দ্বিঘাত সমীকরণ বা সরল সহ-সমীকরণ || সংজ্ঞা, সূত্রাবলীসহ এ টু জেড

সরল সহ-সমীকরণ বা দ্বিঘাত সমীকরণ হলো গণিতের একটি গুরুত্বপূর্ণ অধ্যায়। এটি বিভিন্ন ক্ষেত্রে ব্যবহৃত হয়, যেমন গণিত, বিজ্ঞান, পদার্থবিদ্যা, অর্থনীতি, বাণিজ্যিক গণিত ইত্যাদি। সরল সহ-সমীকরণ বা দ্বিঘাত সমীকরণগুলি গণিতের ভাষায় অজানা পরিমাণের বাক্যাংশকে বর্ণনা করে তার সমাধান নির্ণয়ে ব্যবহৃত হয়। এই আর্টিকেলের উদ্দেশ্য হলো সরল সহ-সমীকরণের ধারণা ও ব্যবহার সম্পর্কে বিস্তর আলোচনা করা। প্রথমে আমরা সরল সহ-সমীকরণ সম্পর্কে স্পষ্টতা সাধারণ উদাহরণগুলি দিয়ে ব্যাখ্যা করব। তারপরে আমরা সরল সহ-সমীকরণের গঠন এবং সমাধানের পদ্ধতি নিয়ে আলোচনা করব। এরপরে আমরা সরল সহ-সমীকরণের বিভিন্ন ধরণ ও ব্যবহার সম্পর্কে আলোচনা করব, যেমন একটি সমাধানের জন্য প্রয়োজনীয় সূত্র, শর্তাদি সমীকরণ, দ্বিঘাত সমীকরণের সমাধান, বহুঘাত সমীকরণ ইত্যাদি। এ সবকিছুই আমরা বিগত সালের প্রশ্ন অনুশীলনের মাধ্যমে রপ্ত করব । তবে তার পূর্বে নিশ্চয়ই মৌলিক বিষয়গুলো আমাদের জানতে হবে । চলুন তাহলে শুরু করা যাক ।

প্রাথমিক আলোচনা
দ্বিঘাত সমীকরণ কাকে বলে ?
সাধারণ সহ-সমীকরণ
প্রতিস্থাপন পদ্ধতিতে সরল সহ-সমীকরণ
অপনয়ন পদ্ধতিতে সহ-সমীকরণ
দ্বিঘাত সমীকরণের প্রয়োগ

প্রাথমিক আলোচনা

"সরল সহ-সমীকরণ বা দ্বিঘাত সমীকরণ হলো যেখানে দুটো অজানা রাশির মান নির্ণয় করতে হয়। এখানে অজানা রাশিদ্বয় ধরে সমীকরণ সাজিয়ে যে কোন একটির মান বের করার পর আরেকটির মান বের করতে হয়। বিভিন্ন পদ্ধতিতে দ্বিঘাত সমীকরনের অংকগুলো করা যায়। বিভিন্ন প্রকারের সমীকরণ:যেমন
ক. প্রতিস্থাপন
খ. অপনয়ন
গ. বজ্ৰগুণণ
ঘ. নির্ণায়ক
ঙ. লেখচিত্র।
তবে সব থেকে সহজ পদ্ধতি হলো অপনয়ন এবং প্রতিস্থাপন পদ্ধতি এবং এই নিয়মের অংকগুলোই সবথেকে বেশি আসে। নিচে বিস্তারিত ব্যাখ্যা প্রদান করা হল ৷

দ্বিঘাত সমীকরণ কাকে বলে ?

যে সমীকরণে অজ্ঞাত রাশির বৃহত্তম সূচকের মান দুই,তাকে দুই ঘাতবিশিষ্ট বা দ্বিঘাত সমীকরণ(second degree or quadratic equation)বলে । একটি দ্বিঘাত সমীকরণের সাধারণ আকার হল ${ax}^{2}$ +bx+c=0 যেখানে a(≠0),b,c তিনটি ধ্রুবক রাশি। a,b হল যথাক্রমে $x^{2}$ ,x এর সহগ এবং c কে সমীকরণটির ধ্রুবক পদ বলে।

