত্তর বের হয়ে যাবে। যেমন এখানে ৫ এর আগের সংখ্যা ৪ । ৫ এবং ৪ গুণ করলে হয় ২০ । ২০ কে ২ দিয়ে ভাগ করলে হয় ১০ । তাই ১০ ই উত্তর ।

৬. একটি ফুটবল লীগে ৫টি দলের প্রত্যেক দল অন্য দলের সাথে ২টি করে ম্যাচ খেললে সর্বমোট কতটি ম্যাচ অনুষ্ঠিত হবে? [ Dutch Bangla Bank 'MTO`12]

(ক) 10 (খ) 20 (গ) 9 (ঘ) 19

উত্তরঃ (খ) 20

Explanation:
মুখে মুখে সমাধান:
যত জনই দেয়া থাক তার আগের সংখ্যার সাথে ঐ সংখ্যাটি গুণ করে ২ দিয়ে ভাগ করলেই উত্তর বের হয়ে যাবে। তবে এখানে যেহেতু ২ টি করে ম্যাচ খেলার কথা বলা হয়েছে তাই প্রাপ্ত ফলাফলকে ২ দিয়ে গুণ করে উত্তর বের করতে হবে। এখানে ৫ এর আগের সংখ্যা ৪ । ৫ এবং ৪ গুণ করলে হয় ২০ । ২০ কে ২ দিয়ে ভাগ করলে হয় ১০ । এখন এই ১০ কে ২ দিয়ে গুণ করলে হয় ২০ . তাই ২০ ই সঠিক উত্তর ।

উল্টোভাবে আসলে
অর্থাৎ হ্যান্ডশেকের সংখ্যা দেয়া থাকবে, মোট লোকের সংখ্যা বের করতে বলা হলে । যেমন:

৭. একটি ইফতার পার্টিতে কয়েকজন বন্ধু উপস্থিত হল । তারা প্রত্যেকে প্রত্যেকের সাথে করমর্দন করল। যদি মোট ২৮ টি করমর্দন হয়ে থাকে তাহলে ঐ পার্টিতে মোট কতজন উপস্থিত ছিল?

(ক) ৮ জন (খ) ১২ জন (গ) ১৪ জন (ঘ) ১৬ জন

উত্তরঃ (ক) ৮ জন

Explanation:
উপরের নিয়মটির ই উল্টোভাবে প্রয়োগ করুন এভাবে,সবার শেষে ২ দিয়ে ভাগ করায় ২৮ হয়েছে তাহলে ভাগ করার আগে ছিল ২৮×২ = ৫৬। এখন এই ৫৬ কে এমন ভাবে ভাঙ্গতে হবে যাতে পর পর দুটি সংখ্যা গুণ করলে ৫৬ হয়। সংখ্যা দুটি হল ৮×৭ = ৫৬। এখন বড় সংখ্যাটি ই হলো নির্ণেয় উপস্থিত লোকের সংখ্যা। উত্তর: ৮ জন।

৮. একটি পার্টিতে কিছু লোক উপস্থিত ছিল। তারা প্রত্যেকে প্রত্যেকের সাথে হ্যান্ডশেক করায় মোট ৬৬ টি হ্যান্ডশেক হলো। ঐ পার্টিতে মোট কত জন উপস্থিত ছিল? [ RAKUB Senior off: - 2015 ]

(ক) 9 (খ) 15 (গ) 10 (ঘ) 12

উত্তরঃ (ঘ) 12

Explanation:
উপরের নিয়মটির ই উল্টোভাবে প্রয়োগ করুন এভাবে,সবার শেষে ২ দিয়ে ভাগ করায় ৬৬ হয়েছে তাহলে ভাগ করার আগে ছিল ৬৬×২ = ১৩২। এখন এই ১৩২ কে এমন ভাবে ভাঙ্গতে হবে যাতে পর পর দুটি সংখ্যা গুণ করলে ১৩২ হয়। সংখ্যা দুটি হল ১২×১১ = ১৩২। এখন বড় সংখ্যাটি ই হলো নির্ণেয় উপস্থিত লোকের সংখ্যা। উত্তর: ১২ জন।