সাধারণ সহ-সমীকরণ

একটি রাশির মান প্রশ্নেই দেয়া থাকলে । যেমনঃ

প্রশ্ন নম্বর- ১. যদি x + 5y = 24 এবং x = 3y হয়, তাহলে y = কত? [ সহকারী জজ নিয়োগ পরীক্ষা-১০ ]

(ক) 2
(খ) 3
(গ) 4
(ঘ) 5

উত্তরঃ (খ) 3

সমাধান:
একটির মান দেয়া থাকলে অপরটির মান বের করতে বলা হলে যার মান দেয়া থাকবে তার মানটি অপর সমীকরণে বসিয়ে সমাধান করতে হবে।
এখানে পরবর্তী অংশে দেয়া আছে, x=3y, তাই প্রথম অংশে, x এর স্থলে 3y বসিয়ে
x + 5y = 24
বা, 3y + 5y = 24
বা, 8y = 24
সুতরাং y = 3

প্রশ্ন নম্বর- ২. যদি x + 5y = 16 এবং x = 3y হয়, তাহলে y = কত? [১৮ তম বিসিএস]

(ক) - 24
(খ) - 2
(গ) 8
(ঘ) 2

উত্তরঃ (ঘ) 2

সমাধান:
একটির মান দেয়া থাকলে অপরটির মান বের করতে বলা হলে যার মান দেয়া থাকবে তার মানটি অপর সমীকরণে বসিয়ে সমাধান করতে হবে।
এখানে পরবর্তী অংশে দেয়া আছে, x = 3y, তাই প্রথম অংশে, x এর স্থলে 3y বসিয়ে
x + 5y = 16
বা, 3y + 5y = 16
বা, 8y = 16
সুতরাং y = 2

প্রশ্ন নম্বর- ৩. x + 2y = 4 এবং $\frac{x}{y}$ = 2 হলে, x = কত? [বিভিন্ন মন্ত্রণালয়ের ব্যক্তিগত কর্মকর্তা নিয়োগ-২০১৮]

(ক)

\frac{2}{3}

(খ)

\frac{3}{2}

(গ) 2

(ঘ)

\frac{1}{2}

উত্তরঃ (গ) 2

সমাধান:
x + 2y = 4..........(1)
এবং $\frac{x}{y}$ = 2 বা, x = 2y ........(2)
x = 2y (1) নং এ বসালে পাই,
2y + 2y = 4
বা, 4y = 4
বা, y = 1
y এর মান (2) নং এ বসাই,
x = 2×1
সুতরাং x = 2

প্রতিস্থাপন পদ্ধতিতে সরল সহ-সমীকরণ

প্রতিস্থাপন পদ্ধতি হচ্ছে একটি সমীকরণের কাজ আলাদাভাবে করার পর যে মানটি বের হবে তা অন্য সমীকরণে প্রয়োগ করে উত্তর বের করা। যেমন:

প্রশ্ন নম্বর- ৪. $(x^{2} + y^{2}) = 185$ , x - y = 3 এর একটি সমাধান হল:- [৩৬তম বিসিএস]

(ক) (7,4)
(খ) (9,6)
(গ) (10,7)
(ঘ) (11,8)

উত্তরঃ (ঘ) (11,8)

সমাধান:
আমরা জানি,
$2 ((x^{2} + y^{2})) = {( x + y )}^{2} + {( x - y )}^{2}$
বা, 2 × 185 = $({( x + y )}^{2} + 3^{2})$
বা, 370 = $({( x + y )}^{2} + 9)$
বা, $({( x + y )}^{2} = 370 - 9)$
বা, $({( x + y )}^{2} = 361)$
বা, $({( x + y )}^{2} = {(19)}^{2})$
সুতরাং x + y = 19
তাহলে x + y = 19 .............(1)
তাহলে x - y = 3 .............(2)
---------------------------------
(+) করে 2x = 22
বা, x = 22 ÷ 2 = 11
x এর মান ( 1 ) নং এ বসিয়ে পাই ,
11 + y = 19
বা, y = 19 - 11 = 8
সুতরাং, নির্ণেয় সমাধান: (x,y) = (11,8)
মুখে মুখে সমাধান :
$(x^{2} + y^{2})$ = 185 অর্থাৎ দুটি সংখ্যার বর্গের যোগফল 185 এবং x - y = 3 . ঐ সংখ্যা দুটির পার্থক্য 3। প্রদত্ত অপশন গুলোর মধ্যে শুধুমাত্র (ঘ) নং অপশনের $(11^{2} + 8^{2})$ = 121+64 = 185 এবং 11-8 = 3 হয়। তাই উত্তর: 11,8