কমিটি বা দল গঠন

কেন বিভিন্ন কমিটি গঠনের অংকগুলো সমাবেশের সুত্রানুযায়ী করতে হয়?
একটি কমিটিতে ৩ জন সদস্য থাকার অর্থ ৩ সদস্য বিশিষ্ট কমিটি। এখন যেভাবেই যাকেই আগে অথবা পরে দিন, কমিটি একই থাকবে তাই এই প্রশ্নগুলো সমাবেশের সুত্রঅনুযায়ী করতে হয় ।

৯. ৬ জন বালক ও ৪ জন বালিকা থেকে ৫ সদস্যবিশিষ্ট কমিটি করার কয়টি পথ আছে যেখানে ঠিক ২ জন বালিকা যাবে ?

(ক) 80 (খ) 100 (গ) 120 (ঘ) 130

উত্তরঃ (গ) 120

Explanation:
৫ সদস্য বিশিষ্ট কমিটিতে বালিকা ২ জন থাকলে ৩ জন বালক থাকবে।
তাহলে ৪ জন বালিকা থেকে ২ জন, এবং ৬ জন বালক থেকে ৩ জন নিয়ে কমিটির প্রকার,
${৪}_{c_{\mathrm{২}}}\times {৬}_{c_{\mathrm{৩}}}$
= ৪×৩ ২×১ × ৬×৫×৪ ৩×২×১
= ১২০ [ ভিন্ন ভিন্ন প্রকারে নেয়ার পর গুণ করতে হয় ]

১০. একটি ক্লাবের ৮ জন পুরুষ ও ৮ জন মহিলা সদস্য আছেন। ৬ সদস্যের একটি কমিটি গঠন করতে হবে। যেখানে পুরুষ ও মহিলা সদস্য ৩ জন করে থাকবেন। কতভাবে এ কমিটি গঠন করা যায়?

(ক) ৩১৩৬ (খ) ৩১৩৫ (গ) ৩১৩৪ (ঘ) ৩১৩৯

উত্তরঃ (ক) ৩১৩৬

Explanation:
৬ সদস্য বিশিষ্ট কমিটিতে মহিলা ৩ জন থাকলে ৩ জন পুরুষ ও থাকবে।
তাহলে ৮ জন পুরুষ থেকে ৩ জন, এবং ৮ জন মহিলা থেকে ৩ জন নিয়ে কমিটির প্রকার,
${৮}_{c_{\mathrm{৩}}}\times {৮}_{c_{\mathrm{৩}}}$
= ৮×৭×৬ ৩×২×১ × ৮×৭×৬ ৩×২×১
= ৩১৩৬ [ ভিন্ন ভিন্ন প্রকারে নেয়ার পর গুণ করতে হয় ]

১১. একটি স্কুলের কমিটিতে ২ জন শিক্ষক এবং ৪ জন ছাত্র থাকে। ৫ জন শিক্ষক এবং ১০ জন ছাত্র থেকে কত উপায়ে বাছাই করা যাবে? [ Exim Bank. T. Off. -2014 ]

(ক) 220 (খ) 5100 (গ) 2100 (ঘ) 3200

উত্তরঃ (গ) 2100

Explanation:
৫ জন শিক্ষকের মধ্য থেকে ২ জন শিক্ষক নেয়া যাবে $5_{c_2}$ ভাবে।
আবার ১০ জন ছাত্রের মধ্য থেকে ৪ জন ছাত্র নেয়া যাবে ${\mathrm{10}}_{c_4}$ ভাবে।
তাহলে মোট বাছাই করার উপায়
= $5_{c_2}\times {\mathrm{10}}_{c_4}$
= 5! 2!×3! × 10! 4!×6!
= 10×210
= 2100

১২. 4 জন মহিলা ও 6 জন পুরুষের মধ্য থেকে 4 সদস্য বিশিষ্ট একটি উপ-কমিটি গঠন করতে হবে যাতে 1 জন নির্দিষ্ট পুরুষ সর্বদায় উপস্থিত থাকেন। কত প্রকারে ঐ কমিটি গঠন করা যেতে পারে ? [ ৩৮ তম বিসিএস প্রলি:]