প্রশ্ন নম্বর- ৫. 2x = 3y এবং 3x - 2y = 5 হলে, (x, y) হবে: [স্বরাষ্ট্র মন্ত্রণালয়ের বহিরাগমন সহকারী পরিচালক ২০১১]

(ক) (6, 4)
(খ) (3,2)
(গ) $(\frac{5}{2}, \frac{5}{3})$
(ঘ) $\frac{3}{2}, 1$

উত্তরঃ (খ) (3,2)

সমাধান:
2x = 3y --- ( 1 )
বা, x = $\frac{3y}{2}$
আবার 3x – 2y = 5-------(2)
x এর মান (2) নং এ বসাই,
বা, $3 (\frac{3y}{2})$ - 2y = 5
বা, $\frac{9y}{2}$ - 2y = 5
বা, $\frac{9y - 4y}{2}$ = 5
বা, 5y = 10
y = 2
y এর মান (1) নং এ বসাই,
বা, 2x = 3.2
:. x = 3
সুতরাং নির্ণেয় সমাধান: (x,y) = (3,2)

অপনয়ন পদ্ধতিতে সহ-সমীকরণ

অপনয়ন পদ্ধতি: যখন দুটি রাশিকে সমান করার জন্য একটি রাশিকে কোন একটি সংখ্যা দ্বারা গুণ বা ভাগ করা হয় ।

প্রশ্ন নম্বর- ৬. (x-y, 3) = (0, x + 2y) হলে (x, y) = কত? [ ৩৩ তম বিসিএস]

(ক) (1,1)
(খ) (1,3)
(গ) (-1,-1)
(ঘ) (−3,1)

উত্তরঃ (ক) (1,1)

সমাধান:
এভাবে সমাধান আসলে সমীকরণটি সাজিয়ে নিতে হয় এভাবে
x – y = 0 .....(1)
x + 2y = 3 .... (2)
------------------------
-3y = -3 [বিয়োগ করে]
সুতরাং y = 1 এখন y এর মান (1) নং এ বসাই ,
x-1 = 0
সুতরাং x = 1
সুতরাং নির্ণেয় সমাধান (x, y) = (1, 1)

প্রশ্ন নম্বর- ৭. (x, y)-এর মান কত, যখন- 2x + 3y = 7 এবং 5x - 2y = 8 [সহকারী উপজেলা শিক্ষা অফিসার ২০০৯]

(ক) (2,1)
(খ) (1,2)
(গ) (3,1)
(ঘ) (1,3)

উত্তরঃ (ক) (2,1)

সমাধান:
2x + 3y = 7 --------- (i)
5x - 2y = 8 --------- (ii)
(i) নং সমীকরণকে 2 এবং (ii) নং সমীকরণকে 3 দ্বারা গুণ করে পাই,(এভাবে গুণ করলে একটি রাশি সমান হবে)
4x + 6y = 14
15x - 6y = 24
-----------------
19x = 38 [ যোগ করে]
সুতরাং x = 2
x-এর মান (i) নং-এ বসিয়ে পাই,
2.2 + 3y = 7
⇒ 3y = 7 - 4 = 3
সুতরাং y = 1
সুতরাং (x, y) এর মান- (2,1)

সরল সহ-সমীকরণ বা দ্বিঘাত সমীকরণের প্রয়োগ

উপরের অংকগুলোতে সমীকরণ সাজিয়ে দেয়া থাকায়, সরাসরি সমাধান বের করা সম্ভব হয়েছে। কিন্তু এই পদ্ধতির অংকগুলোতে কিছু অংক কথায় লেখা থাকবে, সেখান থেকে সমীকরণ সাজিয়ে অংকটির অজানা রাশির মান বের করতে হবে ।

প্রশ্ন নম্বর- ৮. দুইটি সংখ্যার গুনফল ১৫৬ এবং তাদের বর্গের যোগফল ৩১৩। সংখ্যা দুটির যোগফল কত ? [ BADC ( Computer-Operator)-2018]