(ক) 210 (খ) 304 (গ) 84 (ঘ) 120

উত্তরঃ (গ) 84

Explanation:
মোট সদস্যা = 4+6 = 10 জন । এখন 1 জন নির্দিষ্ট পুরুষ বাদ দিয়ে 10-1 = 9 জন থেকে নিতে হবে 4-1 = 3 জন ।
9 জন থেকে 3 জন নেয়ার উপায় হল = $9_{c_3}$
= 9! 3!( 9 - 3 )!
= 9×8×7×6! 3×2×1×6!
= 84
[ শর্টকাট: 9×8×7 3×2×1 = 84 [ নিচে 3 থাকায় উপরে 9 থেকে শুরু করে 3টি উপাদান এবং নিচে 3! এর মান বসাতে হবে ]

[Concept Clear: যাকে নির্দিষ্ট করে রাখতে বলা হবে তাকে বাদ দিয়ে হিসেব করতে হবে। কারণ সমাবেশ হচ্ছে লটারীর মত বিষয়। যেখানে সবাইকে লটারীর মত ড্র করলে কখনো কেউ উঠবে আবার সে বাদ ও যেতে পারে। একইভাবে নির্দিষ্ট লোককে লটারীর মধ্যে রাখলে লটারীর মত সে ও বাদ পরে যেতে পারে। তাই প্রথমেই তাকে বাদ দিয়ে হিসেব করতে হবে। ৩৫ ও ৩৬ তম বিসিএস এ একই নিয়মের ১টি করে প্রশ্ন এসেছিল। ]

[ Confusion Clear : এখানে পুরুষ মহিলা থাকায় অনেকে কয়জন পুরুষ কয়জন মহিলা নিতে হবে তা নিয়ে কনফিউশনে থাকতে পারেন। কিন্তু প্রশ্নটিতে উপকমিটি গঠন করার সময় কতজন পুরুষ বা মহিলা নিতে হবে তা নির্দিষ্ট করে বলা না থাকায় পুরুষ মহিলা যে কাউকে যতজন খুশি নেয়া যাবে। (ওরকম অন্য আরো প্রশ্ন আছে কিন্তু এটা না) ]

কখন গুণ (×) আর কখন যোগ (+)

যখন একটির সাথে অন্যটি নির্ভরশীল থাকে তখন গুণ করতে হবে। (প্রশ্নে “এবং” থাকলে ‘গুণ” )
যেমন: মোট ৫ জন পুরুষ এবং ৪ জন মহিলা থেকে ৫ জন সদস্য নিয়ে একটি কলেজের কমিটি গঠন করতে হবে যেখানে ২ জন মহিলা থাকবে ।
এখানে শুধু মহিলা বা শুধু পুরুষ নিয়ে কমিটি হবে না বরং পুরুষ ও মহিলা উভয়ে মিলে কমিটি হবে। অর্থাৎ একটার সাথে আরেকটা নির্ভরশীল । তাই এক্ষেত্রে গুণ করতে হবে $5_{c_3}\times 4_{c_3}$ = 10×6 = 60
: কিন্তু একটির উপর আরেকটি নির্ভরশীল না হলে যোগ করতে হবে। (প্রশ্নে “অথবা” থাকলে 'যোগ' )
যেমন: একটি কলেজের কমিটি তৈরী করার উপায় আছে ২০টি আরেকটি ভিন্ন কলেজের কমিটি তৈরী করার উপায় আছে ১০টি। এখানে একটি কলেজের সাথে অন্য কলেজের কমিটির কোন নির্ভরশীলতা নেই, তাই এক্ষেত্রে মোট কমিটি সংখ্যা 20+10 = 30টি

সমাবেশের বিবিধ

নির্দিষ্ট কোন ব্যক্তি বা বস্তুকে রেখে কোন দল, কমিটি বা কোন কিছু সাজাতে বলা হলে:

১৩. 14 জন খেলোয়াড়ের মধ্যে থেকে নির্দিষ্ট একজন অধিনায়কসহ 11 জনের একটি ক্রিকেট দল কতভাবে বাছাই করা যাবে? [ 35তম বিসিএস]

(ক) 728 (খ) 286 (গ) 364 (ঘ) 1001

উত্তরঃ (খ) 286

Explanation:
যেহেতু অধিনায়ককে বাদ দেয়া যাবে না, তাই অধিনায়ক সবসময় ফিক্সড বা নির্দিষ্ট, তাই তাকে আলাদা করে রাখতে হবে।। বাকী ১৩ জনের মধ্য থেকে ১০ জন বাছাই করতে হবে।
একজনকে অধিনায়ক হিসেবে বাছাই করার পর বাকি (14 - 1) বা 13 জন হতে (11 - 1) বা 10 জনকে বাছাই করে 11 জনের দল গঠনের উপায়
= ${\mathrm{13}}_{c_{10}}$
= 13×12×11 3×2×1
= 286

১৪. 12 টি পুস্তক থেকে 5 টি কত প্রকারে বাছাই করা যায় যেখানে 2 টি পুস্তক সর্বদাই অর্ন্তভুক্ত থাকবে? [ ৩৬তম বিসিএস]

(ক) 252 (খ) 792 (গ) 224 (ঘ) 120

উত্তরঃ (ঘ) 120

Explanation:
12 টির মধ্যে যে 5 টি নিতে হবে তার মধ্যে 2 টি পুস্তক যেহেতু নির্দিষ্ট থাকবে তাই প্রথমেই 2 টি পুস্তক আলাদা করে বাকী 10 টি পুস্তক থেকে 3টি পুস্তক বাছাই করতে হবে। 10 টি পুস্তক থেকে 3টি বাছাই করার পদ্ধতি হলো: ${\mathrm{10}}_{c_3}$
= 10×9×8×7! 3×2×7!
= 120

১৫. ৫ জন ব্যক্তির মধ্য থেকে ৩জনের একটি কমিটি কতভাবে বাছাই করা যাবে যেখানে একজন নির্দিষ্ট ব্যাক্তি সবসময় ই কমিটিতে থাকবে? [ Rakub officer-2015 ]

(ক) 4 (খ) 5 (গ) 6 (ঘ) 8

উত্তরঃ (গ) 6

Explanation:
মনে রাখুন: দল গঠনের সময় অধিনায়ক অথবা কমিটি গঠনের সময় কোন নির্দিষ্ট ব্যক্তি অথবা যে কোন সময়ে কোন নির্দিষ্ট কিছু রেখে বাছাই করার কথা বলা হলে মোট উপাদান এবং নির্বাচিত উপাদান থেকে এ নির্দিষ্ট জনকে বিয়োগ করে হিসেব করতে হয়। তা না হলে ঐ লোক ও কখনো দলের বাইরে চলে যেতে পারেন। তাই এখানে সমাধান: ৫ জনের ভেতর থেকে ১ জনকে আগে থেকেই নিয়ে নিলে লোক থাকবে ৫-১ = ৪ জন। এবং তিন সদস্যের কমিটি থেকে ১ জন নেয়া হয়ে গেলে আর নিতে হবে ৩-১ = ২ জন । সুতরাং ৪ জন থেকে ২ জন বাছাই করার মোট উপায়
= $4_{c_2}$
= 4! 2!×2!
= 24 4
= 6

১৬. 12টি পুস্তক থেকে 5টি কত প্রকারে বাছাই করা যায় যেখানে 2 টি পুস্তক সর্বদাই অর্ন্তভুক্ত থাকবে না?

(ক) 252 (খ) 792 (গ) 224 (ঘ) 120

উত্তরঃ (ক) 252

Explanation:
এরকম প্রশ্নের ক্ষেত্রে যাদেরকে অর্ন্তভুক্ত করা যাবে না তাদেরকে প্রথমেই বাদ দিতে হবে। তাই এক্ষেত্রে বাছাই করার উপায় হবে, = ${\mathrm{10}}_{c_5}$
= 10! 5! ( 10 - 5 )!
= 10×9×8×7×6×5! 5!×5!
= 30240 120
= 252

১৭. 15 জন খেলোয়াড়ের মধ্যে 11 জনকে নিয়ে একটি ক্রিকেট টিম গঠন করতে হবে। কিন্তু প্রথম সারির ৪ ব্যাটসম্যানের মধ্যে অবশ্যই 5 জন কে নিয়ে কত প্রকারে টিম গঠন করা যাবে?