(ক) ২৩
(খ) ২৫
(গ) ২৬
(ঘ) ২৭

উত্তরঃ (খ) ২৫

সমাধান:
ধরি, সংখ্যা দুটি যথাক্রমে x এবং y
প্রশ্নমতে, xy = ১৫৬ এবং $(x^{2} + y^{2})$ = ৩১৩
আমরা জানি,
${(x+y)}^{2} = x^{2} + y^{2} + 2xy$
বা, ${(x+y)}^{2} = ৩১৩ + ২ \times ১৫৬$
বা, ${(x+y)}^{2} = ৩১৩ + ৩১২$
বা, ${(x+y)}^{2} = ৬২৫$
বা, x + y = ২৫
সুতরাং সংখ্যা দুটির যোগফল = ২৫
মাথা খাঁটাতে পারলে কয়েক সেকেন্ডে উত্তর বের হবে:
সংখ্যা দুটির গুণফল = ১৫৬ কে ভাঙ্গানো যায় ১২×১৩ আবার ${১২}^{২}$ = ১৪৪ এবং ${১৩}^{২}$ = ১৬৯ এর যোগফল ১৪৪+১৬৯ = ৩১৩
সুতরাং সংখ্যাদ্বয়ের যোগফল ১২+১৩ = ২৫।

প্রশ্ন নম্বর- ৯. দুটি ধনাত্নক সংখ্যার পার্থক্য ৬ এবং তাদের বর্গের পার্থক্য ১০৮। সংখ্যা দুটির যোগফল কত ? [কৃষি সম্প্রসারণ অধিদপ্তর- (অফি সহ:+টাইপিস্ট)-২০১৮ ]

(ক) ৬
(খ) ৮
(গ) ১২
(ঘ) ১৮

উত্তরঃ (ঘ) ১৮

সমাধান:
ধরি, বড় সংখ্যাটি = x এবং ছোট সংখ্যাটি = y
এখানে, x-y = 6 এবং $(x^{2} - y^{2})$ = 108
এখন, $(x^{2} - y^{2})$ = 108
⇒ (x+y)(x-y) = 108
⇒ (x + y) × 6 = 108
. x+y = 18
সুতরাং সংখ্যা দুটির যোগফল = ১৮ ।

প্রশ্ন নম্বর- ১০. একটি পেন্সিল ও একটি কলমের ক্রয়মূল্যের অনুপাত ৩:৭। তাদের বিক্রয়মূল্যের অনুপাত ১:৪। যদি পণ্য দুটি বিক্রয় করে লোকসানের পরিমাণ সমান হয়, তবে কলমের ক্রয়মূল্য ও বিক্রয়মূল্যের অনুপাত কত ? [CGDF Auditor Exam-2017 ]

(ক) ৩:২
(খ) ১৪:৯
(গ) ২১:১৬
(ঘ) কোনটিই নয়

উত্তরঃ (গ) ২১:১৬

সমাধান:
ধরি, পেন্সিল ও কলমের ক্রয়মূল্য যথাক্রমে ৩x ও ৭x
এবং বিক্রয়মূল্য যথাক্রমে y ও ৪y
কলমের ক্রয়মূল্য ও বিক্রয়মূল্যের অনুপাত = ৭x:৪y
প্রশ্নমতে, ৩x-y = ৭x-৪y [ যেহেতু দুটিতেই সমান লোকসান হয়েছে তাই দুপাশে লোকসান = লোকসান ]
বা, ৪y-y = ৭x-৩x
বা, ৩y = ৪x
সুতরাং y = $\frac{৪x}{৩}$ [এই মানটি অনুপাতে বসালেই উত্তর বের হবে।]
সুতরাং কলমটির ক্রয়মূল্য এবং বিক্রয়মূল্যের অনুপাত হবে = ৭x:৪x $\times \frac{৪x}{৩}$
= $৭x: \frac{১৬x}{৩}$
= ২১x : ১৬x
= ২১ : ১৬

প্রশ্ন নম্বর- ১১. দুই অংকবিশিষ্ট একটি সংখ্যার এককের অংক দশকের অংক অপেক্ষা ৩ বেশি। সংখ্যাটি উহার অংকদ্বয়ের সমষ্টির ৩ গুণ অপেক্ষা ৪ বেশি। সংখ্যাটি কত? [ ১৪ তম বিসিএস]