(ক) 385 (খ) 401 (গ) 392 (ঘ) 308

উত্তরঃ (গ) 392

Explanation:
প্রথম ৮ জন থেকে ৫ জন নেয়ার পর পরের অবশিষ্ট (১৫-৮)= ৭ জন থেকে (১১-৫)= ৬ জন নিয়ে ১১ জনের টিম গঠন করা যাবে
= $8_{c_5}\times 7_{c_6}$
= 56×7
= 392 উপায়ে

১৮. Degree শব্দটির অক্ষরগুলো থেকে যেকোন 4টি অক্ষর প্রতিবার নিয়ে কত প্রকারে বাছাই করা যায়?

(ক) 8 (খ) 6 (গ) 7 (ঘ) 5

উত্তরঃ (গ) 7

Explanation:
Degree শব্দটিতে মোট ৬টি বর্ণের মধ্যে ৩টি e আছে এবং অন্য ৩টি বর্ণ ভিন্ন (D,g,r)। এখন মোট ৬টি ভিন্ন বর্ণ থেকে ৪টি বর্ণ বাছাই করার উপায় আছে,

শর্ত	বাছাইয়ের উপায়	বাছাই	যে অক্ষরগুলো নেয়া হয়েছে
4টি বর্ণই ভিন্ন এক্ষেত্রে,	$4_{c_4}$	1	D,g,r এবং একটি e
2টি বর্ণ অভিন্ন 2টি ভিন্ন, এক্ষেত্রে,	$2_{c_2}\times 3_{c_2}$	3	দুটি e এবং D,g,r তিনটি থেকে যে কোন দুটি
3টি অভিন্ন 1 টি ভিন্ন, এক্ষেত্রে,	$3_{c_3}\times 3_{c_1}$	3	৩টি e এবং D,g,r তিনটি থেকে যে কোন ১টি

১৯. THESIS শব্দটি অক্ষরগুলোর প্রতিবারে 4টি অক্ষর নিয়ে মোট কত প্রকারে সমাবেশ করা যায়?

(ক) 12 (খ) 13 (গ) 11 (ঘ) 14

উত্তরঃ (গ) 11

Explanation:
THESIS শব্দটিতে মোট ৬টি বর্ণের মধ্যে দুটি S আছে এবং ৪টি ভিন্ন বর্ণ ।
তাহলে ২টি S থেকে ১টি নিয়ে অন্য ৪টি সহ ভিন্ন ভিন্ন বর্ণ আছে ৫টি ।

শর্ত	বাছাইয়ের উপায়	বাছাই	যে অক্ষরগুলো নেয়া হয়েছে
4টি বর্ণই ভিন্ন এক্ষেত্রে,	$5_{c_4}$	5	T,H,E,I এবং একটি S
2টি ভিন্ন বর্ণ এবং 2টি অভিন্ন	$4_{c_2}\times 2_{c_2}$	6	T,H,E,I থেকে ২টি এবং S দুটি ।
সুতরাং মোট সংখ্যা = (5+6 ) = 11

২০. LOGARITHMS শব্দটির বর্ণগুলো হতে 3 টি Consonant ও 2টি Vowel কত প্রকারে বাছাই করা যায়? ...

(ক) 109 (খ) 105 (গ) 103 (ঘ) 107

উত্তরঃ (খ) 105

Explanation:
7 টি Consonant হতে 3টি করে বেছে নেওয়ার সংখ্যা = $7_{c_3}$
3টি Vowel হতে 2টি করে বেছে নেওয়ার সংখ্যা = $3_{c_2}$
:: মোট বাছাই সংখ্যা = $7_{c_3}\times 3_{c_2}$ = 105

২১. COMBINATION শব্দটি হতে 4 অক্ষর বিশিষ্ট সম্ভাব্য সমাবেশ নির্ণয় করুন। ...

(ক) 112 (খ) 118 (গ) 124 (ঘ) 136

উত্তরঃ (ঘ) 136

Explanation:
COMBINATION শব্দটিতে মোট বর্ণ আছে ১১ টি, যার মধ্যে O আছে 2 টি, N আছে 2 টি, এবং I আছে 2 টি ।
একজাতীয় সংখ্যাগুলো বাদ দিলে ভিন্ন সংখ্যা আছে ৫টি যথা: (C,M,B,A,T)
একজাতীয়গুলো থেকে ১টি করে নিলে ভিন্ন ভিন্ন মোট বর্ণ = ৮টি (C,O,M,B,I,N,A,T)