(ক) ৪৭
(খ) ৩৬
(গ) ২৫
(ঘ) ১৪

উত্তরঃ (গ) ২৫

সমাধান:
এটা মুল অংক না করেই অপশন যাচাইয়ের মাধ্যমে উত্তর অতি সহজেই পাওয়া সম্ভব।অংকটির প্রথম শর্ত হল একটি সংখ্যার এককের অংক দশকের অংক অপেক্ষা ৩ বেশি।দেখা যাচ্ছে চারটি অপশনই এই শর্তটি সঠিক আছে। তাই ২য় শর্ত দেখতে হবে।২য় শর্ত হল সংখ্যাটি উহার অংকদ্বয়ের সমষ্টির ৩ গুণ অপেক্ষা ৪ বেশি।এখানে,৪৭ = ৪+৭ = ১১, ১১×৩ = ৩৩ যা ২য় শর্তটির সাথে সামঞ্জস্য হচ্ছে না। ৩৬=৩+৬=৯,৯×৩=১৮ যা ২য় শর্তটির সাথে সামঞ্জস্য হচ্ছে না।২৫=২+৫=৭,৭×৩ =২১।অর্থাৎ ২৫ সংখ্যাটির অংকদ্বয় ২ ও ৫ এর সমষ্টির ৩ গুণ =২১। যা মুল সংখ্যা ২৫ থেকে ৪ কম।এটি ২য় শর্তটির সাথে সামঞ্জস্য হচ্ছে।তাই অপশন গ ই সঠিক।

প্রশ্ন নম্বর- ১২. দুই অঙ্কবিশিষ্ট কোন সংখ্যার অঙ্ক দুটির অন্তর ২, অঙ্কদুটি স্থান বিনিময় করলে যে সংখ্যা পাওয়া যায়, তা প্রদত্ত সংখ্যার দ্বিগুণ অপেক্ষা ৬ কম। সংখ্যাটি কত? [ বিটিভির প্রযোজক -২০০৬]

(ক) ৫৭
(খ) ৪৬
(গ) ৫৩
(ঘ) ২৪

উত্তরঃ (ঘ) ২৪

সমাধান:
এটা ও মুল অংক না করেই অপশন যাচাইয়ের মাধ্যমে উত্তর অতি সহজেই পাওয়া সম্ভব।অংকটির প্রথম শর্ত হল দুই অঙ্কবিশিষ্ট কোন সংখ্যার অঙ্ক দুটির অন্তর ২। দেখা যাচ্ছে চারটি অপশনই এই শর্তটি সঠিক আছে।তাই ২য় শর্ত দেখতে হবে।২য় শর্ত হল অঙ্কদুটি স্থান বিনিময় করলে যে সংখ্যা পাওয়া যায়,তা প্রদত্ত সংখ্যার দ্বিগুণ অপেক্ষা ৬ কম। এখানে,৫৭ এর অংক দুটির স্থান বিনিময় করলে হয় ৭৫। যা প্রদত্ত সংখ্যা ২৪ এর দ্বিগুণ ৪৮ অপেক্ষা ৬ কম নয় ।তাই ২য় শর্তটির সাথে সামঞ্জস্য হচ্ছে না।৪৬ এর অংক দুটির স্থান বিনিময় করলে হয় ৬৪। যা প্রদত্ত সংখ্যা ২৪ এর দ্বিগুণ ৪৮ অপেক্ষা ৬ কম নয়। তাই ২য় শর্তটির সাথে সামঞ্জস্য হচ্ছে না।৫৩ এর অংক দুটির স্থান বিনিময় করলে হয় ৩৫। যা প্রদত্ত সংখ্যা ২৪ এর দ্বিগুণ ৪৮ অপেক্ষা ৬ কম নয়। তাই ২য় শর্তটির সাথে সামঞ্জস্য হচ্ছে না।২৪ এর অংক দুটির স্থান বিনিময় করলে হয় ৪২। যা প্রদত্ত সংখ্যা ২৪ এর দ্বিগুণ ৪৮ অপেক্ষা ৬ কম।তাই অপশন ঘ ই সঠিক উত্তর।