ক্ষেত্র	বাছাই	মোট	ব্যাখ্যা
4 টি ভিন্ন ভিন্ন বর্ণ নিয়ে সমাবেশ	$8_{c_4}$	70	(C,O,M,B,I,N,A,T) থেকে ৪টি
2 টি একজাতীয় ও 2 টি ভিন্ন	$3_{c_1}\times 7_{c_2}$	63	OO,NN, II, থেকে ২টি + এবং ২টি একজাতীয় নিলে আরো ভিন্ন ভিন্ন বর্ণ থাকে ৮-১ = ৭টি। অন্য ৭টি থেকে ২টি
২টি একই অন্য ২টিও একই	$3_{c_2}$	3	OO,NN, II, ৩জোড়া থেকে ২ জোড়া
সুতরাং মোট সংখ্যা = (70+63+3 ) = 136

২২. একজন পরীক্ষার্থীকে 14 টি প্রশ্নের মধ্যে 6টি প্রশ্নের উত্তর দিতে হবে। তাকে প্রথম 5টি থেকে অবশ্যই 4টি বাছাই করতে হবে। সে কত প্রকারে প্রশ্নগুলো বাছাই করতে পারে? [ থানা সহকারী শিক্ষা অফিসার পরীক্ষা- ১৯৯৯]

(ক) 102 (খ) 105 (গ) 108 (ঘ) 180

উত্তরঃ (ঘ) 180

Explanation:
এখানে প্রশ্ন বাছাইয়ের সংখ্যা হবে প্রথম ৫টি থেকে ৪টি এবং পরবর্তী 14-5 = 9টি থেকে 6-4 = 2টির উত্তর দেয়া যাবে। তাই উত্তর হবে
$5_{c_4}\times 9_{c_2}$
= 5×36
= 180

২৩. 10 টি জিনিসের মধ্যে 2 টি এক জাতীয় এবং বাকীগুলো ভিন্ন ভিন্ন জিনিস। ঐ জিনিসগুলো থেকে প্রতিবার 5টি নিয়ে কত প্রকারে বাছাই করা যায়? [ ৩৭-তম বিসিএস প্রিলি ]

(ক) 170 (খ) 182 (গ) 190 (ঘ) 192

উত্তরঃ (খ) 182

Explanation:
10 টি জিনিসের মধ্যে 2টি একজাতীয় এবং বাছাই করতে হবে 5টি। বাছাই করার উপায় আছে দুভাবে,
(i) 5 টির সবগুলোই ভিন্ন ভিন্ন ।
(ii) একজাতীয় 2টি একসাথে এবং অন্য 3টি ভিন্ন ।
(i) এর ক্ষেত্রে 10টি জিনিসের মধ্যে যে 2 টি জিনিস একই রকম তাদেরকে একটি ধরে মোট 9টি ভিন্ন ভিন্ন জিনিস থেকে 5টি জিনিস বাছাই করা যায়
= $9_{c_5}$
= $\frac{\mathrm{9!}}{\mathrm{5!(9-5)!}}$
= $\frac{\mathrm{9\times 8\times 7\times 6!}}{\mathrm{5!\times 4!}}$
= $\frac{\mathrm{9\times 8\times 7\times 6}}{24}$
= 126

(ii) এর ক্ষেত্রে প্রথমে, ২টি একজাতীয় এর ২টি ই নেয়ার পর অবশিষ্ট ১০-২ = ৮টি থেকে পরের (৫-২)= ৩টি নেয়া যায়
$2_{c_2}\times 8_{c_3}$
= $\frac{\mathrm{2!}}{\mathrm{2!(2-2)!}}\times \frac{\mathrm{8!}}{\mathrm{3!(8-3)!}}$
= $\frac{\mathrm{2!}}{\mathrm{2!\times 0!}}\times \frac{\mathrm{8\times 7\times 6\times 5!}}{\mathrm{6\times 5!}}$
= 1×56
= 56
সুতরাং মোট বাছাই করা যাবে 126+56 = 182 ভাবে ।

গাণিতিক যুক্তি

• শেয়ার করুন